Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blometi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blometi 28698
 Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blometi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
blometi ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi
StepHypRef Expression
1 blometi.u . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
2 blometi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2758 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
42, 3nvmcl 28541 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6 eqid 2758 . . . . 5 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
7 eqid 2758 . . . . 5 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
8 blometi.6 . . . . 5 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9 blometi.7 . . . . 5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10 blometi.w . . . . 5 𝑊 ∈ NrmCVec
112, 6, 7, 8, 9, 1, 10nmblolbi 28695 . . . 4 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
125, 11sylan2 595 . . 3 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
13123impb 1112 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
14 blometi.2 . . . . . . . 8 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
152, 14, 9blof 28680 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
161, 10, 15mp3an12 1448 . . . . . 6 (𝑇𝐵𝑇:𝑋𝑌)
1716ffvelrnda 6848 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑃𝑋) → (𝑇𝑃) ∈ 𝑌)
18173adant3 1129 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇𝑃) ∈ 𝑌)
1916ffvelrnda 6848 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑄𝑋) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
20193adant2 1128 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
21 eqid 2758 . . . . . 6 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
22 blometi.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
2314, 21, 7, 22imsdval 28581 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
2410, 23mp3an1 1445 . . . 4 (((𝑇𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
2518, 20, 24syl2anc 587 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
26 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2726, 9bloln 28679 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
281, 10, 27mp3an12 1448 . . . . 5 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
292, 3, 21, 26lnosub 28654 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
301, 29mp3anl1 1452 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3110, 30mpanl1 699 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
32313impb 1112 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3328, 32syl3an1 1160 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3433fveq2d 6667 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
3525, 34eqtr4d 2796 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
36 blometi.8 . . . . . 6 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
372, 3, 6, 36imsdval 28581 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
381, 37mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
39383adant1 1127 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
4039oveq2d 7172 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
4113, 35, 403brtr4d 5068 1 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   · cmul 10593   ≤ cle 10727  NrmCVeccnv 28479  BaseSetcba 28481   −𝑣 cnsb 28484  normCVcnmcv 28485  IndMetcims 28486   LnOp clno 28635   normOpOLD cnmoo 28636   BLnOp cblo 28637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-grpo 28388  df-gid 28389  df-ginv 28390  df-gdiv 28391  df-ablo 28440  df-vc 28454  df-nv 28487  df-va 28490  df-ba 28491  df-sm 28492  df-0v 28493  df-vs 28494  df-nmcv 28495  df-ims 28496  df-lno 28639  df-nmoo 28640  df-blo 28641  df-0o 28642 This theorem is referenced by:  blocni  28700
 Copyright terms: Public domain W3C validator