Theorem bj-pinftyccb 35013

Description: The class +∞ is an extended complex number. (Contributed by BJ, 27-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pinftyccb	⊢ +∞ ∈ ℂ̅

Proof of Theorem bj-pinftyccb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-pinfty 35012	. 2 ⊢ +∞ = (+∞ei‘0)
2		bj-ccinftyssccbar 35010	. . 3 ⊢ ℂ∞ ⊆ ℂ̅
3		0re 10721	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		pipos 25205	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
5		pire 25203	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
6	3, 5	ltnegi 11262	. . . . . . 7 ⊢ (0 < π ↔ -π < -0)
7	4, 6	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ -π < -0
8		neg0 11010	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
9	7, 8	breqtri 5055	. . . . 5 ⊢ -π < 0
10	3, 5, 4	ltleii 10841	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ π
11	5	renegcli 11025	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
12	11	rexri 10777	. . . . . 6 ⊢ -π ∈ ℝ*
13		elioc2 12884	. . . . . 6 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ π)))
14	12, 5, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (-π(,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ π))
15	3, 9, 10, 14	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (-π(,]π)
16		bj-elccinfty 35006	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (-π(,]π) → (+∞ei‘0) ∈ ℂ∞)
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+∞ei‘0) ∈ ℂ∞
18	2, 17	sselii 3874	. 2 ⊢ (+∞ei‘0) ∈ ℂ̅
19	1, 18	eqeltri 2829	1 ⊢ +∞ ∈ ℂ̅

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  ℝcr 10614  0cc0 10615  ℝ^*cxr 10752   < clt 10753   ≤ cle 10754  -cneg 10949  (,]cioc 12822  πcpi 15512  +∞eⁱcinftyexpi 34998  ℂ_∞cccinfty 35003  ℂ̅cccbar 35007  +∞cpinfty 35011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-limc 24618  df-dv 24619  df-bj-inftyexpi 34999  df-bj-ccinfty 35004  df-bj-ccbar 35008  df-bj-pinfty 35012

This theorem is referenced by:  bj-iomnnom  35051