Theorem blof 30817

Description: A bounded operator is an operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blof.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blof.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blof.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
blof	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem blof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2		blof.5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
3	1, 2	bloln 30816	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4		blof.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		blof.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6	4, 5, 1	lnof 30787	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
7	3, 6	syld3an3 1409	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  NrmCVeccnv 30616  BaseSetcba 30618   LnOp clno 30772   BLnOp cblo 30774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-lno 30776  df-blo 30778

This theorem is referenced by:  nmblore  30818  nmblolbii  30831  blometi  30835  ubthlem3  30904  htthlem  30949