Theorem blocn2 30788

Description: A bounded linear operator is continuous. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocn.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocn.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocn.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocn.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blocn2	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem blocn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blocn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		blocn.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 30764	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
6	1, 2, 5	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
7		blocn.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8		blocn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
9		blocn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10		blocn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
11	7, 8, 9, 10, 4, 1, 2, 3	blocn 30787	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))
12	11	biimprd 248	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13	6, 12	mpcom 38	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  MetOpencmopn 21287   Cn ccn 23145  NrmCVeccnv 30564  IndMetcims 30571   LnOp clno 30720   BLnOp cblo 30722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125  ax-mulf 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12886  df-rp 12930  df-xneg 13050  df-xadd 13051  df-xmul 13052  df-seq 13945  df-exp 14005  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17383  df-psmet 21289  df-xmet 21290  df-met 21291  df-bl 21292  df-mopn 21293  df-top 22815  df-topon 22832  df-bases 22867  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-lno 30724  df-nmoo 30725  df-blo 30726  df-0o 30727

This theorem is referenced by:  ubthlem1  30850  ubthlem2  30851