MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atancj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atancj 26793
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (The condition that β„œ(𝐴) β‰  0 is necessary because the branch cuts are chosen so that the negative imaginary line "agrees with" neighboring values with negative real part, while the positive imaginary line agrees with values with positive real part. This makes atanneg 26790 true unconditionally but messes up conjugation symmetry, and it is impossible to have both in a single-valued function. The claim is true on the imaginary line between -1 and 1, though.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atancj ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄))))
Proof of Theorem atancj
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) β‰  0)
3 fveq2 6884 . . . . . 6 (𝐴 = -i β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„œβ€˜-i))
4 ax-icn 11168 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
54renegi 15131 . . . . . . 7 (β„œβ€˜-i) = -(β„œβ€˜i)
6 rei 15107 . . . . . . . 8 (β„œβ€˜i) = 0
76negeqi 11454 . . . . . . 7 -(β„œβ€˜i) = -0
8 neg0 11507 . . . . . . 7 -0 = 0
95, 7, 83eqtri 2758 . . . . . 6 (β„œβ€˜-i) = 0
103, 9eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝐴 = -i β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
1110necon3i 2967 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  -i)
122, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 β‰  -i)
13 fveq2 6884 . . . . . 6 (𝐴 = i β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„œβ€˜i))
1413, 6eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝐴 = i β†’ (β„œβ€˜π΄) = 0)
1514necon3i 2967 . . . 4 ((β„œβ€˜π΄) β‰  0 β†’ 𝐴 β‰  i)
162, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 β‰  i)
17 atandm 26759 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  -i ∧ 𝐴 β‰  i))
181, 12, 16, 17syl3anbrc 1340 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ dom arctan)
19 halfcl 12438 . . . . . 6 (i ∈ β„‚ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
204, 19ax-mp 5 . . . . 5 (i / 2) ∈ β„‚
21 ax-1cn 11167 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
22 mulcl 11193 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
234, 1, 22sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
24 subcl 11460 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
2521, 23, 24sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
26 atandm2 26760 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2718, 26sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2827simp2d 1140 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0)
2925, 28logcld 26455 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
30 addcl 11191 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3121, 23, 30sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3227simp3d 1141 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0)
3331, 32logcld 26455 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
3429, 33subcld 11572 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
35 cjmul 15093 . . . . 5 (((i / 2) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
3620, 34, 35sylancr 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
37 2ne0 12317 . . . . . . . 8 2 β‰  0
38 2cn 12288 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
394, 38cjdivi 15142 . . . . . . . 8 (2 β‰  0 β†’ (βˆ—β€˜(i / 2)) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜(i / 2)) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2))
41 divneg 11907 . . . . . . . . 9 ((i ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(i / 2) = (-i / 2))
424, 38, 37, 41mp3an 1457 . . . . . . . 8 -(i / 2) = (-i / 2)
43 cji 15110 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜i) = -i
44 2re 12287 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 cjre 15090 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜2) = 2)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ—β€˜2) = 2
4743, 46oveq12i 7416 . . . . . . . 8 ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2)) = (-i / 2)
4842, 47eqtr4i 2757 . . . . . . 7 -(i / 2) = ((βˆ—β€˜i) / (βˆ—β€˜2))
4940, 48eqtr4i 2757 . . . . . 6 (βˆ—β€˜(i / 2)) = -(i / 2)
5049oveq1i 7414 . . . . 5 ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
5134cjcld 15147 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚)
52 mulneg12 11653 . . . . . 6 (((i / 2) ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) ∈ β„‚) β†’ (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
5320, 51, 52sylancr 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-(i / 2) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
5450, 53eqtrid 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜(i / 2)) Β· (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
55 cjsub 15100 . . . . . . . . 9 (((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
5629, 33, 55syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
57 imsub 15086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
5821, 23, 57sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
59 reim 15060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) = (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
6160oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
6258, 61eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)))
63 df-neg 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 -(β„œβ€˜π΄) = (0 βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
64 im1 15106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„‘β€˜1) = 0
6564oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)) = (0 βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
6663, 65eqtr4i 2757 . . . . . . . . . . . . 13 -(β„œβ€˜π΄) = ((β„‘β€˜1) βˆ’ (β„œβ€˜π΄))
6762, 66eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = -(β„œβ€˜π΄))
68 recl 15061 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ ℝ)
7069recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„œβ€˜π΄) ∈ β„‚)
7170, 2negne0d 11570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(β„œβ€˜π΄) β‰  0)
7267, 71eqnetrd 3002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) β‰  0)
73 logcj 26491 . . . . . . . . . . 11 (((1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
