Theorem blometi 30739

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blometi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blometi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blometi.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blometi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvmcl 30582	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
8		blometi.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9		blometi.7	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blometi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11	2, 6, 7, 8, 9, 1, 10	nmblolbi 30736	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
12	5, 11	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
13	12	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
14		blometi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15	2, 14, 9	blof 30721	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
16	1, 10, 15	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
17	16	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
18	17	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
19	16	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
20	19	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
21		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
22		blometi.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
23	14, 21, 7, 22	imsdval 30622	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
24	10, 23	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
25	18, 20, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
26		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
27	26, 9	bloln 30720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
28	1, 10, 27	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
29	2, 3, 21, 26	lnosub 30695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
30	1, 29	mp3anl1 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
31	10, 30	mpanl1 700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
32	31	3impb 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
33	28, 32	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
34	33	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
35	25, 34	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
36		blometi.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
37	2, 3, 6, 36	imsdval 30622	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
38	1, 37	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
39	38	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
40	39	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
41	13, 35, 40	3brtr4d 5142	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   · cmul 11080   ≤ cle 11216  NrmCVeccnv 30520  BaseSetcba 30522   −_𝑣 cnsb 30525  norm_CVcnmcv 30526  IndMetcims 30527   LnOp clno 30676   normOp_OLD cnmoo 30677   BLnOp cblo 30678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-lno 30680  df-nmoo 30681  df-blo 30682  df-0o 30683

This theorem is referenced by:  blocni  30741