Theorem nmblolbii 30819

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
nmblolbii.b	⊢ 𝑇 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
nmblolbii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘(0vec‘𝑈)))
2	1	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
3		fveq2 6905	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
4	3	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
5	2, 4	breq12d 5155	. 2 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))))
6		nmblolbi.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmblolbi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9	7, 8	nvcl 30681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
13	7, 12, 8	nvz 30689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
14	6, 13	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
15	14	necon3bid 2984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)))
16	15	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	rereccld 12095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	7, 12, 8	nvgt0 30694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
20	19	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (𝐿‘𝐴))
21	11, 20	recgt0d 12203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (1 / (𝐿‘𝐴)))
22		0re 11264	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		ltle 11350	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
24	22, 17, 23	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
25	21, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴)))
26		nmblolbi.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
27		nmblolbii.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐵
28		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
29		nmblolbi.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
30	7, 28, 29	blof 30805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
31	6, 26, 27, 30	mp3an 1462	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
32	31	ffvelcdmi 7102	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
34		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
35		nmblolbi.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
36	28, 34, 35	nvsge0 30684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
37	26, 36	mp3an1 1449	. . . . . 6 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
38	17, 25, 33, 37	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
39	17	recnd 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)
40		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
41		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
42	41, 29	bloln 30804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
43	6, 26, 27, 42	mp3an 1462	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)
44	6, 26, 43	3pm3.2i 1339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
45		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
46	7, 45, 34, 41	lnomul 30780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
47	44, 46	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
48	39, 40, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
49	48	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))))
50	28, 35	nvcl 30681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	26, 32, 50	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℂ)
54	11	recnd 11290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℂ)
55	53, 54, 16	divrec2d 12048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
56	38, 49, 55	3eqtr4rd 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
57	7, 45	nvscl 30646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
58	6, 57	mp3an1 1449	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
59	58	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
60	39, 59	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
61	7, 8	nvcl 30681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
62	6, 60, 61	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
63	7, 45, 12, 8	nv1 30695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
64	6, 63	mp3an1 1449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
65		eqle 11364	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
66	62, 64, 65	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
67	6, 26, 31	3pm3.2i 1339	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		nmblolbi.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
69	7, 28, 8, 35, 68	nmoolb 30791	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) ∧ (((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
70	67, 69	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
71	60, 66, 70	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
72	56, 71	eqbrtrd 5164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))
73	7, 28, 68, 29	nmblore 30806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
74	6, 26, 27, 73	mp3an 1462	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
76		ledivmul2 12148	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐴))) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
77	52, 75, 11, 20, 76	syl112anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
78	72, 77	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))
79		0le0 12368	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
80		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
81	7, 28, 12, 80, 41	lno0 30776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
82	6, 26, 43, 81	mp3an 1462	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊)
83	82	fveq2i 6908	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝑀‘(0vec‘𝑊))
84	80, 35	nvz0 30688	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
85	26, 84	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
86	83, 85	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = 0
87	12, 8	nvz0 30688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0)
88	6, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0
89	88	oveq2i 7443	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = ((𝑁‘𝑇) · 0)
90	74	recni 11276	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℂ
91	90	mul01i 11452	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · 0) = 0
92	89, 91	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = 0
93	79, 86, 92	3brtr4i 5172	. . 3 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
94	93	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
95	5, 78, 94	pm2.61ne 3026	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297   / cdiv 11921  NrmCVeccnv 30604  BaseSetcba 30606   ·_𝑠OLD cns 30607  0_veccn0v 30608  norm_CVcnmcv 30610   LnOp clno 30760   normOp_OLD cnmoo 30761   BLnOp cblo 30762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-grpo 30513  df-gid 30514  df-ginv 30515  df-ablo 30565  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-nmcv 30620  df-lno 30764  df-nmoo 30765  df-blo 30766

This theorem is referenced by:  nmblolbi  30820