Theorem blof 31417

Description: A bounded operator is an operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blof.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
blof.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
blof.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
blof	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem blof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
2		blof.5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
3	1, 2	bloln 31416	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4		blof.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		blof.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
6	4, 5, 1	lnof 31387	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)
7	3, 6	syld3an3 1437	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  NrmCVeccnv 31216  BaseSetcba 31218   LnOp clno 31372   BLnOp cblo 31374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-map 8877  df-lno 31376  df-blo 31378

This theorem is used by:  nmblore  31418  nmblolbii  31431  blometi  31435  ubthlem3  31504  htthlem  31549