MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blometi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blometi 29842
Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blometi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
blometi.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
blometi.8 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
blometi.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
blometi.6 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
blometi.7 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
blometi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
blometi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
blometi ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (𝑃𝐢𝑄)))
Proof of Theorem blometi
StepHypRef Expression
1 blometi.u . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 blometi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2731 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
42, 3nvmcl 29685 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an1 1448 . . . 4 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) ∈ 𝑋)
6 eqid 2731 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2731 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
8 blometi.6 . . . . 5 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
9 blometi.7 . . . . 5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
10 blometi.w . . . . 5 π‘Š ∈ NrmCVec
112, 6, 7, 8, 9, 1, 10nmblolbi 29839 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
125, 11sylan2 593 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
13123impb 1115 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
14 blometi.2 . . . . . . . 8 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
152, 14, 9blof 29824 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
161, 10, 15mp3an12 1451 . . . . . 6 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1716ffvelcdmda 7055 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
18173adant3 1132 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
1916ffvelcdmda 7055 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ)
20193adant2 1131 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ)
21 eqid 2731 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
22 blometi.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
2314, 21, 7, 22imsdval 29725 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
2410, 23mp3an1 1448 . . . 4 (((π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
2518, 20, 24syl2anc 584 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
26 eqid 2731 . . . . . . 7 (π‘ˆ LnOp π‘Š) = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
2726, 9bloln 29823 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š))
281, 10, 27mp3an12 1451 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š))
292, 3, 21, 26lnosub 29798 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
301, 29mp3anl1 1455 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
3110, 30mpanl1 698 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
32313impb 1115 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
3328, 32syl3an1 1163 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
3433fveq2d 6866 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
3525, 34eqtr4d 2774 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
36 blometi.8 . . . . . 6 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
372, 3, 6, 36imsdval 29725 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑄) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)))
381, 37mp3an1 1448 . . . 4 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑄) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)))
39383adant1 1130 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑄) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)))
4039oveq2d 7393 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (𝑃𝐢𝑄)) = ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
4113, 35, 403brtr4d 5157 1 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (𝑃𝐢𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   Β· cmul 11080   ≀ cle 11214  NrmCVeccnv 29623  BaseSetcba 29625   βˆ’π‘£ cnsb 29628  normCVcnmcv 29629  IndMetcims 29630   LnOp clno 29779   normOpOLD cnmoo 29780   BLnOp cblo 29781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-seq 13932  df-exp 13993  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-grpo 29532  df-gid 29533  df-ginv 29534  df-gdiv 29535  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-vs 29638  df-nmcv 29639  df-ims 29640  df-lno 29783  df-nmoo 29784  df-blo 29785  df-0o 29786
This theorem is referenced by:  blocni  29844
  Copyright terms: Public domain W3C validator