Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvatan 25075
 Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10345 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-1cn 10310 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 10311 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 25073 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ dom arctan
8 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
97, 8sseldi 3825 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom arctan)
10 atandm2 25017 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
119, 10sylib 210 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
1211simp1d 1176 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 mulcl 10336 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
144, 12, 13sylancr 581 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subcl 10600 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
163, 14, 15sylancr 581 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1711simp2d 1177 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
1816, 17logcld 24716 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
19 addcl 10334 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
203, 14, 19sylancr 581 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
2111simp3d 1178 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
2220, 21logcld 24716 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
2318, 22subcld 10713 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
24 ovexd 6939 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V)
25 ovexd 6939 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 + i)) ∈ V)
265, 6atans2 25071 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1180 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
2827adantl 475 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
29 negex 10599 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ V)
315logdmss 24787 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3331, 32sseldi 3825 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
34 logf1o 24710 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
35 f1of 6378 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
3736ffvelrni 6607 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ran log)
38 logrncn 24708 . . . . . . . . 9 ((log‘𝑦) ∈ ran log → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
40 ovexd 6939 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
4241, 13sylan 575 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
433, 42, 15sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ V)
45 1cnd 10351 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46 0cnd 10349 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
47 1cnd 10351 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
482, 47dvmptc 24120 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
50 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
512dvmptid 24119 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 24126 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
534mulid1i 10361 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 1) = i
5453mpteq2i 4964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5552, 54syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 24129 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i)))
57 df-neg 10588 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 − i)
5857mpteq2i 4964 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i))
5956, 58syl6eqr 2879 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
60 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6160cnfldtopon 22956 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
625, 6atansopn 25072 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
63 toponss 21102 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6461, 62, 63mp2an 683 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ⊆ ℂ)
6661toponrestid 21096 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
6762a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
682, 43, 44, 59, 65, 66, 60, 67dvmptres 24125 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ -i))
69 fssres 6307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7036, 31, 69mp2an 683 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7271feqmptd 6496 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (log ↾ 𝐷) = (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)))
73 fvres 6452 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑦) = (log‘𝑦))
7473mpteq2ia 4963 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))
7572, 74syl6req 2878 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ 𝐷))
7675oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ 𝐷)))
775dvlog 24796 . . . . . . . . 9 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
7876, 77syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
79 fveq2 6433 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 − (i · 𝑥))))
80 oveq2 6913 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 − (i · 𝑥))))
812, 2, 28, 30, 39, 40, 68, 78, 79, 80dvmptco 24134 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)))
82 irec 13258 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8382oveq2i 6916 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)
844a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ∈ ℂ)
85 ine0 10789 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ≠ 0)
8716, 84, 17, 86recdiv2d 11145 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)))
8816, 17reccld 11120 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
8988, 84, 86divrecd 11130 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)))
90 1cnd 10351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 1 ∈ ℂ)
9190, 14, 84subdird 10811 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)))
924mulid2i 10362 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · i) = i
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 · i) = i)
9484, 12, 84mul32d 10565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = ((i · i) · 𝑥))
95 ixi 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
9695oveq1i 6915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝑥) = (-1 · 𝑥)
9712mulm1d 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
9896, 97syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · i) · 𝑥) = -𝑥)
9994, 98eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = -𝑥)
10093, 99oveq12d 6923 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)) = (i − -𝑥))
101 subneg 10651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
1024, 12, 101sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
10391, 100, 1023eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (i + 𝑥))
104 addcom 10541 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i + 𝑥) = (𝑥 + i))
1054, 12, 104sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i + 𝑥) = (𝑥 + i))
106103, 105eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (𝑥 + i))
107106oveq2d 6921 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10887, 89, 1073eqtr3d 2869 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10983, 108syl5eqr 2875 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i) = (1 / (𝑥 + i)))
110109mpteq2dva 4967 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
11181, 110eqtrd 2861 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
112 ovexd 6939 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 − i)) ∈ V)
11326simp3bi 1181 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
114113adantl 475 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
1153, 42, 19sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1162, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 24122 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)))
1174addid2i 10543 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
118117mpteq2i 4964 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
119116, 118syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
1202, 115, 49, 119, 65, 66, 60, 67dvmptres 24125 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ i))
121 fveq2 6433 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 + (i · 𝑥))))
122 oveq2 6913 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i · 𝑥))))
1232, 2, 114, 84, 39, 40, 120, 78, 121, 122dvmptco 24134 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)))
12490, 20, 84, 21, 86divdiv2d 11159 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))))
12590, 14, 84, 86divdird 11165 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)))
12682a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / i) = -i)
12712, 84, 86divcan3d 11132 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) / i) = 𝑥)
128126, 127oveq12d 6923 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)) = (-i + 𝑥))