7425, 72, 73syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
75 cjsub 15100 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
7621, 23, 75sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
77 1re 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
78 cjre 15090 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜1) = 1)
80 cjmul 15093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
814, 1, 80sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8243oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = (-i Β· (βˆ—β€˜π΄))
83 cjcl 15056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
85 mulneg1 11651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
864, 84, 85sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-i Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8782, 86eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜i) Β· (βˆ—β€˜π΄)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8881, 87eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴)) = -(i Β· (βˆ—β€˜π΄)))
8979, 88oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜1) βˆ’ (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
90 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚)
914, 84, 90sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚)
92 subneg 11510 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9321, 91, 92sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9476, 89, 933eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
9594fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
9674, 95eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
97 imadd 15085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
9821, 23, 97sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
9960oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = (0 + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
10064oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))) = (0 + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴)))
10199, 100eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = ((β„‘β€˜1) + (β„‘β€˜(i Β· 𝐴))))
10270addlidd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (0 + (β„œβ€˜π΄)) = (β„œβ€˜π΄))
10398, 101, 1023eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = (β„œβ€˜π΄))
104103, 2eqnetrd 3002 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) β‰  0)
105 logcj 26491 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
10631, 104, 105syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
107 cjadd 15092 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
10821, 23, 107sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))))
10979, 88oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜1) + (βˆ—β€˜(i Β· 𝐴))) = (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
110 negsub 11509 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
11121, 91, 110sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + -(i Β· (βˆ—β€˜π΄))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
112108, 109, 1113eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴))) = (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))
113112fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(βˆ—β€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
114106, 113eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))
11596, 114oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((βˆ—β€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) βˆ’ (βˆ—β€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
11656, 115eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
117116negeqd 11455 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = -((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
118 addcl 11191 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
11921, 91, 118sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
120 atandmcj 26792 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan)
12118, 120syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan)
122 atandm2 26760 . . . . . . . . . 10 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan ↔ ((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0))
123122simp3bi 1144 . . . . . . . . 9 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
124121, 123syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
125119, 124logcld 26455 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
126 subcl 11460 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
12721, 91, 126sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) ∈ β„‚)
128122simp2bi 1143 . . . . . . . . 9 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
129121, 128syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))) β‰  0)
130127, 129logcld 26455 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) ∈ β„‚)
131125, 130negsubdi2d 11588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -((logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))) = ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
132117, 131eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄))))))
133132oveq2d 7420 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((i / 2) Β· -(βˆ—β€˜((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
13436, 54, 1333eqtrd 2770 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
135 atanval 26767 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
13618, 135syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
137136fveq2d 6888 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (βˆ—β€˜((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
138 atanval 26767 . . . 4 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
139121, 138syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· (βˆ—β€˜π΄)))))))
140134, 137, 1393eqtr4d 2776 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
14118, 140jca 511 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (β„œβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (βˆ—β€˜(arctanβ€˜π΄)) = (arctanβ€˜(βˆ—β€˜π΄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  βˆ—ccj 15047  β„œcre 15048  β„‘cim 15049  logclog 26439  arctancatan 26747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-atan 26750
This theorem is referenced by:  atanrecl  26794
  Copyright terms: Public domain W3C validator