Theorem bj-evalidval 37831

Description: Closed general form of strndxid 17293. Both sides are equal to (𝐹‘𝐴) by bj-evalid 37829 and bj-evalval 37828 respectively, but bj-evalidval 37831 adds something to bj-evalid 37829 and bj-evalval 37828 in that Slot 𝐴 appears on both sides. (Contributed by BJ, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-evalidval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

Proof of Theorem bj-evalidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-evalid 37829	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉)) = 𝐴)
2	1	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
4		bj-evalval 37828	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (Slot 𝐴‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
5	4	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
6	5	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
7	3, 6	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  Slot cslot 17276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-slot 17277

This theorem is used by: (None)