MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atancj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atancj 26170
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (The condition that ℜ(𝐴) ≠ 0 is necessary because the branch cuts are chosen so that the negative imaginary line "agrees with" neighboring values with negative real part, while the positive imaginary line agrees with values with positive real part. This makes atanneg 26167 true unconditionally but messes up conjugation symmetry, and it is impossible to have both in a single-valued function. The claim is true on the imaginary line between -1 and 1, though.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atancj ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴))))

Proof of Theorem atancj
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3 fveq2 6834 . . . . . 6 (𝐴 = -i → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-i))
4 ax-icn 11040 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
54renegi 14995 . . . . . . 7 (ℜ‘-i) = -(ℜ‘i)
6 rei 14971 . . . . . . . 8 (ℜ‘i) = 0
76negeqi 11324 . . . . . . 7 -(ℜ‘i) = -0
8 neg0 11377 . . . . . . 7 -0 = 0
95, 7, 83eqtri 2769 . . . . . 6 (ℜ‘-i) = 0
103, 9eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐴 = -i → (ℜ‘𝐴) = 0)
1110necon3i 2974 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ -i)
122, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ -i)
13 fveq2 6834 . . . . . 6 (𝐴 = i → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘i))
1413, 6eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐴 = i → (ℜ‘𝐴) = 0)
1514necon3i 2974 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ i)
162, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ i)
17 atandm 26136 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
181, 12, 16, 17syl3anbrc 1343 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ dom arctan)
19 halfcl 12308 . . . . . 6 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
204, 19ax-mp 5 . . . . 5 (i / 2) ∈ ℂ
21 ax-1cn 11039 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
22 mulcl 11065 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
234, 1, 22sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24 subcl 11330 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2521, 23, 24sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
26 atandm2 26137 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2718, 26sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2827simp2d 1143 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2925, 28logcld 25836 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
30 addcl 11063 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3121, 23, 30sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3227simp3d 1144 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3331, 32logcld 25836 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3429, 33subcld 11442 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
35 cjmul 14957 . . . . 5 (((i / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3620, 34, 35sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
37 2ne0 12187 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
38 2cn 12158 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
394, 38cjdivi 15006 . . . . . . . 8 (2 ≠ 0 → (∗‘(i / 2)) = ((∗‘i) / (∗‘2)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 (∗‘(i / 2)) = ((∗‘i) / (∗‘2))
41 divneg 11777 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(i / 2) = (-i / 2))
424, 38, 37, 41mp3an 1461 . . . . . . . 8 -(i / 2) = (-i / 2)
43 cji 14974 . . . . . . . . 9 (∗‘i) = -i
44 2re 12157 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 cjre 14954 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∗‘2) = 2
4743, 46oveq12i 7358 . . . . . . . 8 ((∗‘i) / (∗‘2)) = (-i / 2)
4842, 47eqtr4i 2768 . . . . . . 7 -(i / 2) = ((∗‘i) / (∗‘2))
4940, 48eqtr4i 2768 . . . . . 6 (∗‘(i / 2)) = -(i / 2)
5049oveq1i 7356 . . . . 5 ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
5134cjcld 15011 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) ∈ ℂ)
52 mulneg12 11523 . . . . . 6 (((i / 2) ∈ ℂ ∧ (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) ∈ ℂ) → (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
5320, 51, 52sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
5450, 53eqtrid 2789 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
55 cjsub 14964 . . . . . . . . 9 (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))))
5629, 33, 55syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))))
57 imsub 14950 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
5821, 23, 57sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
59 reim 14924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
6059adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
6160oveq2d 7362 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
6258, 61eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)))
63 df-neg 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ℜ‘𝐴) = (0 − (ℜ‘𝐴))
64 im1 14970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℑ‘1) = 0
6564oveq1i 7356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)) = (0 − (ℜ‘𝐴))
6663, 65eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 -(ℜ‘𝐴) = ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴))
6762, 66eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
68 recl 14925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7069recnd 11113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
7170, 2negne0d 11440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℜ‘𝐴) ≠ 0)
7267, 71eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) ≠ 0)
73 logcj 25871 . . . . . . . . . . 11 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
7425, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75 cjsub 14964 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))))
7621, 23, 75sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))))
77 1re 11085 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
78 cjre 14954 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘1) = 1)
80 cjmul 14957 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
814, 1, 80sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
8243oveq1i 7356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
83 cjcl 14920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
8483adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
85 mulneg1 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
864, 84, 85sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-i · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
8782, 86eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
8881, 87eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(i · 𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
