MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blometi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blometi 30323
Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blometi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
blometi.2 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
blometi.8 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
blometi.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
blometi.6 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
blometi.7 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
blometi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
blometi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
blometi ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (𝑃𝐢𝑄)))
Proof of Theorem blometi
StepHypRef Expression
1 blometi.u . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 blometi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2730 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
42, 3nvmcl 30166 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an1 1446 . . . 4 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) ∈ 𝑋)
6 eqid 2730 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2730 . . . . 5 (normCVβ€˜π‘Š) = (normCVβ€˜π‘Š)
8 blometi.6 . . . . 5 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
9 blometi.7 . . . . 5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
10 blometi.w . . . . 5 π‘Š ∈ NrmCVec
112, 6, 7, 8, 9, 1, 10nmblolbi 30320 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄) ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
125, 11sylan2 591 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
13123impb 1113 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
14 blometi.2 . . . . . . . 8 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
152, 14, 9blof 30305 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
161, 10, 15mp3an12 1449 . . . . . 6 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1716ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
18173adant3 1130 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ)
1916ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ)
20193adant2 1129 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ)
21 eqid 2730 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
22 blometi.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
2314, 21, 7, 22imsdval 30206 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
2410, 23mp3an1 1446 . . . 4 (((π‘‡β€˜π‘ƒ) ∈ π‘Œ ∧ (π‘‡β€˜π‘„) ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
2518, 20, 24syl2anc 582 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
26 eqid 2730 . . . . . . 7 (π‘ˆ LnOp π‘Š) = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
2726, 9bloln 30304 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š))
281, 10, 27mp3an12 1449 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐡 β†’ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š))
292, 3, 21, 26lnosub 30279 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
301, 29mp3anl1 1453 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
3110, 30mpanl1 696 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
32313impb 1113 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
3328, 32syl3an1 1161 . . . 4 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)) = ((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„)))
3433fveq2d 6894 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜((π‘‡β€˜π‘ƒ)( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π‘„))))
3525, 34eqtr4d 2773 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) = ((normCVβ€˜π‘Š)β€˜(π‘‡β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
36 blometi.8 . . . . . 6 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
372, 3, 6, 36imsdval 30206 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑄) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)))
381, 37mp3an1 1446 . . . 4 ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑄) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)))
39383adant1 1128 . . 3 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑄) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄)))
4039oveq2d 7427 . 2 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (𝑃𝐢𝑄)) = ((π‘β€˜π‘‡) Β· ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝑃( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑄))))
4113, 35, 403brtr4d 5179 1 ((𝑇 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘‡β€˜π‘ƒ)𝐷(π‘‡β€˜π‘„)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (𝑃𝐢𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  NrmCVeccnv 30104  BaseSetcba 30106   βˆ’π‘£ cnsb 30109  normCVcnmcv 30110  IndMetcims 30111   LnOp clno 30260   normOpOLD cnmoo 30261   BLnOp cblo 30262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-lno 30264  df-nmoo 30265  df-blo 30266  df-0o 30267
This theorem is referenced by:  blocni  30325
  Copyright terms: Public domain W3C validator