MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvatan 25426
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 10619 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-1cn 10584 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 10585 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 25424 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ dom arctan
8 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
97, 8sseldi 3969 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ dom arctan)
10 atandm2 25368 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
119, 10sylib 219 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
1211simp1d 1136 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 mulcl 10610 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
144, 12, 13sylancr 587 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subcl 10874 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
163, 14, 15sylancr 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1711simp2d 1137 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
1816, 17logcld 25067 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
19 addcl 10608 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
203, 14, 19sylancr 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
2111simp3d 1138 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
2220, 21logcld 25067 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
2318, 22subcld 10986 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
24 ovexd 7183 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V)
25 ovexd 7183 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 + i)) ∈ V)
265, 6atans2 25422 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1140 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
2827adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
29 negex 10873 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ V)
315logdmss 25138 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3331, 32sseldi 3969 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
34 logf1o 25061 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
35 f1of 6612 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
3736ffvelrni 6846 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ran log)
38 logrncn 25059 . . . . . . . . 9 ((log‘𝑦) ∈ ran log → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
40 ovexd 7183 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦𝐷) → (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
4241, 13sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
433, 42, 15sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ V)
45 1cnd 10625 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46 0cnd 10623 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
47 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
482, 47dvmptc 24470 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
50 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
512dvmptid 24469 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 24476 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
534mulid1i 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 1) = i
5453mpteq2i 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5552, 54syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 24479 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i)))
57 df-neg 10862 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 − i)
5857mpteq2i 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i))
5956, 58syl6eqr 2879 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
606ssrab3 4061 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ⊆ ℂ)
62 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6362cnfldtopon 23306 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6463toponrestid 21445 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
655, 6atansopn 25423 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
672, 43, 44, 59, 61, 64, 62, 66dvmptres 24475 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ -i))
68 fssres 6541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
6936, 31, 68mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7170feqmptd 6730 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (log ↾ 𝐷) = (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)))
72 fvres 6686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑦) = (log‘𝑦))
7372mpteq2ia 5154 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)) = (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))
7471, 73syl6req 2878 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ 𝐷))
7574oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ 𝐷)))
765dvlog 25147 . . . . . . . . 9 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
7775, 76syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑦𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
78 fveq2 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 − (i · 𝑥))))
79 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 − (i · 𝑥))))
802, 2, 28, 30, 39, 40, 67, 77, 78, 79dvmptco 24484 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)))
81 irec 13554 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8281oveq2i 7159 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)
834a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ∈ ℂ)
84 ine0 11064 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → i ≠ 0)
8616, 83, 17, 85recdiv2d 11423 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)))
8716, 17reccld 11398 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
8887, 83, 85divrecd 11408 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)))
89 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 1 ∈ ℂ)
9089, 14, 83subdird 11086 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)))
914mulid2i 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · i) = i
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 · i) = i)
9383, 12, 83mul32d 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = ((i · i) · 𝑥))
94 ixi 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
9594oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝑥) = (-1 · 𝑥)
9612mulm1d 11081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
9795, 96syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · i) · 𝑥) = -𝑥)
9893, 97eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = -𝑥)
9992, 98oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)) = (i − -𝑥))
100 subneg 10924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
1014, 12, 100sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
10290, 99, 1013eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (i + 𝑥))
10383, 12, 102comraddd 10843 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (𝑥 + i))
104103oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10586, 88, 1043eqtr3d 2869 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10682, 105syl5eqr 2875 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i) = (1 / (𝑥 + i)))
107106mpteq2dva 5158 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
10880, 107eqtrd 2861 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
109 ovexd 7183 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (𝑥 − i)) ∈ V)
11026simp3bi 1141 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆 → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
111110adantl 482 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
1123, 42, 19sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1132, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 24472 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)))
1144addid2i 10817 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
115114mpteq2i 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
116113, 115syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
1172, 112, 49, 116, 61, 64, 62, 66dvmptres 24475 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥𝑆 ↦ i))
118 fveq2 6667 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 + (i · 𝑥))))
119 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i · 𝑥))))
1202, 2, 111, 83, 39, 40, 117, 77, 118, 119dvmptco 24484 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)))
12189, 20, 83, 21, 85divdiv2d 11437 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))))
12289, 14, 83, 85divdird 11443 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)))
12381a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / i) = -i)
12412, 83, 85divcan3d 11410 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((i · 𝑥) / i) = 𝑥)
125123, 124oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)) = (-i + 𝑥))
126 negicn 10876 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ ℂ
