Theorem bj-evalidval 38144

Description: Closed general form of strndxid 17391. Both sides are equal to (𝐹‘𝐴) by bj-evalid 38142 and bj-evalval 38141 respectively, but bj-evalidval 38144 adds something to bj-evalid 38142 and bj-evalval 38141 in that Slot 𝐴 appears on both sides. (Contributed by BJ, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-evalidval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

Proof of Theorem bj-evalidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-evalid 38142	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉)) = 𝐴)
2	1	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
4		bj-evalval 38141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (Slot 𝐴‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
5	4	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
6	5	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
7	3, 6	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6547  Slot cslot 17374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fv 6555  df-slot 17375

This theorem is used by: (None)