Theorem bj-elccinfty 38275

Description: A lemma for infinite extended complex numbers. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-elccinfty	⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) → (+∞ei‘𝐴) ∈ ℂ∞)

Proof of Theorem bj-elccinfty

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-inftyexpi 38268	. . . . 5 ⊢ +∞ei = (𝑥 ∈ ( -π(,]π) ↦ ⟨𝑥, ℂ⟩)
2	1	funmpt2 6587	. . . 4 ⊢ Fun +∞ei
3	2	jctl 533	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom +∞ei → (Fun +∞ei ∧ 𝐴 ∈ dom +∞ei))
4		opex 5435	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑥, ℂ⟩ ∈ V
5	4, 1	dmmpti 6691	. . . 4 ⊢ dom +∞ei = ( -π(,]π)
6	5	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ( -π(,]π) = dom +∞ei
7	3, 6	eleq2s 2881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) → (Fun +∞ei ∧ 𝐴 ∈ dom +∞ei))
8		fvelrn 7084	. 2 ⊢ ((Fun +∞ei ∧ 𝐴 ∈ dom +∞ei) → (+∞ei‘𝐴) ∈ ran +∞ei)
9		df-bj-ccinfty 38273	. . . . 5 ⊢ ℂ∞ = ran +∞ei
10	9	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ ran +∞ei = ℂ∞
11	10	eleq2i 2855	. . 3 ⊢ ((+∞ei‘𝐴) ∈ ran +∞ei ↔ (+∞ei‘𝐴) ∈ ℂ∞)
12	11	biimpi 219	. 2 ⊢ ((+∞ei‘𝐴) ∈ ran +∞ei → (+∞ei‘𝐴) ∈ ℂ∞)
13	7, 8, 12	3syl 19	1 ⊢ (𝐴 ∈ ( -π(,]π) → (+∞ei‘𝐴) ∈ ℂ∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4837  dom cdm 5654  ran crn 5655  Fun wfun 6540  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208   -cneg 11552  (,]cioc 13487  πcpi 16244  +∞eⁱcinftyexpi 38267  ℂ_∞cccinfty 38272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-fv 6554  df-bj-inftyexpi 38268  df-bj-ccinfty 38273

This theorem is used by:  bj-pinftyccb  38282