127 addcom 10815 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
128126, 12, 127sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
129 negsub 10923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
13012, 4, 129sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
131128, 130eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 − i))
132122, 125, 1313eqtrd 2865 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = (𝑥 − i))
133132oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = (1 / (𝑥 − i)))
13489, 83, 20, 21div23d 11442 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))) = ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i))
135121, 133, 1343eqtr3rd 2870 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i) = (1 / (𝑥 − i)))
136135mpteq2dva 5158 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
137120, 136eqtrd 2861 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
1382, 18, 25, 108, 22, 109, 137dvmptsub 24479 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))))
139 subcl 10874 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
14012, 4, 139sylancl 586 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
141 addcl 10608 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14212, 4, 141sylancl 586 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14312sqcld 13498 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
144 addcl 10608 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1453, 143, 144sylancr 587 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
146 atandm4 25370 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0))
147146simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
1489, 147syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
149140, 142, 145, 148divsubdird 11444 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))))
150130oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)))
151126a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → -i ∈ ℂ)
15212, 151, 83pnpcand 11023 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
153150, 152eqtr3d 2863 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
154 2cn 11701 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
155154, 4, 84divreci 11374 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 · (1 / i))
15681oveq2i 7159 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / i)) = (2 · -i)
157155, 156eqtri 2849 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 · -i)
1581262timesi 11764 . . . . . . . . . 10 (2 · -i) = (-i + -i)
159126, 4negsubi 10953 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i − i)
160157, 158, 1593eqtri 2853 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i − i)
161153, 160syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (2 / i))
162161oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
163140mulid1d 10647 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · 1) = (𝑥 − i))
164140, 142mulcomd 10651 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
165 i2 13555 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
166165oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) − -1)
167 subneg 10924 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
168143, 3, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
169166, 168syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) + 1))
170 subsq 13562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
17112, 4, 170sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
172 addcom 10815 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
173143, 3, 172sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
174169, 171, 1733eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)) = (1 + (𝑥↑2)))
175164, 174eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = (1 + (𝑥↑2)))
176163, 175oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))))
177 subneg 10924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
17812, 4, 177sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
179 atandm 25367 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
1809, 179sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
181180simp2d 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ -i)
182 subeq0 10901 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) = 0 ↔ 𝑥 = -i))
183182necon3bid 3065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
18412, 126, 183sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
185181, 184mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − -i) ≠ 0)
186178, 185eqnetrrd 3089 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 + i) ≠ 0)
187180simp3d 1138 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ≠ i)
188 subeq0 10901 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) = 0 ↔ 𝑥 = i))
189188necon3bid 3065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
19012, 4, 189sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
191187, 190mpbird 258 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥 − i) ≠ 0)
19289, 142, 140, 186, 191divcan5d 11431 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = (1 / (𝑥 + i)))
193176, 192eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 + i)))
194142mulid1d 10647 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) · 1) = (𝑥 + i))
195194, 174oveq12d 7166 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))))
19689, 140, 142, 191, 186divcan5d 11431 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = (1 / (𝑥 − i)))
197195, 196eqtr3d 2863 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 − i)))
198193, 197oveq12d 7166 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))) = ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))))
199149, 162, 1983eqtr3rd 2870 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
200199mpteq2dva 5158 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
201138, 200eqtrd 2861 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
202 halfcl 11851 . . . . 5 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
2034, 202mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (i / 2) ∈ ℂ)
2042, 23, 24, 201, 203dvmptcmul 24476 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
205 df-atan 25358 . . . . . . 7 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
206205reseq1i 5848 . . . . . 6 (arctan ↾ 𝑆) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆)
207 atanf 25371 . . . . . . . . 9 arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
208207fdmi 6521 . . . . . . . 8 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
2097, 208sseqtri 4007 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
210 resmpt 5904 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
211209, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
212206, 211eqtri 2849 . . . . 5 (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
213212a1i 11 . . . 4 (⊤ → (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
214213oveq2d 7164 . . 3 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (ℂ D (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))))
215 2ne0 11730 . . . . . . 7 2 ≠ 0
216 divcan6 11336 . . . . . . 7 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((i / 2) · (2 / i)) = 1)
2174, 84, 154, 215, 216mp4an 689 . . . . . 6 ((i / 2) · (2 / i)) = 1
218217oveq1i 7158 . . . . 5 (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (1 + (𝑥↑2)))
2194, 202mp1i 13 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (i / 2) ∈ ℂ)
220154, 4, 84divcli 11371 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ ℂ
221220a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (2 / i) ∈ ℂ)
222219, 221, 145, 148divassd 11440 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
223218, 222syl5eqr 2875 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝑆) → (1 / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
224223mpteq2dva 5158 . . 3 (⊤ → (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))) = (𝑥𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
225204, 214, 2243eqtr4d 2871 . 2 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))))
226225mptru 1537 1 (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wtru 1531  wcel 2107  wne 3021  {crab 3147  Vcvv 3500  cdif 3937  wss 3940  {csn 4564  {cpr 4566  cmpt 5143  dom cdm 5554  ran crn 5555  cres 5556  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  -∞cmnf 10662  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11681  (,]cioc 12729  cexp 13419  TopOpenctopn 16685  fldccnfld 20461   D cdv 24376  logclog 25051  arctancatan 25355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-tan 15415  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-atan 25358
This theorem is referenced by:  atancn  25427
  Copyright terms: Public domain W3C validator