Theorem blocn2 31343

Description: A bounded linear operator is continuous. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocn.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocn.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocn.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocn.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blocn2	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem blocn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blocn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		blocn.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 31319	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
6	1, 2, 5	mp3an12 1480	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
7		blocn.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8		blocn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
9		blocn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10		blocn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
11	7, 8, 9, 10, 4, 1, 2, 3	blocn 31342	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))
12	11	biimprd 251	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13	6, 12	mpcom 39	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  MetOpencmopn 21629   Cn ccn 23503  NrmCVeccnv 31119  IndMetcims 31126   LnOp clno 31275   BLnOp cblo 31277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-topgen 17575  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-top 23173  df-topon 23190  df-bases 23225  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-grpo 31028  df-gid 31029  df-ginv 31030  df-gdiv 31031  df-ablo 31080  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-vs 31134  df-nmcv 31135  df-ims 31136  df-lno 31279  df-nmoo 31280  df-blo 31281  df-0o 31282

This theorem is used by:  ubthlem1  31405  ubthlem2  31406