MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blometi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blometi 30832
Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blometi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
blometi ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi
StepHypRef Expression
1 blometi.u . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
2 blometi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2735 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
42, 3nvmcl 30675 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an1 1447 . . . 4 ((𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6 eqid 2735 . . . . 5 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
7 eqid 2735 . . . . 5 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
8 blometi.6 . . . . 5 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9 blometi.7 . . . . 5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10 blometi.w . . . . 5 𝑊 ∈ NrmCVec
112, 6, 7, 8, 9, 1, 10nmblolbi 30829 . . . 4 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
125, 11sylan2 593 . . 3 ((𝑇𝐵 ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
13123impb 1114 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
14 blometi.2 . . . . . . . 8 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
152, 14, 9blof 30814 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
161, 10, 15mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑇𝐵𝑇:𝑋𝑌)
1716ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑃𝑋) → (𝑇𝑃) ∈ 𝑌)
18173adant3 1131 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇𝑃) ∈ 𝑌)
1916ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝑇𝐵𝑄𝑋) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
20193adant2 1130 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇𝑄) ∈ 𝑌)
21 eqid 2735 . . . . . 6 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
22 blometi.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
2314, 21, 7, 22imsdval 30715 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
2410, 23mp3an1 1447 . . . 4 (((𝑇𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
2518, 20, 24syl2anc 584 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
26 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2726, 9bloln 30813 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
281, 10, 27mp3an12 1450 . . . . 5 (𝑇𝐵𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
292, 3, 21, 26lnosub 30788 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
301, 29mp3anl1 1454 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3110, 30mpanl1 700 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃𝑋𝑄𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
32313impb 1114 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3328, 32syl3an1 1162 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)) = ((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄)))
3433fveq2d 6911 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))) = ((normCV𝑊)‘((𝑇𝑃)( −𝑣𝑊)(𝑇𝑄))))
3525, 34eqtr4d 2778 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) = ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
36 blometi.8 . . . . . 6 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
372, 3, 6, 36imsdval 30715 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
381, 37mp3an1 1447 . . . 4 ((𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
39383adant1 1129 . . 3 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄)))
4039oveq2d 7447 . 2 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁𝑇) · ((normCV𝑈)‘(𝑃( −𝑣𝑈)𝑄))))
4113, 35, 403brtr4d 5180 1 ((𝑇𝐵𝑃𝑋𝑄𝑋) → ((𝑇𝑃)𝐷(𝑇𝑄)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   · cmul 11158  cle 11294  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  𝑣 cnsb 30618  normCVcnmcv 30619  IndMetcims 30620   LnOp clno 30769   normOpOLD cnmoo 30770   BLnOp cblo 30771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-lno 30773  df-nmoo 30774  df-blo 30775  df-0o 30776
This theorem is referenced by:  blocni  30834
  Copyright terms: Public domain W3C validator