MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvatan Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvatan 26781
Description: The derivative of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
atansopn.s 𝑆 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
Assertion
Ref Expression
dvatan (β„‚ D (arctan β†Ύ 𝑆)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (π‘₯↑2))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)
Proof of Theorem dvatan
StepHypRef Expression
1 cnelprrecn 11209 . . . . 5 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
21a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
3 ax-1cn 11174 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
4 ax-icn 11175 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
5 atansopn.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
6 atansopn.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ (1 + (𝑦↑2)) ∈ 𝐷}
75, 6atansssdm 26779 . . . . . . . . . . 11 𝑆 βŠ† dom arctan
8 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
97, 8sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ dom arctan)
10 atandm2 26723 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ dom arctan ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· π‘₯)) β‰  0))
119, 10sylib 217 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· π‘₯)) β‰  0))
1211simp1d 1141 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13 mulcl 11200 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
144, 12, 13sylancr 586 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
15 subcl 11466 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
163, 14, 15sylancr 586 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1711simp2d 1142 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) β‰  0)
1816, 17logcld 26419 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
19 addcl 11198 . . . . . . 7 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
203, 14, 19sylancr 586 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 + (i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
2111simp3d 1143 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 + (i Β· π‘₯)) β‰  0)
2220, 21logcld 26419 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
2318, 22subcld 11578 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))) ∈ β„‚)
24 ovexd 7447 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2))) ∈ V)
25 ovexd 7447 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / (π‘₯ + i)) ∈ V)
265, 6atans2 26777 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) ∈ 𝐷 ∧ (1 + (i Β· π‘₯)) ∈ 𝐷))
2726simp2bi 1145 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) ∈ 𝐷)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) ∈ 𝐷)
29 negex 11465 . . . . . . . . 9 -i ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ -i ∈ V)
315logdmss 26490 . . . . . . . . . 10 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
3331, 32sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
34 logf1o 26413 . . . . . . . . . . 11 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
35 f1of 6833 . . . . . . . . . . 11 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
3736ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ran log)
38 logrncn 26411 . . . . . . . . 9 ((logβ€˜π‘¦) ∈ ran log β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
3933, 37, 383syl 18 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
40 ovexd 7447 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (1 / 𝑦) ∈ V)
414a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ i ∈ β„‚)
4241, 13sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· π‘₯) ∈ β„‚)
433, 42, 15sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
4429a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -i ∈ V)
45 1cnd 11216 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
46 0cnd 11214 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
47 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
482, 47dvmptc 25810 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 0))
494a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ i ∈ β„‚)
50 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
512dvmptid 25809 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 1))
522, 50, 45, 51, 41dvmptcmul 25816 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· 1)))
534mulridi 11225 . . . . . . . . . . . . 13 (i Β· 1) = i
5453mpteq2i 5253 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· 1)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i)
5552, 54eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (i Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i))
562, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptsub 25819 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 βˆ’ i)))
57 df-neg 11454 . . . . . . . . . . 11 -i = (0 βˆ’ i)
5857mpteq2i 5253 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -i) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 βˆ’ i))
5956, 58eqtr4di 2789 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -i))
606ssrab3 4080 . . . . . . . . . 10 𝑆 βŠ† β„‚
6160a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
62 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6362cnfldtopon 24619 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
6463toponrestid 22743 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
655, 6atansopn 26778 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6665a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 𝑆 ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld))
672, 43, 44, 59, 61, 64, 62, 66dvmptres 25815 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ -i))
68 fssres 6757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log)
6936, 31, 68mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log)
7170feqmptd 6960 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (log β†Ύ 𝐷) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘¦)))
72 fvres 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘¦))
7372mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘¦))
7471, 73eqtr2di 2788 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘¦)) = (log β†Ύ 𝐷))
7574oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘¦))) = (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)))
765dvlog 26499 . . . . . . . . 9 (β„‚ D (log β†Ύ 𝐷)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦))
7775, 76eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (logβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑦)))
78 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))))
79 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))))
802, 2, 28, 30, 39, 40, 67, 77, 78, 79dvmptco 25824 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) Β· -i)))
81 irec 14172 . . . . . . . . . 10 (1 / i) = -i
8281oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) Β· (1 / i)) = ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) Β· -i)
834a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ i ∈ β„‚)
84 ine0 11656 . . . . . . . . . . . 12 i β‰  0
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ i β‰  0)
8616, 83, 17, 85recdiv2d 12015 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) / i) = (1 / ((1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) Β· i)))
8716, 17reccld 11990 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) ∈ β„‚)
8887, 83, 85divrecd 12000 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) / i) = ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) Β· (1 / i)))
89 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ β„‚)
9089, 14, 83subdird 11678 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) Β· i) = ((1 Β· i) βˆ’ ((i Β· π‘₯) Β· i)))
914mullidi 11226 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 Β· i) = i
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 Β· i) = i)
9383, 12, 83mul32d 11431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((i Β· π‘₯) Β· i) = ((i Β· i) Β· π‘₯))
94 ixi 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i Β· i) = -1
9594oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i Β· i) Β· π‘₯) = (-1 Β· π‘₯)
9612mulm1d 11673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (-1 Β· π‘₯) = -π‘₯)
9795, 96eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((i Β· i) Β· π‘₯) = -π‘₯)
9893, 97eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((i Β· π‘₯) Β· i) = -π‘₯)
9992, 98oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 Β· i) βˆ’ ((i Β· π‘₯) Β· i)) = (i βˆ’ -π‘₯))
100 subneg 11516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i βˆ’ -π‘₯) = (i + π‘₯))
1014, 12, 100sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (i βˆ’ -π‘₯) = (i + π‘₯))
10290, 99, 1013eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) Β· i) = (i + π‘₯))
10383, 12, 102comraddd 11435 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) Β· i) = (π‘₯ + i))
104103oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / ((1 βˆ’ (i Β· π‘₯)) Β· i)) = (1 / (π‘₯ + i)))
10586, 88, 1043eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) Β· (1 / i)) = (1 / (π‘₯ + i)))
10682, 105eqtr3id 2785 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) Β· -i) = (1 / (π‘₯ + i)))
