MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvatan 25521
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)
Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10619 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-1cn 10584 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 10585 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 25519 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ dom arctan
8 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
97, 8sseldi 3913 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom arctan)
10 atandm2 25463 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
119, 10sylib 221 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
1211simp1d 1139 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 mulcl 10610 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
144, 12, 13sylancr 590 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subcl 10874 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
163, 14, 15sylancr 590 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1711simp2d 1140 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
1816, 17logcld 25162 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
19 addcl 10608 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
203, 14, 19sylancr 590 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
2111simp3d 1141 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
2220, 21logcld 25162 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
2318, 22subcld 10986 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
24 ovexd 7170 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V)
25 ovexd 7170 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (𝑥 + i)) ∈ V)
265, 6atans2 25517 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1143 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝑆 → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
2827adantl 485 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
29 negex 10873 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -i ∈ V)
315logdmss 25233 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
3331, 32sseldi 3913 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
34 logf1o 25156 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
35 f1of 6590 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
3736ffvelrni 6827 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ran log)
38 logrncn 25154 . . . . . . . . 9 ((log‘𝑦) ∈ ran log → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
40 ovexd 7170 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
4241, 13sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
433, 42, 15sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ V)
45 1cnd 10625 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46 0cnd 10623 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
47 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
482, 47dvmptc 24561 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
50 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
512dvmptid 24560 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 24567 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
534mulid1i 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 1) = i
5453mpteq2i 5122 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5552, 54eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 24570 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i)))
57 df-neg 10862 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 − i)
5857mpteq2i 5122 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i))
5956, 58eqtr4di 2851 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
606ssrab3 4008 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ⊆ ℂ)
62 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6362cnfldtopon 23388 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6463toponrestid 21526 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
655, 6atansopn 25518 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
672, 43, 44, 59, 61, 64, 62, 66dvmptres 24566 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -i))
68 fssres 6518 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
6936, 31, 68mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7170feqmptd 6708 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (log ↾ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)))
72 fvres 6664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑦) = (log‘𝑦))
7372mpteq2ia 5121 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))
7471, 73eqtr2di 2850 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ 𝐷))
7574oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ 𝐷)))
765dvlog 25242 . . . . . . . . 9 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
7775, 76eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
78 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 − (i · 𝑥))))
79 oveq2 7143 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 − (i · 𝑥))))
802, 2, 28, 30, 39, 40, 67, 77, 78, 79dvmptco 24575 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)))
81 irec 13560 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8281oveq2i 7146 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)
834a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → i ∈ ℂ)
84 ine0 11064 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → i ≠ 0)
8616, 83, 17, 85recdiv2d 11423 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)))
8716, 17reccld 11398 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
8887, 83, 85divrecd 11408 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)))
89 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
9089, 14, 83subdird 11086 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)))
914mulid2i 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · i) = i
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 · i) = i)
9383, 12, 83mul32d 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = ((i · i) · 𝑥))
94 ixi 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
9594oveq1i 7145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝑥) = (-1 · 𝑥)
9612mulm1d 11081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
9795, 96syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · i) · 𝑥) = -𝑥)
9893, 97eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = -𝑥)
9992, 98oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)) = (i − -𝑥))
100 subneg 10924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
1014, 12, 100sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
10290, 99, 1013eqtrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (i + 𝑥))
10383, 12, 102comraddd 10843 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (𝑥 + i))
104103oveq2d 7151 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10586, 88, 1043eqtr3d 2841 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10682, 105syl5eqr 2847 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i) = (1 / (𝑥 + i)))
107106mpteq2dva 5125 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
10880, 107eqtrd 2833 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
109 ovexd 7170 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (𝑥 − i)) ∈ V)
11026simp3bi 1144 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝑆 → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
111110adantl 485 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
1123, 42, 19sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1132, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 24563 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)))
1144addid2i 10817 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
115114mpteq2i 5122 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
116113, 115eqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
1172, 112, 49, 116, 61, 64, 62, 66dvmptres 24566 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ i))
118 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 + (i · 𝑥))))
119 oveq2 7143 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i · 𝑥))))
1202, 2, 111, 83, 39, 40, 117, 77, 118, 119dvmptco 24575 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)))
12189, 20, 83, 21, 85divdiv2d 11437 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))))
12289, 14, 83, 85divdird 11443 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)))
12381a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / i) = -i)
12412, 83, 85divcan3d 11410 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) / i) = 𝑥)
