Theorem blof 30804

Description: A bounded operator is an operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blof.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blof.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blof.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
blof	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem blof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2		blof.5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
3	1, 2	bloln 30803	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4		blof.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		blof.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6	4, 5, 1	lnof 30774	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
7	3, 6	syld3an3 1411	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605   LnOp clno 30759   BLnOp cblo 30761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-lno 30763  df-blo 30765

This theorem is referenced by:  nmblore  30805  nmblolbii  30818  blometi  30822  ubthlem3  30891  htthlem  30936