Theorem blometi 29165

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blometi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blometi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blometi.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blometi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvmcl 29008	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
8		blometi.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9		blometi.7	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blometi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11	2, 6, 7, 8, 9, 1, 10	nmblolbi 29162	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
12	5, 11	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
13	12	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
14		blometi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15	2, 14, 9	blof 29147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
16	1, 10, 15	mp3an12 1450	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
17	16	ffvelrnda 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
18	17	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
19	16	ffvelrnda 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
20	19	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
22		blometi.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
23	14, 21, 7, 22	imsdval 29048	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
24	10, 23	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
25	18, 20, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
26		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
27	26, 9	bloln 29146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
28	1, 10, 27	mp3an12 1450	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
29	2, 3, 21, 26	lnosub 29121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
30	1, 29	mp3anl1 1454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
31	10, 30	mpanl1 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
32	31	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
33	28, 32	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
34	33	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
35	25, 34	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
36		blometi.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
37	2, 3, 6, 36	imsdval 29048	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
38	1, 37	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
39	38	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
40	39	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
41	13, 35, 40	3brtr4d 5106	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   · cmul 10876   ≤ cle 11010  NrmCVeccnv 28946  BaseSetcba 28948   −_𝑣 cnsb 28951  norm_CVcnmcv 28952  IndMetcims 28953   LnOp clno 29102   normOp_OLD cnmoo 29103   BLnOp cblo 29104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-lno 29106  df-nmoo 29107  df-blo 29108  df-0o 29109

This theorem is referenced by:  blocni  29167