Theorem blometi 30822

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blometi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blometi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blometi.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blometi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvmcl 30665	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
8		blometi.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9		blometi.7	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blometi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11	2, 6, 7, 8, 9, 1, 10	nmblolbi 30819	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
12	5, 11	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
13	12	3impb 1115	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
14		blometi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15	2, 14, 9	blof 30804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
16	1, 10, 15	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
17	16	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
18	17	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
19	16	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
20	19	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
22		blometi.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
23	14, 21, 7, 22	imsdval 30705	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
24	10, 23	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
25	18, 20, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
26		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
27	26, 9	bloln 30803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
28	1, 10, 27	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
29	2, 3, 21, 26	lnosub 30778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
30	1, 29	mp3anl1 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
31	10, 30	mpanl1 700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
32	31	3impb 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
33	28, 32	syl3an1 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
34	33	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
35	25, 34	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
36		blometi.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
37	2, 3, 6, 36	imsdval 30705	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
38	1, 37	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
39	38	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
40	39	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
41	13, 35, 40	3brtr4d 5175	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   · cmul 11160   ≤ cle 11296  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605   −_𝑣 cnsb 30608  norm_CVcnmcv 30609  IndMetcims 30610   LnOp clno 30759   normOp_OLD cnmoo 30760   BLnOp cblo 30761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-lno 30763  df-nmoo 30764  df-blo 30765  df-0o 30766

This theorem is referenced by:  blocni  30824