MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blof 30814
Description: A bounded operator is an operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blof.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blof.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blof.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
blof ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)

Proof of Theorem blof
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2 blof.5 . . 3 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
31, 2bloln 30813 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4 blof.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 blof.2 . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
64, 5, 1lnof 30784 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → 𝑇:𝑋𝑌)
73, 6syld3an3 1408 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615   LnOp clno 30769   BLnOp cblo 30771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-lno 30773  df-blo 30775
This theorem is referenced by:  nmblore  30815  nmblolbii  30828  blometi  30832  ubthlem3  30901  htthlem  30946
  Copyright terms: Public domain W3C validator