129 negicn 10602 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ ℂ
130 addcom 10541 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
131129, 12, 130sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
132 negsub 10650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
13312, 4, 132sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
134131, 133eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 − i))
135125, 128, 1343eqtrd 2865 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = (𝑥 − i))
136135oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = (1 / (𝑥 − i)))
13790, 84, 20, 21div23d 11164 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))) = ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i))
138124, 136, 1373eqtr3rd 2870 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i) = (1 / (𝑥 − i)))
139138mpteq2dva 4967 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
140123, 139eqtrd 2861 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
1412, 18, 25, 111, 22, 112, 140dvmptsub 24129 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))))
142 subcl 10600 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
14312, 4, 142sylancl 580 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
144 addcl 10334 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14512, 4, 144sylancl 580 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14612sqcld 13300 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
147 addcl 10334 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1483, 146, 147sylancr 581 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
149 atandm4 25019 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0))
150149simprbi 492 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
1519, 150syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
152143, 145, 148, 151divsubdird 11166 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))))
153133oveq1d 6920 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)))
154129a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ ℂ)
15512, 154, 84pnpcand 10750 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
156153, 155eqtr3d 2863 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
157 2cn 11426 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
158157, 4, 85divreci 11096 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 · (1 / i))
15982oveq2i 6916 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / i)) = (2 · -i)
160158, 159eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 · -i)
1611292timesi 11496 . . . . . . . . . 10 (2 · -i) = (-i + -i)
162129, 4negsubi 10680 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i − i)
163160, 161, 1623eqtri 2853 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i − i)
164156, 163syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (2 / i))
165164oveq1d 6920 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
166143mulid1d 10374 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · 1) = (𝑥 − i))
167143, 145mulcomd 10378 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
168 i2 13259 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
169168oveq2i 6916 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) − -1)
170 subneg 10651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
171146, 3, 170sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
172169, 171syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) + 1))
173 subsq 13266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
17412, 4, 173sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
175 addcom 10541 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
176146, 3, 175sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
177172, 174, 1763eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)) = (1 + (𝑥↑2)))
178167, 177eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = (1 + (𝑥↑2)))
179166, 178oveq12d 6923 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))))
180 subneg 10651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
18112, 4, 180sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
182 atandm 25016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
1839, 182sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
184183simp2d 1177 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ -i)
185 subeq0 10628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) = 0 ↔ 𝑥 = -i))
186185necon3bid 3043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
18712, 129, 186sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
188184, 187mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) ≠ 0)
189181, 188eqnetrrd 3067 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ≠ 0)
190183simp3d 1178 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ i)
191 subeq0 10628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) = 0 ↔ 𝑥 = i))
192191necon3bid 3043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
19312, 4, 192sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
194190, 193mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ≠ 0)
19590, 145, 143, 189, 194divcan5d 11153 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = (1 / (𝑥 + i)))
196179, 195eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 + i)))
197145mulid1d 10374 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · 1) = (𝑥 + i))
198197, 177oveq12d 6923 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))))
19990, 143, 145, 194, 189divcan5d 11153 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = (1 / (𝑥 − i)))
200198, 199eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 − i)))
201196, 200oveq12d 6923 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))) = ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))))
202152, 165, 2013eqtr3rd 2870 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
203202mpteq2dva 4967 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
204141, 203eqtrd 2861 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
205 halfcl 11583 . . . . 5 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
2064, 205mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (i / 2) ∈ ℂ)
2072, 23, 24, 204, 206dvmptcmul 24126 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
208 df-atan 25007 . . . . . . 7 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
209208reseq1i 5625 . . . . . 6 (arctan ↾ 𝑆) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆)
210 atanf 25020 . . . . . . . . 9 arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
211210fdmi 6288 . . . . . . . 8 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
2127, 211sseqtri 3862 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
213 resmpt 5686 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
214212, 213ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
215209, 214eqtri 2849 . . . . 5 (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
216215a1i 11 . . . 4 (⊤ → (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
217216oveq2d 6921 . . 3 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))))
218 2ne0 11462 . . . . . . 7 2 ≠ 0
219 divcan6 11058 . . . . . . 7 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((i / 2) · (2 / i)) = 1)
2204, 85, 157, 218, 219mp4an 684 . . . . . 6 ((i / 2) · (2 / i)) = 1
221220oveq1i 6915 . . . . 5 (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (1 + (𝑥↑2)))
2224, 205mp1i 13 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i / 2) ∈ ℂ)
223157, 4, 85divcli 11093 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ ℂ
224223a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (2 / i) ∈ ℂ)
225222, 224, 148, 151divassd 11162 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
226221, 225syl5eqr 2875 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
227226mpteq2dva 4967 . . 3 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
228207, 217, 2273eqtr4d 2871 . 2 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))))
229228mptru 1664 1 (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656  ⊤wtru 1657   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  {crab 3121  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  {csn 4397  {cpr 4399   ↦ cmpt 4952  dom cdm 5342  ran crn 5343   ↾ cres 5344  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253  ici 10254   + caddc 10255   · cmul 10257  -∞cmnf 10389   − cmin 10585  -cneg 10586   / cdiv 11009  2c2 11406  (,]cioc 12464  ↑cexp 13154  TopOpenctopn 16435  ℂfldccnfld 20106  TopOnctopon 21085   D cdv 24026  logclog 24700  arctancatan 25004 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-tan 15174  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-cmp 21561  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702  df-atan 25007 This theorem is referenced by:  atancn  25076
 Copyright terms: Public domain W3C validator