107106mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) Β· -i)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (π‘₯ + i))))
10880, 107eqtrd 2771 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (π‘₯ + i))))
109 ovexd 7447 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / (π‘₯ βˆ’ i)) ∈ V)
11026simp3bi 1146 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (1 + (i Β· π‘₯)) ∈ 𝐷)
111110adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 + (i Β· π‘₯)) ∈ 𝐷)
1123, 42, 19sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1132, 45, 46, 48, 42, 49, 55dvmptadd 25812 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 + (i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 + i)))
1144addlidi 11409 . . . . . . . . . . 11 (0 + i) = i
115114mpteq2i 5253 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (0 + i)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i)
116113, 115eqtrdi 2787 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (1 + (i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ i))
1172, 112, 49, 116, 61, 64, 62, 66dvmptres 25815 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 + (i Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ i))
118 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i Β· π‘₯)) β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))
119 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 + (i Β· π‘₯)) β†’ (1 / 𝑦) = (1 / (1 + (i Β· π‘₯))))
1202, 2, 111, 83, 39, 40, 117, 77, 118, 119dvmptco 25824 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i Β· π‘₯))) Β· i)))
12189, 20, 83, 21, 85divdiv2d 12029 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / ((1 + (i Β· π‘₯)) / i)) = ((1 Β· i) / (1 + (i Β· π‘₯))))
12289, 14, 83, 85divdird 12035 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 + (i Β· π‘₯)) / i) = ((1 / i) + ((i Β· π‘₯) / i)))
12381a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / i) = -i)
12412, 83, 85divcan3d 12002 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((i Β· π‘₯) / i) = π‘₯)
125123, 124oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 / i) + ((i Β· π‘₯) / i)) = (-i + π‘₯))
126 negicn 11468 . . . . . . . . . . . . 13 -i ∈ β„‚
127 addcom 11407 . . . . . . . . . . . . 13 ((-i ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-i + π‘₯) = (π‘₯ + -i))
128126, 12, 127sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (-i + π‘₯) = (π‘₯ + -i))
129 negsub 11515 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -i) = (π‘₯ βˆ’ i))
13012, 4, 129sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ + -i) = (π‘₯ βˆ’ i))
131128, 130eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (-i + π‘₯) = (π‘₯ βˆ’ i))
132122, 125, 1313eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 + (i Β· π‘₯)) / i) = (π‘₯ βˆ’ i))
133132oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / ((1 + (i Β· π‘₯)) / i)) = (1 / (π‘₯ βˆ’ i)))
13489, 83, 20, 21div23d 12034 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 Β· i) / (1 + (i Β· π‘₯))) = ((1 / (1 + (i Β· π‘₯))) Β· i))
135121, 133, 1343eqtr3rd 2780 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 / (1 + (i Β· π‘₯))) Β· i) = (1 / (π‘₯ βˆ’ i)))
136135mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (1 + (i Β· π‘₯))) Β· i)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (π‘₯ βˆ’ i))))
137120, 136eqtrd 2771 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (π‘₯ βˆ’ i))))
1382, 18, 25, 108, 22, 109, 137dvmptsub 25819 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (π‘₯ + i)) βˆ’ (1 / (π‘₯ βˆ’ i)))))
139 subcl 11466 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ i) ∈ β„‚)
14012, 4, 139sylancl 585 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ βˆ’ i) ∈ β„‚)
141 addcl 11198 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + i) ∈ β„‚)
14212, 4, 141sylancl 585 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ + i) ∈ β„‚)
14312sqcld 14116 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯↑2) ∈ β„‚)
144 addcl 11198 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯↑2) ∈ β„‚) β†’ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ β„‚)
1453, 143, 144sylancr 586 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ β„‚)
146 atandm4 26725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ dom arctan ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (1 + (π‘₯↑2)) β‰  0))
147146simprbi 496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ dom arctan β†’ (1 + (π‘₯↑2)) β‰  0)
1489, 147syl 17 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 + (π‘₯↑2)) β‰  0)
149140, 142, 145, 148divsubdird 12036 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ βˆ’ i) βˆ’ (π‘₯ + i)) / (1 + (π‘₯↑2))) = (((π‘₯ βˆ’ i) / (1 + (π‘₯↑2))) βˆ’ ((π‘₯ + i) / (1 + (π‘₯↑2)))))
