MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvatan 26852
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)
Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11168 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3 ax-1cn 11133 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
4 ax-icn 11134 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 26850 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ dom arctan
8 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
97, 8sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ dom arctan)
10 atandm2 26794 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
119, 10sylib 218 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0))
1211simp1d 1142 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 mulcl 11159 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
144, 12, 13sylancr 587 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subcl 11427 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
163, 14, 15sylancr 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1711simp2d 1143 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ≠ 0)
1816, 17logcld 26486 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (log‘(1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
19 addcl 11157 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑥) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
203, 14, 19sylancr 587 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
2111simp3d 1144 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ≠ 0)
2220, 21logcld 26486 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (log‘(1 + (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
2318, 22subcld 11540 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))) ∈ ℂ)
24 ovexd 7425 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))) ∈ V)
25 ovexd 7425 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (𝑥 + i)) ∈ V)
265, 6atans2 26848 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝑆 → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
29 negex 11426 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -i ∈ V)
315logdmss 26558 . . . . . . . . . 10 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
3331, 32sselid 3947 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
34 logf1o 26480 . . . . . . . . . . 11 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
35 f1of 6803 . . . . . . . . . . 11 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
3736ffvelcdmi 7058 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ran log)
38 logrncn 26478 . . . . . . . . 9 ((log‘𝑦) ∈ ran log → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
40 ovexd 7425 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → i ∈ ℂ)
4241, 13sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
433, 42, 15sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ V)
45 1cnd 11176 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
46 0cnd 11174 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
47 1cnd 11176 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
482, 47dvmptc 25869 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
512dvmptid 25868 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 25875 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
534mulridi 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 1) = i
5453mpteq2i 5206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5552, 54eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 25878 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i)))
57 df-neg 11415 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 − i)
5857mpteq2i 5206 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − i))
5956, 58eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
606ssrab3 4048 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ⊆ ℂ)
62 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6362cnfldtopon 24677 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
6463toponrestid 22815 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
655, 6atansopn 26849 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
672, 43, 44, 59, 61, 64, 62, 66dvmptres 25874 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 − (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ -i))
68 fssres 6729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
6936, 31, 68mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7170feqmptd 6932 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (log ↾ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)))
72 fvres 6880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑦) = (log‘𝑦))
7372mpteq2ia 5205 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))
7471, 73eqtr2di 2782 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ 𝐷))
7574oveq2d 7406 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ 𝐷)))
765dvlog 26567 . . . . . . . . 9 (ℂ D (log ↾ 𝐷)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
7775, 76eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
78 fveq2 6861 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 − (i · 𝑥))))
79 oveq2 7398 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 − (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 − (i · 𝑥))))
802, 2, 28, 30, 39, 40, 67, 77, 78, 79dvmptco 25883 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)))
81 irec 14173 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8281oveq2i 7401 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)
834a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → i ∈ ℂ)
84 ine0 11620 . . . . . . . . . . . 12 i ≠ 0
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → i ≠ 0)
8616, 83, 17, 85recdiv2d 11983 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)))
8716, 17reccld 11958 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (1 − (i · 𝑥))) ∈ ℂ)
8887, 83, 85divrecd 11968 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) / i) = ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)))
89 1cnd 11176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 1 ∈ ℂ)
9089, 14, 83subdird 11642 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)))
914mullidi 11186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · i) = i
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 · i) = i)
9383, 12, 83mul32d 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = ((i · i) · 𝑥))
94 ixi 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
9594oveq1i 7400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · i) · 𝑥) = (-1 · 𝑥)
