MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvatan 26996
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)
Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11277 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-1cn 11242 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 11243 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 26994 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ dom arctan
8 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
97, 8sselid 4006 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom arctan)
10 atandm2 26938 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
119, 10sylib 218 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
1211simp1d 1142 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 mulcl 11268 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
144, 12, 13sylancr 586 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subcl 11535 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
163, 14, 15sylancr 586 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1711simp2d 1143 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
1816, 17logcld 26630 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
19 addcl 11266 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
203, 14, 19sylancr 586 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
2111simp3d 1144 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
2220, 21logcld 26630 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
2318, 22subcld 11647 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
24 ovexd 7483 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V)
25 ovexd 7483 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (𝑥 + i)) ∈ V)
265, 6atans2 26992 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝑆 → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
29 negex 11534 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -i ∈ V)
315logdmss 26702 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
3331, 32sselid 4006 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
34 logf1o 26624 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
35 f1of 6862 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
3736ffvelcdmi 7117 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ran log)
38 logrncn 26622 . . . . . . . . 9 ((log‘𝑦) ∈ ran log → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
40 ovexd 7483 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
4241, 13sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
433, 42, 15sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ V)
45 1cnd 11285 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46 0cnd 11283 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
47 1cnd 11285 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
482, 47dvmptc 26016 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
512dvmptid 26015 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 26022 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
534mulridi 11294 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 1) = i
5453mpteq2i 5271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5552, 54eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 26025 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i)))
57 df-neg 11523 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 − i)
5857mpteq2i 5271 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i))
5956, 58eqtr4di 2798 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
606ssrab3 4105 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ⊆ ℂ)
62 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6362cnfldtopon 24824 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6463toponrestid 22948 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
655, 6atansopn 26993 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
672, 43, 44, 59, 61, 64, 62, 66dvmptres 26021 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -i))
68 fssres 6787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
6936, 31, 68mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7170feqmptd 6990 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (log ↾ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)))
72 fvres 6939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑦) = (log‘𝑦))
7372mpteq2ia 5269 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))
7471, 73eqtr2di 2797 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ 𝐷))
7574oveq2d 7464 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ 𝐷)))
765dvlog 26711 . . . . . . . . 9 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
7775, 76eqtrdi 2796 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
78 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 − (i · 𝑥))))
79 oveq2 7456 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 − (i · 𝑥))))
802, 2, 28, 30, 39, 40, 67, 77, 78, 79dvmptco 26030 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)))
81 irec 14250 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8281oveq2i 7459 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)
834a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → i ∈ ℂ)
84 ine0 11725 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → i ≠ 0)
8616, 83, 17, 85recdiv2d 12088 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)))
8716, 17reccld 12063 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
8887, 83, 85divrecd 12073 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)))
89 1cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
9089, 14, 83subdird 11747 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)))
914mullidi 11295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · i) = i
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 · i) = i)
9383, 12, 83mul32d 11500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = ((i · i) · 𝑥))
94 ixi 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
9594oveq1i 7458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝑥) = (-1 · 𝑥)
9612mulm1d 11742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
9795, 96eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · i) · 𝑥) = -𝑥)
9893, 97eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = -𝑥)
9992, 98oveq12d 7466 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)) = (i − -𝑥))
100 subneg 11585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
1014, 12, 100sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
10290, 99, 1013eqtrd 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (i + 𝑥))
10383, 12, 102comraddd 11504 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (𝑥 + i))
104103oveq2d 7464 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10586, 88, 1043eqtr3d 2788 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10682, 105eqtr3id 2794 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i) = (1 / (𝑥 + i)))
107106mpteq2dva 5266 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
10880, 107eqtrd 2780 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
109 ovexd 7483 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (𝑥 − i)) ∈ V)
11026simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝑆 → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
111110adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
1123, 42, 19sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1132, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 26018 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)))
1144addlidi 11478 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
115114mpteq2i 5271 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
116113, 115eqtrdi 2796 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
1172, 112, 49, 116, 61, 64, 62, 66dvmptres 26021 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ i))
118 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 + (i · 𝑥))))
119 oveq2 7456 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i · 𝑥))))
1202, 2, 111, 83, 39, 40, 117, 77, 118, 119dvmptco 26030 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)))
12189, 20, 83, 21, 85divdiv2d 12102 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))))
12289, 14, 83, 85divdird 12108 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)))
12381a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / i) = -i)
12412, 83, 85divcan3d 12075 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) / i) = 𝑥)