150130oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ + -i) βˆ’ (π‘₯ + i)) = ((π‘₯ βˆ’ i) βˆ’ (π‘₯ + i)))
151126a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ -i ∈ β„‚)
15212, 151, 83pnpcand 11615 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ + -i) βˆ’ (π‘₯ + i)) = (-i βˆ’ i))
153150, 152eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) βˆ’ (π‘₯ + i)) = (-i βˆ’ i))
154 2cn 12294 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„‚
155154, 4, 84divreci 11966 . . . . . . . . . . 11 (2 / i) = (2 Β· (1 / i))
15681oveq2i 7423 . . . . . . . . . . 11 (2 Β· (1 / i)) = (2 Β· -i)
157155, 156eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 (2 / i) = (2 Β· -i)
1581262timesi 12357 . . . . . . . . . 10 (2 Β· -i) = (-i + -i)
159126, 4negsubi 11545 . . . . . . . . . 10 (-i + -i) = (-i βˆ’ i)
160157, 158, 1593eqtri 2763 . . . . . . . . 9 (2 / i) = (-i βˆ’ i)
161153, 160eqtr4di 2789 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) βˆ’ (π‘₯ + i)) = (2 / i))
162161oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ βˆ’ i) βˆ’ (π‘₯ + i)) / (1 + (π‘₯↑2))) = ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2))))
163140mulridd 11238 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) Β· 1) = (π‘₯ βˆ’ i))
164140, 142mulcomd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) Β· (π‘₯ + i)) = ((π‘₯ + i) Β· (π‘₯ βˆ’ i)))
165 i2 14173 . . . . . . . . . . . . . 14 (i↑2) = -1
166165oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯↑2) βˆ’ (i↑2)) = ((π‘₯↑2) βˆ’ -1)
167 subneg 11516 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯↑2) βˆ’ -1) = ((π‘₯↑2) + 1))
168143, 3, 167sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯↑2) βˆ’ -1) = ((π‘₯↑2) + 1))
169166, 168eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯↑2) βˆ’ (i↑2)) = ((π‘₯↑2) + 1))
170 subsq 14181 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯↑2) βˆ’ (i↑2)) = ((π‘₯ + i) Β· (π‘₯ βˆ’ i)))
17112, 4, 170sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯↑2) βˆ’ (i↑2)) = ((π‘₯ + i) Β· (π‘₯ βˆ’ i)))
172 addcom 11407 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯↑2) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯↑2) + 1) = (1 + (π‘₯↑2)))
173143, 3, 172sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯↑2) + 1) = (1 + (π‘₯↑2)))
174169, 171, 1733eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ + i) Β· (π‘₯ βˆ’ i)) = (1 + (π‘₯↑2)))
175164, 174eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) Β· (π‘₯ + i)) = (1 + (π‘₯↑2)))
176163, 175oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ βˆ’ i) Β· 1) / ((π‘₯ βˆ’ i) Β· (π‘₯ + i))) = ((π‘₯ βˆ’ i) / (1 + (π‘₯↑2))))
177 subneg 11516 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ -i) = (π‘₯ + i))
17812, 4, 177sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ βˆ’ -i) = (π‘₯ + i))
179 atandm 26722 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ dom arctan ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  -i ∧ π‘₯ β‰  i))
1809, 179sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  -i ∧ π‘₯ β‰  i))
181180simp2d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ β‰  -i)
182 subeq0 11493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ βˆ’ -i) = 0 ↔ π‘₯ = -i))
183182necon3bid 2984 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ βˆ’ -i) β‰  0 ↔ π‘₯ β‰  -i))
18412, 126, 183sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ -i) β‰  0 ↔ π‘₯ β‰  -i))
185181, 184mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ βˆ’ -i) β‰  0)
186178, 185eqnetrrd 3008 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ + i) β‰  0)
187180simp3d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ β‰  i)
188 subeq0 11493 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) = 0 ↔ π‘₯ = i))
189188necon3bid 2984 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) β‰  0 ↔ π‘₯ β‰  i))
19012, 4, 189sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) β‰  0 ↔ π‘₯ β‰  i))
191187, 190mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ βˆ’ i) β‰  0)
19289, 142, 140, 186, 191divcan5d 12023 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ βˆ’ i) Β· 1) / ((π‘₯ βˆ’ i) Β· (π‘₯ + i))) = (1 / (π‘₯ + i)))
193176, 192eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ βˆ’ i) / (1 + (π‘₯↑2))) = (1 / (π‘₯ + i)))
194142mulridd 11238 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ + i) Β· 1) = (π‘₯ + i))
195194, 174oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ + i) Β· 1) / ((π‘₯ + i) Β· (π‘₯ βˆ’ i))) = ((π‘₯ + i) / (1 + (π‘₯↑2))))