9612mulm1d 11637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
9795, 96eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · i) · 𝑥) = -𝑥)
9893, 97eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) · i) = -𝑥)
9992, 98oveq12d 7408 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 · i) − ((i · 𝑥) · i)) = (i − -𝑥))
100 subneg 11478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
1014, 12, 100sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i − -𝑥) = (i + 𝑥))
10290, 99, 1013eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (i + 𝑥))
10383, 12, 102comraddd 11395 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 − (i · 𝑥)) · i) = (𝑥 + i))
104103oveq2d 7406 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 − (i · 𝑥)) · i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10586, 88, 1043eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · (1 / i)) = (1 / (𝑥 + i)))
10682, 105eqtr3id 2779 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i) = (1 / (𝑥 + i)))
107106mpteq2dva 5203 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 − (i · 𝑥))) · -i)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
10880, 107eqtrd 2765 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 − (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 + i))))
109 ovexd 7425 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (𝑥 − i)) ∈ V)
11026simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝑆 → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
111110adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ 𝐷)
1123, 42, 19sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝑥)) ∈ ℂ)
1132, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 25871 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)))
1144addlidi 11369 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
115114mpteq2i 5206 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 + i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
116113, 115eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
1172, 112, 49, 116, 61, 64, 62, 66dvmptres 25874 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 + (i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ i))
118 fveq2 6861 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (log‘𝑦) = (log‘(1 + (i · 𝑥))))
119 oveq2 7398 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i · 𝑥)) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i · 𝑥))))
1202, 2, 111, 83, 39, 40, 117, 77, 118, 119dvmptco 25883 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)))
12189, 20, 83, 21, 85divdiv2d 11997 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))))
12289, 14, 83, 85divdird 12003 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)))
12381a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / i) = -i)
12412, 83, 85divcan3d 11970 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((i · 𝑥) / i) = 𝑥)
125123, 124oveq12d 7408 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / i) + ((i · 𝑥) / i)) = (-i + 𝑥))
126 negicn 11429 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ ℂ
127 addcom 11367 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
128126, 12, 127sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 + -i))
129 negsub 11477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
13012, 4, 129sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + -i) = (𝑥 − i))
131128, 130eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (-i + 𝑥) = (𝑥 − i))
132122, 125, 1313eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 + (i · 𝑥)) / i) = (𝑥 − i))
133132oveq2d 7406 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / ((1 + (i · 𝑥)) / i)) = (1 / (𝑥 − i)))
13489, 83, 20, 21div23d 12002 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 · i) / (1 + (i · 𝑥))) = ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i))
135121, 133, 1343eqtr3rd 2774 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i) = (1 / (𝑥 − i)))
136135mpteq2dva 5203 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i · 𝑥))) · i)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
137120, 136eqtrd 2765 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (log‘(1 + (i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (𝑥 − i))))
1382, 18, 25, 108, 22, 109, 137dvmptsub 25878 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))))
139 subcl 11427 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
14012, 4, 139sylancl 586 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − i) ∈ ℂ)
141 addcl 11157 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14212, 4, 141sylancl 586 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + i) ∈ ℂ)
14312sqcld 14116 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
144 addcl 11157 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1453, 143, 144sylancr 587 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
146 atandm4 26796 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0))
147146simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ dom arctan → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
1489, 147syl 17 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 + (𝑥↑2)) ≠ 0)
149140, 142, 145, 148divsubdird 12004 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))))
150130oveq1d 7405 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)))
151126a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → -i ∈ ℂ)
15212, 151, 83pnpcand 11577 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + -i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
153150, 152eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (-i − i))
154 2cn 12268 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
155154, 4, 84divreci 11934 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 · (1 / i))
15681oveq2i 7401 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / i)) = (2 · -i)
157155, 156eqtri 2753 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 · -i)
1581262timesi 12326 . . . . . . . . . 10 (2 · -i) = (-i + -i)
159126, 4negsubi 11507 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i − i)
160157, 158, 1593eqtri 2757 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i − i)
161153, 160eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) = (2 / i))
162161oveq1d 7405 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) − (𝑥 + i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
163140mulridd 11198 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · 1) = (𝑥 − i))
