MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atancj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atancj 26404
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (The condition that β„œ(𝐴) β‰  0 is necessary because the branch cuts are chosen so that the negative imaginary line "agrees with" neighboring values with negative real part, while the positive imaginary line agrees with values with positive real part. This makes atanneg 26401 true unconditionally but messes up conjugation symmetry, and it is impossible to have both in a single-valued function. The claim is true on the imaginary line between -1 and 1, though.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atancj ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄))))
Proof of Theorem atancj
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) β‰  0)
3 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝐴 = -i β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„œβ€˜-i))
4 ax-icn 11165 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
54renegi 15123 . . . . . . 7 (β„œβ€˜-i) = -(β„œβ€˜i)
6 rei 15099 . . . . . . . 8 (β„œβ€˜i) = 0
76negeqi 11449 . . . . . . 7 -(β„œβ€˜i) = -0
8 neg0 11502 . . . . . . 7 -0 = 0
95, 7, 83eqtri 2764 . . . . . 6 (β„œβ€˜-i) = 0
103, 9eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝐴 = -i β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
1110necon3i 2973 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  -i)
122, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 β‰  -i)
13 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝐴 = i β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„œβ€˜i))
1413, 6eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝐴 = i β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
1514necon3i 2973 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  i)
162, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 β‰  i)
17 atandm 26370 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  -i ∧ 𝐴 β‰  i))
181, 12, 16, 17syl3anbrc 1343 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ dom arctan)
19 halfcl 12433 . . . . . 6 (i ∈ β„‚ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
204, 19ax-mp 5 . . . . 5 (i / 2) ∈ β„‚
21 ax-1cn 11164 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
22 mulcl 11190 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
234, 1, 22sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
24 subcl 11455 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
2521, 23, 24sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
26 atandm2 26371 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2718, 26sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2827simp2d 1143 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0)
2925, 28logcld 26070 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
30 addcl 11188 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3121, 23, 30sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3227simp3d 1144 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0)
3331, 32logcld 26070 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
3429, 33subcld 11567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
35 cjmul 15085 . . . . 5 (((i / 2) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
3620, 34, 35sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
37 2ne0 12312 . . . . . . . 8 2 β‰  0
38 2cn 12283 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
394, 38cjdivi 15134 . . . . . . . 8 (2 β‰  0 β†’ (βˆ—β€˜(i / 2)) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(i / 2)) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2))
41 divneg 11902 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(i / 2) = (-i / 2))
424, 38, 37, 41mp3an 1461 . . . . . . . 8 -(i / 2) = (-i / 2)
43 cji 15102 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜i) = -i
44 2re 12282 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 cjre 15082 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜2) = 2)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜2) = 2
4743, 46oveq12i 7417 . . . . . . . 8 ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2)) = (-i / 2)
4842, 47eqtr4i 2763 . . . . . . 7 -(i / 2) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2))
4940, 48eqtr4i 2763 . . . . . 6 (βˆ—β€˜(i / 2)) = -(i / 2)
5049oveq1i 7415 . . . . 5 ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
5134cjcld 15139 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚)
52 mulneg12 11648 . . . . . 6 (((i / 2) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚) β†’ (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
5320, 51, 52sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
5450, 53eqtrid 2784 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
55 cjsub 15092 . . . . . . . . 9 (((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
5629, 33, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
57 imsub 15078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
5821, 23, 57sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
59 reim 15052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
6160oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
6258, 61eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)))
63 df-neg 11443 . . . . . . . . . . . . . 14 -(β„œβ€˜π΄) = (0 βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
64 im1 15098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‘β€˜1) = 0
6564oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)) = (0 βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
6663, 65eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . 13 -(β„œβ€˜π΄) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
6762, 66eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = -(β„œβ€˜π΄))
68 recl 15053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
7069recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ β„‚)
7170, 2negne0d 11565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(β„œβ€˜π΄) β‰  0)
7267, 71eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) β‰  0)
73 logcj 26105 . . . . . . . . . . 11 (((1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
7425, 72, 73syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
75 cjsub 15092 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
7621, 23, 75sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
77 1re 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
78 cjre 15082 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
80 cjmul 15085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
814, 1, 80sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8243oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· (βˆ—β€˜π΄))
83 cjcl 15048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
85 mulneg1 11646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
864, 84, 85sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8782, 86eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8881, 87eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8979, 88oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
90 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚)
914, 84, 90sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚)
92 subneg 11505 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9321, 91, 92sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9476, 89, 933eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9594fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
9674, 95eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
97 imadd 15077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
9821, 23, 97sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
9960oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = (0 + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
10064oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) = (0 + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
10199, 100eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
10270addlidd 11411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = (β„œβ€˜π΄))
10398, 101, 1023eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = (β„œβ€˜π΄))
104103, 2eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) β‰  0)
105 logcj 26105 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
10631, 104, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
107 cjadd 15084 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
10821, 23, 107sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
10979, 88oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
110 negsub 11504 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
11121, 91, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
112108, 109, 1113eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
113112fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
114106, 113eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
11596, 114oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
11656, 115eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
117116negeqd 11450 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = -((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
118 addcl 11188 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
11921, 91, 118sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
120 atandmcj 26403 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan)
12118, 120syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan)
122 atandm2 26371 . . . . . . . . . 10 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan ↔ ((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0))
123122simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
124121, 123syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
125119, 124logcld 26070 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
126 subcl 11455 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
12721, 91, 126sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
128122simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
129121, 128syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
130127, 129logcld 26070 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
131125, 130negsubdi2d 11583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))) = ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
132117, 131eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
133132oveq2d 7421 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
13436, 54, 1333eqtrd 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
135 atanval 26378 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
13618, 135syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
137136fveq2d 6892 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
138 atanval 26378 . . . 4 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
139121, 138syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
140134, 137, 1393eqtr4d 2782 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
14118, 140jca 512 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  dom cdm 5675  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  βˆ—ccj 15039  β„œcre 15040  β„‘cim 15041  logclog 26054  arctancatan 26358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-atan 26361
This theorem is referenced by:  atanrecl  26405
  Copyright terms: Public domain W3C validator