MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blof 30804
Description: A bounded operator is an operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blof.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blof.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blof.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
blof ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)

Proof of Theorem blof
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2 blof.5 . . 3 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
31, 2bloln 30803 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4 blof.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 blof.2 . . 3 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
64, 5, 1lnof 30774 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → 𝑇:𝑋𝑌)
73, 6syld3an3 1411 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605   LnOp clno 30759   BLnOp cblo 30761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-lno 30763  df-blo 30765
This theorem is referenced by:  nmblore  30805  nmblolbii  30818  blometi  30822  ubthlem3  30891  htthlem  30936
  Copyright terms: Public domain W3C validator