164140, 142mulcomd 11202 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
165 i2 14174 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
166165oveq2i 7401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) − -1)
167 subneg 11478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
168143, 3, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − -1) = ((𝑥↑2) + 1))
169166, 168eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥↑2) + 1))
170 subsq 14182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
17112, 4, 170sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) − (i↑2)) = ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)))
172 addcom 11367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
173143, 3, 172sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥↑2) + 1) = (1 + (𝑥↑2)))
174169, 171, 1733eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) · (𝑥 − i)) = (1 + (𝑥↑2)))
175164, 174eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) · (𝑥 + i)) = (1 + (𝑥↑2)))
176163, 175oveq12d 7408 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))))
177 subneg 11478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
17812, 4, 177sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − -i) = (𝑥 + i))
179 atandm 26793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ dom arctan ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
1809, 179sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ -i ∧ 𝑥 ≠ i))
181180simp2d 1143 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ -i)
182 subeq0 11455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) = 0 ↔ 𝑥 = -i))
183182necon3bid 2970 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
18412, 126, 183sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − -i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ -i))
185181, 184mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − -i) ≠ 0)
186178, 185eqnetrrd 2994 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 + i) ≠ 0)
187180simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≠ i)
188 subeq0 11455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) = 0 ↔ 𝑥 = i))
189188necon3bid 2970 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
19012, 4, 189sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ i))
191187, 190mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 − i) ≠ 0)
19289, 142, 140, 186, 191divcan5d 11991 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) · 1) / ((𝑥 − i) · (𝑥 + i))) = (1 / (𝑥 + i)))
193176, 192eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 + i)))
194142mulridd 11198 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) · 1) = (𝑥 + i))
195194, 174oveq12d 7408 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))))
19689, 140, 142, 191, 186divcan5d 11991 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 + i) · 1) / ((𝑥 + i) · (𝑥 − i))) = (1 / (𝑥 − i)))
197195, 196eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (𝑥 − i)))
198193, 197oveq12d 7408 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝑥 − i) / (1 + (𝑥↑2))) − ((𝑥 + i) / (1 + (𝑥↑2)))) = ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))))
199149, 162, 1983eqtr3rd 2774 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i))) = ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))
200199mpteq2dva 5203 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (𝑥 + i)) − (1 / (𝑥 − i)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
201138, 200eqtrd 2765 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
202 halfcl 12415 . . . . 5 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
2034, 202mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (i / 2) ∈ ℂ)
2042, 23, 24, 201, 203dvmptcmul 25875 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
205 df-atan 26784 . . . . . . 7 arctan = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
206205reseq1i 5949 . . . . . 6 (arctan ↾ 𝑆) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆)
207 atanf 26797 . . . . . . . . 9 arctan:(ℂ ∖ {-i, i})⟶ℂ
208207fdmi 6702 . . . . . . . 8 dom arctan = (ℂ ∖ {-i, i})
2097, 208sseqtri 3998 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i})
210 resmpt 6011 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ {-i, i}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
211209, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {-i, i}) ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))) ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
212206, 211eqtri 2753 . . . . 5 (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))
213212a1i 11 . . . 4 (⊤ → (arctan ↾ 𝑆) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥)))))))
214213oveq2d 7406 . . 3 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝑥))) − (log‘(1 + (i · 𝑥))))))))
215 2ne0 12297 . . . . . . 7 2 ≠ 0
216 divcan6 11896 . . . . . . 7 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((i / 2) · (2 / i)) = 1)
2174, 84, 154, 215, 216mp4an 693 . . . . . 6 ((i / 2) · (2 / i)) = 1
218217oveq1i 7400 . . . . 5 (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = (1 / (1 + (𝑥↑2)))
2194, 202mp1i 13 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (i / 2) ∈ ℂ)
220154, 4, 84divcli 11931 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ ℂ
221220a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (2 / i) ∈ ℂ)
222219, 221, 145, 148divassd 12000 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((i / 2) · (2 / i)) / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
223218, 222eqtr3id 2779 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (1 / (1 + (𝑥↑2))) = ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2)))))
224223mpteq2dva 5203 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) · ((2 / i) / (1 + (𝑥↑2))))))
225204, 214, 2243eqtr4d 2775 . 2 (⊤ → (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2)))))
226225mptru 1547 1 (ℂ D (arctan ↾ 𝑆)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (𝑥↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  {csn 4592  {cpr 4594   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ran crn 5642   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080  -∞cmnf 11213   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  (,]cioc 13314  ↑cexp 14033  TopOpenctopn 17391  ℂfldccnfld 21271   D cdv 25771  logclog 26470  arctancatan 26781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-atan 26784
This theorem is referenced by:  atancn  26853
  Copyright terms: Public domain W3C validator