Theorem blometi 30736

Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blometi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blometi.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blometi.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blometi.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blometi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
blometi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blometi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blometi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blometi	⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Proof of Theorem blometi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blometi.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blometi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvmcl 30579	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
5	1, 4	mp3an1 1445	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋)
6		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
7		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
8		blometi.6	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
9		blometi.7	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blometi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
11	2, 6, 7, 8, 9, 1, 10	nmblolbi 30733	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄) ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
12	5, 11	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
13	12	3impb 1112	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
14		blometi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
15	2, 14, 9	blof 30718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
16	1, 10, 15	mp3an12 1448	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
17	16	ffvelcdmda 7098	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
18	17	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌)
19	16	ffvelcdmda 7098	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
20	19	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌)
21		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
22		blometi.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
23	14, 21, 7, 22	imsdval 30619	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
24	10, 23	mp3an1 1445	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝑇‘𝑄) ∈ 𝑌) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
25	18, 20, 24	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
26		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
27	26, 9	bloln 30717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
28	1, 10, 27	mp3an12 1448	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
29	2, 3, 21, 26	lnosub 30692	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
30	1, 29	mp3anl1 1452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
31	10, 30	mpanl1 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
32	31	3impb 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
33	28, 32	syl3an1 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)) = ((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄)))
34	33	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑃)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑄))))
35	25, 34	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
36		blometi.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
37	2, 3, 6, 36	imsdval 30619	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
38	1, 37	mp3an1 1445	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
39	38	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑄) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄)))
40	39	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)) = ((𝑁‘𝑇) · ((normCV‘𝑈)‘(𝑃( −𝑣 ‘𝑈)𝑄))))
41	13, 35, 40	3brtr4d 5185	1 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑃)𝐷(𝑇‘𝑄)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝑃𝐶𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   · cmul 11163   ≤ cle 11299  NrmCVeccnv 30517  BaseSetcba 30519   −_𝑣 cnsb 30522  norm_CVcnmcv 30523  IndMetcims 30524   LnOp clno 30673   normOp_OLD cnmoo 30674   BLnOp cblo 30675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-grpo 30426  df-gid 30427  df-ginv 30428  df-gdiv 30429  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-vs 30532  df-nmcv 30533  df-ims 30534  df-lno 30677  df-nmoo 30678  df-blo 30679  df-0o 30680

This theorem is referenced by:  blocni  30738