125123, 124oveq12d 7153 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)) = (-i + 𝑥))
126 negicn 10876 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ ℂ
127 addcom 10815 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
128126, 12, 127sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
129 negsub 10923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
13012, 4, 129sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
131128, 130eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 − i))
132122, 125, 1313eqtrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = (𝑥 − i))
133132oveq2d 7151 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = (1 / (𝑥 − i)))
13489, 83, 20, 21div23d 11442 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))) = ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i))
135121, 133, 1343eqtr3rd 2842 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i) = (1 / (𝑥 − i)))
136135mpteq2dva 5125 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
137120, 136eqtrd 2833 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
1382, 18, 25, 108, 22, 109, 137dvmptsub 24570 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))))
139 subcl 10874 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
14012, 4, 139sylancl 589 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
141 addcl 10608 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14212, 4, 141sylancl 589 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14312sqcld 13504 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
144 addcl 10608 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1453, 143, 144sylancr 590 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
146 atandm4 25465 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0))
147146simprbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
1489, 147syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
149140, 142, 145, 148divsubdird 11444 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))))
150130oveq1d 7150 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)))
151126a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -i ∈ ℂ)
15212, 151, 83pnpcand 11023 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
153150, 152eqtr3d 2835 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
154 2cn 11700 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
155154, 4, 84divreci 11374 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 · (1 / i))
15681oveq2i 7146 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / i)) = (2 · -i)
157155, 156eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 · -i)
1581262timesi 11763 . . . . . . . . . 10 (2 · -i) = (-i + -i)
159126, 4negsubi 10953 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i − i)
160157, 158, 1593eqtri 2825 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i − i)
161153, 160eqtr4di 2851 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (2 / i))
162161oveq1d 7150 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
163140mulid1d 10647 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · 1) = (𝑥 − i))
164140, 142mulcomd 10651 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
165 i2 13561 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
166165oveq2i 7146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) − -1)
167 subneg 10924 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
168143, 3, 167sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
169166, 168syl5eq 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) + 1))
170 subsq 13568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
17112, 4, 170sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
172 addcom 10815 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
173143, 3, 172sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
174169, 171, 1733eqtr3d 2841 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)) = (1 + (𝑥↑2)))
175164, 174eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = (1 + (𝑥↑2)))
176163, 175oveq12d 7153 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))))
177 subneg 10924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
17812, 4, 177sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
179 atandm 25462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
1809, 179sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
181180simp2d 1140 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ -i)
182 subeq0 10901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) = 0 ↔ 𝑥 = -i))
183182necon3bid 3031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
18412, 126, 183sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
185181, 184mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − -i) ≠ 0)
186178, 185eqnetrrd 3055 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + i) ≠ 0)
187180simp3d 1141 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ i)
188 subeq0 10901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) = 0 ↔ 𝑥 = i))
189188necon3bid 3031 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
19012, 4, 189sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
191187, 190mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − i) ≠ 0)
19289, 142, 140, 186, 191divcan5d 11431 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = (1 / (𝑥 + i)))
193176, 192eqtr3d 2835 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 + i)))
194142mulid1d 10647 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) · 1) = (𝑥 + i))
195194, 174oveq12d 7153 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))))
19689, 140, 142, 191, 186divcan5d 11431 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = (1 / (𝑥 − i)))
197195, 196eqtr3d 2835 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 − i)))
198193, 197oveq12d 7153 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))) = ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))))
199149, 162, 1983eqtr3rd 2842 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
200199mpteq2dva 5125 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
201138, 200eqtrd 2833 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
202 halfcl 11850 . . . . 5 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
2034, 202mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (i / 2) ∈ ℂ)
2042, 23, 24, 201, 203dvmptcmul 24567 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
205 df-atan 25453 . . . . . . 7 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
206205reseq1i 5814 . . . . . 6 (arctan ↾ 𝑆) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆)
207 atanf 25466 . . . . . . . . 9 arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
208207fdmi 6498 . . . . . . . 8 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
2097, 208sseqtri 3951 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
210 resmpt 5872 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
211209, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
212206, 211eqtri 2821 . . . . 5 (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
213212a1i 11 . . . 4 (⊤ → (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
214213oveq2d 7151 . . 3 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))))
215 2ne0 11729 . . . . . . 7 2 ≠ 0
216 divcan6 11336 . . . . . . 7 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((i / 2) · (2 / i)) = 1)
2174, 84, 154, 215, 216mp4an 692 . . . . . 6 ((i / 2) · (2 / i)) = 1
218217oveq1i 7145 . . . . 5 (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (1 + (𝑥↑2)))
2194, 202mp1i 13 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i / 2) ∈ ℂ)
220154, 4, 84divcli 11371 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ ℂ
221220a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (2 / i) ∈ ℂ)
222219, 221, 145, 148divassd 11440 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
223218, 222syl5eqr 2847 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
224223mpteq2dva 5125 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
225204, 214, 2243eqtr4d 2843 . 2 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))))
226225mptru 1545 1 (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  -∞cmnf 10662   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  (,]cioc 12727  ↑cexp 13425  TopOpenctopn 16687  ℂfldccnfld 20091   D cdv 24466  logclog 25146  arctancatan 25450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-atan 25453
This theorem is referenced by:  atancn  25522
  Copyright terms: Public domain W3C validator