125123, 124oveq12d 7466 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)) = (-i + 𝑥))
126 negicn 11537 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ ℂ
127 addcom 11476 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
128126, 12, 127sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
129 negsub 11584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
13012, 4, 129sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
131128, 130eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 − i))
132122, 125, 1313eqtrd 2784 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = (𝑥 − i))
133132oveq2d 7464 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = (1 / (𝑥 − i)))
13489, 83, 20, 21div23d 12107 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))) = ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i))
135121, 133, 1343eqtr3rd 2789 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i) = (1 / (𝑥 − i)))
136135mpteq2dva 5266 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
137120, 136eqtrd 2780 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
1382, 18, 25, 108, 22, 109, 137dvmptsub 26025 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))))
139 subcl 11535 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
14012, 4, 139sylancl 585 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
141 addcl 11266 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14212, 4, 141sylancl 585 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14312sqcld 14194 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
144 addcl 11266 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1453, 143, 144sylancr 586 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
146 atandm4 26940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0))
147146simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
1489, 147syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
149140, 142, 145, 148divsubdird 12109 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))))
150130oveq1d 7463 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)))
151126a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -i ∈ ℂ)
15212, 151, 83pnpcand 11684 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
153150, 152eqtr3d 2782 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
154 2cn 12368 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
155154, 4, 84divreci 12039 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 · (1 / i))
15681oveq2i 7459 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / i)) = (2 · -i)
157155, 156eqtri 2768 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 · -i)
1581262timesi 12431 . . . . . . . . . 10 (2 · -i) = (-i + -i)
159126, 4negsubi 11614 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i − i)
160157, 158, 1593eqtri 2772 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i − i)
161153, 160eqtr4di 2798 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (2 / i))
162161oveq1d 7463 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
163140mulridd 11307 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · 1) = (𝑥 − i))
164140, 142mulcomd 11311 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
165 i2 14251 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
166165oveq2i 7459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) − -1)
167 subneg 11585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
168143, 3, 167sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
169166, 168eqtrid 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) + 1))
170 subsq 14259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
17112, 4, 170sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
172 addcom 11476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
173143, 3, 172sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
174169, 171, 1733eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)) = (1 + (𝑥↑2)))
175164, 174eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = (1 + (𝑥↑2)))
176163, 175oveq12d 7466 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))))
177 subneg 11585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
17812, 4, 177sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
179 atandm 26937 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
1809, 179sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
181180simp2d 1143 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ -i)
182 subeq0 11562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) = 0 ↔ 𝑥 = -i))
183182necon3bid 2991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
18412, 126, 183sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
185181, 184mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − -i) ≠ 0)
186178, 185eqnetrrd 3015 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + i) ≠ 0)
187180simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ i)
188 subeq0 11562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) = 0 ↔ 𝑥 = i))
189188necon3bid 2991 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
19012, 4, 189sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
191187, 190mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − i) ≠ 0)
19289, 142, 140, 186, 191divcan5d 12096 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = (1 / (𝑥 + i)))
193176, 192eqtr3d 2782 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 + i)))
194142mulridd 11307 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) · 1) = (𝑥 + i))
195194, 174oveq12d 7466 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))))
19689, 140, 142, 191, 186divcan5d 12096 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = (1 / (𝑥 − i)))
197195, 196eqtr3d 2782 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 − i)))
198193, 197oveq12d 7466 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))) = ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))))
199149, 162, 1983eqtr3rd 2789 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
200199mpteq2dva 5266 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
201138, 200eqtrd 2780 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
202 halfcl 12518 . . . . 5 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
2034, 202mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (i / 2) ∈ ℂ)
2042, 23, 24, 201, 203dvmptcmul 26022 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
205 df-atan 26928 . . . . . . 7 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
206205reseq1i 6005 . . . . . 6 (arctan ↾ 𝑆) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆)
207 atanf 26941 . . . . . . . . 9 arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
208207fdmi 6758 . . . . . . . 8 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
2097, 208sseqtri 4045 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
210 resmpt 6066 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
211209, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
212206, 211eqtri 2768 . . . . 5 (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
213212a1i 11 . . . 4 (⊤ → (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
214213oveq2d 7464 . . 3 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))))
215 2ne0 12397 . . . . . . 7 2 ≠ 0
216 divcan6 12001 . . . . . . 7 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((i / 2) · (2 / i)) = 1)
2174, 84, 154, 215, 216mp4an 692 . . . . . 6 ((i / 2) · (2 / i)) = 1
218217oveq1i 7458 . . . . 5 (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (1 + (𝑥↑2)))
2194, 202mp1i 13 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i / 2) ∈ ℂ)
220154, 4, 84divcli 12036 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ ℂ
221220a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (2 / i) ∈ ℂ)
222219, 221, 145, 148divassd 12105 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
223218, 222eqtr3id 2794 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
224223mpteq2dva 5266 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
225204, 214, 2243eqtr4d 2790 . 2 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))))
226225mptru 1544 1 (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  -∞cmnf 11322   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  (,]cioc 13408  ↑cexp 14112  TopOpenctopn 17481  ℂfldccnfld 21387   D cdv 25918  logclog 26614  arctancatan 26925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-atan 26928
This theorem is referenced by:  atancn  26997
  Copyright terms: Public domain W3C validator