19689, 140, 142, 191, 186divcan5d 12023 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ + i) Β· 1) / ((π‘₯ + i) Β· (π‘₯ βˆ’ i))) = (1 / (π‘₯ βˆ’ i)))
197195, 196eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ + i) / (1 + (π‘₯↑2))) = (1 / (π‘₯ βˆ’ i)))
198193, 197oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ βˆ’ i) / (1 + (π‘₯↑2))) βˆ’ ((π‘₯ + i) / (1 + (π‘₯↑2)))) = ((1 / (π‘₯ + i)) βˆ’ (1 / (π‘₯ βˆ’ i))))
199149, 162, 1983eqtr3rd 2780 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((1 / (π‘₯ + i)) βˆ’ (1 / (π‘₯ βˆ’ i))) = ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2))))
200199mpteq2dva 5248 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((1 / (π‘₯ + i)) βˆ’ (1 / (π‘₯ βˆ’ i)))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2)))))
201138, 200eqtrd 2771 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2)))))
202 halfcl 12444 . . . . 5 (i ∈ β„‚ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
2034, 202mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
2042, 23, 24, 201, 203dvmptcmul 25816 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2))))))
205 df-atan 26713 . . . . . . 7 arctan = (π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {-i, i}) ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))))
206205reseq1i 5977 . . . . . 6 (arctan β†Ύ 𝑆) = ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {-i, i}) ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))))) β†Ύ 𝑆)
207 atanf 26726 . . . . . . . . 9 arctan:(β„‚ βˆ– {-i, i})βŸΆβ„‚
208207fdmi 6729 . . . . . . . 8 dom arctan = (β„‚ βˆ– {-i, i})
2097, 208sseqtri 4018 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† (β„‚ βˆ– {-i, i})
210 resmpt 6037 . . . . . . 7 (𝑆 βŠ† (β„‚ βˆ– {-i, i}) β†’ ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {-i, i}) ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))))) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))))))
211209, 210ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (β„‚ βˆ– {-i, i}) ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))))) β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))))
212206, 211eqtri 2759 . . . . 5 (arctan β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))))
213212a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ 𝑆) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯)))))))
214213oveq2d 7428 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D (arctan β†Ύ 𝑆)) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· π‘₯))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· π‘₯))))))))
215 2ne0 12323 . . . . . . 7 2 β‰  0
216 divcan6 11928 . . . . . . 7 (((i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((i / 2) Β· (2 / i)) = 1)
2174, 84, 154, 215, 216mp4an 690 . . . . . 6 ((i / 2) Β· (2 / i)) = 1
218217oveq1i 7422 . . . . 5 (((i / 2) Β· (2 / i)) / (1 + (π‘₯↑2))) = (1 / (1 + (π‘₯↑2)))
2194, 202mp1i 13 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
220154, 4, 84divcli 11963 . . . . . . 7 (2 / i) ∈ β„‚
221220a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (2 / i) ∈ β„‚)
222219, 221, 145, 148divassd 12032 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (((i / 2) Β· (2 / i)) / (1 + (π‘₯↑2))) = ((i / 2) Β· ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2)))))
223218, 222eqtr3id 2785 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (1 / (1 + (π‘₯↑2))) = ((i / 2) Β· ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2)))))
224223mpteq2dva 5248 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (π‘₯↑2)))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ((i / 2) Β· ((2 / i) / (1 + (π‘₯↑2))))))
225204, 214, 2243eqtr4d 2781 . 2 (⊀ β†’ (β„‚ D (arctan β†Ύ 𝑆)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (π‘₯↑2)))))
226225mptru 1547 1 (β„‚ D (arctan β†Ύ 𝑆)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (1 / (1 + (π‘₯↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  ici 11118   + caddc 11119   Β· cmul 11121  -∞cmnf 11253   βˆ’ cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  2c2 12274  (,]cioc 13332  β†‘cexp 14034  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21233   D cdv 25712  logclog 26403  arctancatan 26710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cld 22843  df-ntr 22844  df-cls 22845  df-nei 22922  df-lp 22960  df-perf 22961  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-haus 23139  df-cmp 23211  df-tx 23386  df-hmeo 23579  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-xms 24146  df-ms 24147  df-tms 24148  df-cncf 24718  df-limc 25715  df-dv 25716  df-log 26405  df-atan 26713
This theorem is referenced by:  atancn  26782
  Copyright terms: Public domain W3C validator