Theorem bj-evalidval 36263

Description: Closed general form of strndxid 17136. Both sides are equal to (𝐹‘𝐴) by bj-evalid 36261 and bj-evalval 36260 respectively, but bj-evalidval 36263 adds something to bj-evalid 36261 and bj-evalval 36260 in that Slot 𝐴 appears on both sides. (Contributed by BJ, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-evalidval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

Proof of Theorem bj-evalidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-evalid 36261	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉)) = 𝐴)
2	1	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
3	2	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
4		bj-evalval 36260	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (Slot 𝐴‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
5	4	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
6	5	3ad2ant3 1134	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
7	3, 6	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   I cid 5574   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  Slot cslot 17119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-res 5689  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-slot 17120

This theorem is referenced by: (None)