Theorem blocn2 30737

Description: A bounded linear operator is continuous. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocn.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocn.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocn.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocn.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
blocn2	⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem blocn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blocn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
4		blocn.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
5	3, 4	bloln 30713	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
6	1, 2, 5	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
7		blocn.8	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
8		blocn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
9		blocn.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
10		blocn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
11	7, 8, 9, 10, 4, 1, 2, 3	blocn 30736	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))
12	11	biimprd 248	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) → (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
13	6, 12	mpcom 38	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 → 𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  MetOpencmopn 21254   Cn ccn 23111  NrmCVeccnv 30513  IndMetcims 30520   LnOp clno 30669   BLnOp cblo 30671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-lno 30673  df-nmoo 30674  df-blo 30675  df-0o 30676

This theorem is referenced by:  ubthlem1  30799  ubthlem2  30800