MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atancj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atancj 26276
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (The condition that β„œ(𝐴) β‰  0 is necessary because the branch cuts are chosen so that the negative imaginary line "agrees with" neighboring values with negative real part, while the positive imaginary line agrees with values with positive real part. This makes atanneg 26273 true unconditionally but messes up conjugation symmetry, and it is impossible to have both in a single-valued function. The claim is true on the imaginary line between -1 and 1, though.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atancj ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄))))

Proof of Theorem atancj
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) β‰  0)
3 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝐴 = -i β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„œβ€˜-i))
4 ax-icn 11117 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
54renegi 15072 . . . . . . 7 (β„œβ€˜-i) = -(β„œβ€˜i)
6 rei 15048 . . . . . . . 8 (β„œβ€˜i) = 0
76negeqi 11401 . . . . . . 7 -(β„œβ€˜i) = -0
8 neg0 11454 . . . . . . 7 -0 = 0
95, 7, 83eqtri 2769 . . . . . 6 (β„œβ€˜-i) = 0
103, 9eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐴 = -i β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
1110necon3i 2977 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  -i)
122, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 β‰  -i)
13 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝐴 = i β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„œβ€˜i))
1413, 6eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐴 = i β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
1514necon3i 2977 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  i)
162, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 β‰  i)
17 atandm 26242 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  -i ∧ 𝐴 β‰  i))
181, 12, 16, 17syl3anbrc 1344 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ dom arctan)
19 halfcl 12385 . . . . . 6 (i ∈ β„‚ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
204, 19ax-mp 5 . . . . 5 (i / 2) ∈ β„‚
21 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
22 mulcl 11142 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
234, 1, 22sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
24 subcl 11407 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
2521, 23, 24sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
26 atandm2 26243 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2718, 26sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2827simp2d 1144 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0)
2925, 28logcld 25942 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
30 addcl 11140 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3121, 23, 30sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3227simp3d 1145 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0)
3331, 32logcld 25942 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
3429, 33subcld 11519 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
35 cjmul 15034 . . . . 5 (((i / 2) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
3620, 34, 35sylancr 588 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
37 2ne0 12264 . . . . . . . 8 2 β‰  0
38 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
394, 38cjdivi 15083 . . . . . . . 8 (2 β‰  0 β†’ (βˆ—β€˜(i / 2)) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(i / 2)) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2))
41 divneg 11854 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(i / 2) = (-i / 2))
424, 38, 37, 41mp3an 1462 . . . . . . . 8 -(i / 2) = (-i / 2)
43 cji 15051 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜i) = -i
44 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 cjre 15031 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜2) = 2)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜2) = 2
4743, 46oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2)) = (-i / 2)
4842, 47eqtr4i 2768 . . . . . . 7 -(i / 2) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2))
4940, 48eqtr4i 2768 . . . . . 6 (βˆ—β€˜(i / 2)) = -(i / 2)
5049oveq1i 7372 . . . . 5 ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
5134cjcld 15088 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚)
52 mulneg12 11600 . . . . . 6 (((i / 2) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚) β†’ (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
5320, 51, 52sylancr 588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
5450, 53eqtrid 2789 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
55 cjsub 15041 . . . . . . . . 9 (((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
5629, 33, 55syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
57 imsub 15027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
5821, 23, 57sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
59 reim 15001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
6059adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
6160oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
6258, 61eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)))
63 df-neg 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 -(β„œβ€˜π΄) = (0 βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
64 im1 15047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‘β€˜1) = 0
6564oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)) = (0 βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
6663, 65eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 -(β„œβ€˜π΄) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
6762, 66eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = -(β„œβ€˜π΄))
68 recl 15002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
7069recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ β„‚)
7170, 2negne0d 11517 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(β„œβ€˜π΄) β‰  0)
7267, 71eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) β‰  0)
73 logcj 25977 . . . . . . . . . . 11 (((1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
7425, 72, 73syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
75 cjsub 15041 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
7621, 23, 75sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
77 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
78 cjre 15031 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
80 cjmul 15034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
814, 1, 80sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8243oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· (βˆ—β€˜π΄))
83 cjcl 14997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
8483adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
85 mulneg1 11598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
864, 84, 85sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8782, 86eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8881, 87eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8979, 88oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
90 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚)
914, 84, 90sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚)
92 subneg 11457 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9321, 91, 92sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9476, 89, 933eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9594fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
9674, 95eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
97 imadd 15026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
9821, 23, 97sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
9960oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = (0 + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
10064oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) = (0 + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
10199, 100eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
10270addid2d 11363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = (β„œβ€˜π΄))
10398, 101, 1023eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = (β„œβ€˜π΄))
104103, 2eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) β‰  0)
105 logcj 25977 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
10631, 104, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
107 cjadd 15033 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
10821, 23, 107sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
10979, 88oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
110 negsub 11456 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
11121, 91, 110sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
112108, 109, 1113eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
113112fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
114106, 113eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
11596, 114oveq12d 7380 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
11656, 115eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
117116negeqd 11402 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = -((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
118 addcl 11140 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
11921, 91, 118sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
120 atandmcj 26275 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan)
12118, 120syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan)
122 atandm2 26243 . . . . . . . . . 10 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan ↔ ((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0))
123122simp3bi 1148 . . . . . . . . 9 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
124121, 123syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
125119, 124logcld 25942 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
126 subcl 11407 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
12721, 91, 126sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
128122simp2bi 1147 . . . . . . . . 9 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
129121, 128syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
130127, 129logcld 25942 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
131125, 130negsubdi2d 11535 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))) = ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
132117, 131eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
133132oveq2d 7378 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
13436, 54, 1333eqtrd 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
135 atanval 26250 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
13618, 135syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
137136fveq2d 6851 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
138 atanval 26250 . . . 4 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
139121, 138syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
140134, 137, 1393eqtr4d 2787 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
14118, 140jca 513 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  βˆ—ccj 14988  β„œcre 14989  β„‘cim 14990  logclog 25926  arctancatan 26230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-atan 26233
This theorem is referenced by:  atanrecl  26277
  Copyright terms: Public domain W3C validator