MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blof 30016
Description: A bounded operator is an operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blof.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blof.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blof.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
blof ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)

Proof of Theorem blof
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2 blof.5 . . 3 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
31, 2bloln 30015 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4 blof.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 blof.2 . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
64, 5, 1lnof 29986 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → 𝑇:𝑋𝑌)
73, 6syld3an3 1410 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  NrmCVeccnv 29815  BaseSetcba 29817   LnOp clno 29971   BLnOp cblo 29973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8818  df-lno 29975  df-blo 29977
This theorem is referenced by:  nmblore  30017  nmblolbii  30030  blometi  30034  ubthlem3  30103  htthlem  30148
  Copyright terms: Public domain W3C validator