Theorem bj-evalidval 37781

Description: Closed general form of strndxid 17284. Both sides are equal to (𝐹‘𝐴) by bj-evalid 37779 and bj-evalval 37778 respectively, but bj-evalidval 37781 adds something to bj-evalid 37779 and bj-evalval 37778 in that Slot 𝐴 appears on both sides. (Contributed by BJ, 27-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-evalidval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

Proof of Theorem bj-evalidval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-evalid 37779	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉)) = 𝐴)
2	1	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (𝐹‘𝐴))
4		bj-evalval 37778	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (Slot 𝐴‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
5	4	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
6	5	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘𝐴) = (Slot 𝐴‘𝐹))
7	3, 6	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(Slot 𝐴‘( I ↾ 𝑉))) = (Slot 𝐴‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  Slot cslot 17267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-slot 17268

This theorem is used by: (None)