Theorem atancj 26953

Description: The arctangent function distributes under conjugation. (The condition that ℜ(𝐴) ≠ 0 is necessary because the branch cuts are chosen so that the negative imaginary line "agrees with" neighboring values with negative real part, while the positive imaginary line agrees with values with positive real part. This makes atanneg 26950 true unconditionally but messes up conjugation symmetry, and it is impossible to have both in a single-valued function. The claim is true on the imaginary line between -1 and 1, though.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atancj	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴))))

Proof of Theorem atancj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -i → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-i))
4		ax-icn 11214	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	renegi 15219	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ‘-i) = -(ℜ‘i)
6		rei 15195	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘i) = 0
7	6	negeqi 11501	. . . . . . 7 ⊢ -(ℜ‘i) = -0
8		neg0 11555	. . . . . . 7 ⊢ -0 = 0
9	5, 7, 8	3eqtri 2769	. . . . . 6 ⊢ (ℜ‘-i) = 0
10	3, 9	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -i → (ℜ‘𝐴) = 0)
11	10	necon3i 2973	. . . 4 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ -i)
12	2, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ -i)
13		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = i → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘i))
14	13, 6	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = i → (ℜ‘𝐴) = 0)
15	14	necon3i 2973	. . . 4 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ i)
16	2, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ i)
17		atandm 26919	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
18	1, 12, 16, 17	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ dom arctan)
19		halfcl 12491	. . . . . 6 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
20	4, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
21		ax-1cn 11213	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		mulcl 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	4, 1, 22	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24		subcl 11507	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
25	21, 23, 24	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
26		atandm2 26920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
27	18, 26	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
28	27	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
29	25, 28	logcld 26612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
30		addcl 11237	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
31	21, 23, 30	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
32	27	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
33	31, 32	logcld 26612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
34	29, 33	subcld 11620	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
35		cjmul 15181	. . . . 5 ⊢ (((i / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
36	20, 34, 35	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
37		2ne0 12370	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
38		2cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39	4, 38	cjdivi 15230	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘(i / 2)) = ((∗‘i) / (∗‘2)))
40	37, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i / 2)) = ((∗‘i) / (∗‘2))
41		divneg 11959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(i / 2) = (-i / 2))
42	4, 38, 37, 41	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ -(i / 2) = (-i / 2)
43		cji 15198	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
44		2re 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
45		cjre 15178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘2) = 2
47	43, 46	oveq12i 7443	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) / (∗‘2)) = (-i / 2)
48	42, 47	eqtr4i 2768	. . . . . . 7 ⊢ -(i / 2) = ((∗‘i) / (∗‘2))
49	40, 48	eqtr4i 2768	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(i / 2)) = -(i / 2)
50	49	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
51	34	cjcld 15235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) ∈ ℂ)
52		mulneg12 11701	. . . . . 6 ⊢ (((i / 2) ∈ ℂ ∧ (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) ∈ ℂ) → (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
53	20, 51, 52	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
54	50, 53	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
55		cjsub 15188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))))
56	29, 33, 55	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))))
57		imsub 15174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
58	21, 23, 57	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
59		reim 15148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
61	60	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
62	58, 61	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)))
63		df-neg 11495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(ℜ‘𝐴) = (0 − (ℜ‘𝐴))
64		im1 15194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℑ‘1) = 0
65	64	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)) = (0 − (ℜ‘𝐴))
66	63, 65	eqtr4i 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(ℜ‘𝐴) = ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴))
67	62, 66	eqtr4di 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
68		recl 15149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
70	69	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
71	70, 2	negne0d 11618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℜ‘𝐴) ≠ 0)
72	67, 71	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) ≠ 0)
73		logcj 26648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
74	25, 72, 73	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75		cjsub 15188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))))
76	21, 23, 75	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))))
77		1re 11261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
78		cjre 15178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
79	77, 78	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘1) = 1)
80		cjmul 15181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
81	4, 1, 80	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
82	43	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
83		cjcl 15144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
85		mulneg1 11699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
86	4, 84, 85	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-i · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
87	82, 86	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
88	81, 87	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(i · 𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
89	79, 88	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))) = (1 − -(i · (∗‘𝐴))))
90		mulcl 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
91	4, 84, 90	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
92		subneg 11558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (∗‘𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
93	21, 91, 92	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − -(i · (∗‘𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
94	76, 89, 93	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
95	94	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))
96	74, 95	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))
97		imadd 15173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
98	21, 23, 97	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
99	60	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℑ‘(i · 𝐴))))
100	64	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 + (ℑ‘(i · 𝐴)))
101	99, 100	eqtr4di 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
102	70	addlidd 11462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
103	98, 101, 102	3eqtr2d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
104	103, 2	eqnetrd 3008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) ≠ 0)
105		logcj 26648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
106	31, 104, 105	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
107		cjadd 15180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))))
108	21, 23, 107	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))))
109	79, 88	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))) = (1 + -(i · (∗‘𝐴))))
110		negsub 11557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + -(i · (∗‘𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
111	21, 91, 110	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + -(i · (∗‘𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
112	108, 109, 111	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
113	112	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))))
114	106, 113	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))))
115	96, 114	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
116	56, 115	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
117	116	negeqd 11502	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
118		addcl 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
119	21, 91, 118	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
120		atandmcj 26952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)
121	18, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)
122		atandm2 26920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0))
123	122	simp3bi 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
124	121, 123	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
125	119, 124	logcld 26612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
126		subcl 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
127	21, 91, 126	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
128	122	simp2bi 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
129	121, 128	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
130	127, 129	logcld 26612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
131	125, 130	negsubdi2d 11636	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴))))))
132	117, 131	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴))))))
133	132	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
134	36, 54, 133	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
135		atanval 26927	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
136	18, 135	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
137	136	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(arctan‘𝐴)) = (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
138		atanval 26927	. . . 4 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (arctan‘(∗‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
139	121, 138	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (arctan‘(∗‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
140	134, 137, 139	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴)))
141	18, 140	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  ∗ccj 15135  ℜcre 15136  ℑcim 15137  logclog 26596  arctancatan 26907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-atan 26910

This theorem is referenced by:  atanrecl  26954