8979, 88oveq12d 7364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))) = (1 − -(i · (∗‘𝐴))))
90 mulcl 11065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
914, 84, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
92 subneg 11380 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (∗‘𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
9321, 91, 92sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − -(i · (∗‘𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
9476, 89, 933eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
9594fveq2d 6838 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))
9674, 95eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))
97 imadd 14949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
9821, 23, 97sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
9960oveq2d 7362 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℑ‘(i · 𝐴))))
10064oveq1i 7356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 + (ℑ‘(i · 𝐴)))
10199, 100eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
10270addid2d 11286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
10398, 101, 1023eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
104103, 2eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) ≠ 0)
105 logcj 25871 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
10631, 104, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
107 cjadd 14956 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))))
10821, 23, 107sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))))
10979, 88oveq12d 7364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))) = (1 + -(i · (∗‘𝐴))))
110 negsub 11379 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + -(i · (∗‘𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
11121, 91, 110sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + -(i · (∗‘𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
112108, 109, 1113eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
113112fveq2d 6838 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))))
114106, 113eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))))
11596, 114oveq12d 7364 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
11656, 115eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
117116negeqd 11325 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
118 addcl 11063 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
11921, 91, 118sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
120 atandmcj 26169 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)
12118, 120syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)
122 atandm2 26137 . . . . . . . . . 10 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0))
123122simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
124121, 123syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
125119, 124logcld 25836 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
126 subcl 11330 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
12721, 91, 126sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
128122simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
129121, 128syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
130127, 129logcld 25836 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
131125, 130negsubdi2d 11458 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴))))))
132117, 131eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴))))))
133132oveq2d 7362 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
13436, 54, 1333eqtrd 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
135 atanval 26144 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
13618, 135syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
137136fveq2d 6838 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(arctan‘𝐴)) = (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
138 atanval 26144 . . . 4 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (arctan‘(∗‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
139121, 138syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (arctan‘(∗‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
140134, 137, 1393eqtr4d 2787 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴)))
14118, 140jca 513 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  dom cdm 5627  cfv 6488  (class class class)co 7346  cc 10979  cr 10980  0cc0 10981  1c1 10982  ici 10983   + caddc 10984   · cmul 10986  cmin 11315  -cneg 11316   / cdiv 11742  2c2 12138  ccj 14911  cre 14912  cim 14913  logclog 25820  arctancatan 26124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059  ax-addf 11060  ax-mulf 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-se 5583  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7604  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-supp 8057  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-2o 8377  df-er 8578  df-map 8697  df-pm 8698  df-ixp 8766  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-fsupp 9236  df-fi 9277  df-sup 9308  df-inf 9309  df-oi 9376  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-4 12148  df-5 12149  df-6 12150  df-7 12151  df-8 12152  df-9 12153  df-n0 12344  df-z 12430  df-dec 12548  df-uz 12693  df-q 12799  df-rp 12841  df-xneg 12958  df-xadd 12959  df-xmul 12960  df-ioo 13193  df-ioc 13194  df-ico 13195  df-icc 13196  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-fl 13622  df-mod 13700  df-seq 13832  df-exp 13893  df-fac 14098  df-bc 14127  df-hash 14155  df-shft 14882  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-limsup 15284  df-clim 15301  df-rlim 15302  df-sum 15502  df-ef 15881  df-sin 15883  df-cos 15884  df-pi 15886  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-mulr 17078  df-starv 17079  df-sca 17080  df-vsca 17081  df-ip 17082  df-tset 17083  df-ple 17084  df-ds 17086  df-unif 17087  df-hom 17088  df-cco 17089  df-rest 17235  df-topn 17236  df-0g 17254  df-gsum 17255  df-topgen 17256  df-pt 17257  df-prds 17260  df-xrs 17315  df-qtop 17320  df-imas 17321  df-xps 17323  df-mre 17397  df-mrc 17398  df-acs 17400  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-submnd 18533  df-mulg 18802  df-cntz 19024  df-cmn 19488  df-psmet 20699  df-xmet 20700  df-met 20701  df-bl 20702  df-mopn 20703  df-fbas 20704  df-fg 20705  df-cnfld 20708  df-top 22153  df-topon 22170  df-topsp 22192  df-bases 22206  df-cld 22280  df-ntr 22281  df-cls 22282  df-nei 22359  df-lp 22397  df-perf 22398  df-cn 22488  df-cnp 22489  df-haus 22576  df-tx 22823  df-hmeo 23016  df-fil 23107  df-fm 23199  df-flim 23200  df-flf 23201  df-xms 23583  df-ms 23584  df-tms 23585  df-cncf 24151  df-limc 25140  df-dv 25141  df-log 25822  df-atan 26127
This theorem is referenced by:  atanrecl  26171
  Copyright terms: Public domain W3C validator