MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmblolbii 27995
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4 𝐿 = (normCV𝑈)
nmblolbi.5 𝑀 = (normCV𝑊)
nmblolbi.6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
nmblolbii.b 𝑇𝐵
Assertion
Ref Expression
nmblolbii (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 6333 . . . 4 (𝐴 = (0vec𝑈) → (𝑇𝐴) = (𝑇‘(0vec𝑈)))
21fveq2d 6337 . . 3 (𝐴 = (0vec𝑈) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
3 fveq2 6333 . . . 4 (𝐴 = (0vec𝑈) → (𝐿𝐴) = (𝐿‘(0vec𝑈)))
43oveq2d 6810 . . 3 (𝐴 = (0vec𝑈) → ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)) = ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))))
52, 4breq12d 4800 . 2 (𝐴 = (0vec𝑈) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈)))))
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (normCV𝑈)
97, 8nvcl 27857 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐿𝐴) ∈ ℝ)
106, 9mpan 664 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝐿𝐴) ∈ ℝ)
1110adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿𝐴) ∈ ℝ)
12 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
137, 12, 8nvz 27865 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐿𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec𝑈)))
146, 13mpan 664 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐿𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec𝑈)))
1514necon3bid 2987 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → ((𝐿𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ (0vec𝑈)))
1615biimpar 463 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿𝐴) ≠ 0)
1711, 16rereccld 11055 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ)
187, 12, 8nvgt0 27870 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < (𝐿𝐴)))
196, 18mpan 664 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (𝐴 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < (𝐿𝐴)))
2019biimpa 462 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 0 < (𝐿𝐴))
2111, 20recgt0d 11161 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 0 < (1 / (𝐿𝐴)))
22 0re 10243 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
23 ltle 10329 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (𝐿𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))))
2422, 17, 23sylancr 569 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (0 < (1 / (𝐿𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))))
2521, 24mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴)))
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9 𝑇𝐵
28 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
307, 28, 29blof 27981 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
316, 26, 27, 30mp3an 1572 . . . . . . . 8 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
3231ffvelrni 6502 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3332adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
34 eqid 2771 . . . . . . . 8 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (normCV𝑊)
3628, 34, 35nvsge0 27860 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))) ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
3726, 36mp3an1 1559 . . . . . 6 ((((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))) ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
3817, 25, 33, 37syl21anc 1475 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
3917recnd 10271 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ)
40 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 𝐴𝑋)
41 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
4241, 29bloln 27980 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
436, 26, 27, 42mp3an 1572 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)
446, 26, 433pm3.2i 1423 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
45 eqid 2771 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
467, 45, 34, 41lnomul 27956 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)))
4744, 46mpan 664 . . . . . . 7 (((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)))
4839, 40, 47syl2anc 567 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)))
4948fveq2d 6337 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))))
5028, 35nvcl 27857 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
5126, 32, 50sylancr 569 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
5251adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
5352recnd 10271 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℂ)
5411recnd 10271 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿𝐴) ∈ ℂ)
5553, 54, 16divrec2d 11008 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
5638, 49, 553eqtr4rd 2816 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
577, 45nvscl 27822 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
586, 57mp3an1 1559 . . . . . . 7 (((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
5958ancoms 455 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
6039, 59syldan 573 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
617, 8nvcl 27857 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
626, 60, 61sylancr 569 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
637, 45, 12, 8nv1 27871 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 1)
646, 63mp3an1 1559 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 1)
65 eqle 10342 . . . . . 6 (((𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 1) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1)
6662, 64, 65syl2anc 567 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1)
676, 26, 313pm3.2i 1423 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68 nmblolbi.6 . . . . . . 7 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
697, 28, 8, 35, 68nmoolb 27967 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) ∧ (((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁𝑇))
7067, 69mpan 664 . . . . 5 ((((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁𝑇))
7160, 66, 70syl2anc 567 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁𝑇))
7256, 71eqbrtrd 4809 . . 3 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))
737, 28, 68, 29nmblore 27982 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
746, 26, 27, 73mp3an 1572 . . . . 5 (𝑁𝑇) ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
76 ledivmul2 11105 . . . 4 (((𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐴))) → (((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) ≤ (𝑁𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴))))
7752, 75, 11, 20, 76syl112anc 1480 . . 3 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) ≤ (𝑁𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴))))
7872, 77mpbid 222 . 2 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))
79 0le0 11313 . . . 4 0 ≤ 0
80 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
817, 28, 12, 80, 41lno0 27952 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
826, 26, 43, 81mp3an 1572 . . . . . 6 (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊)
8382fveq2i 6336 . . . . 5 (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = (𝑀‘(0vec𝑊))
8480, 35nvz0 27864 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0)
8526, 84ax-mp 5 . . . . 5 (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0
8683, 85eqtri 2793 . . . 4 (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = 0
8712, 8nvz0 27864 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐿‘(0vec𝑈)) = 0)
886, 87ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐿‘(0vec𝑈)) = 0
8988oveq2i 6805 . . . . 5 ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))) = ((𝑁𝑇) · 0)
9074recni 10255 . . . . . 6 (𝑁𝑇) ∈ ℂ
9190mul01i 10429 . . . . 5 ((𝑁𝑇) · 0) = 0
9289, 91eqtri 2793 . . . 4 ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))) = 0
9379, 86, 923brtr4i 4817 . . 3 (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈)))
9493a1i 11 . 2 (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))))
955, 78, 94pm2.61ne 3028 1 (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   · cmul 10144   < clt 10277  cle 10278   / cdiv 10887  NrmCVeccnv 27780  BaseSetcba 27782   ·𝑠OLD cns 27783  0veccn0v 27784  normCVcnmcv 27786   LnOp clno 27936   normOpOLD cnmoo 27937   BLnOp cblo 27938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-map 8012  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-sup 8505  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-grpo 27688  df-gid 27689  df-ginv 27690  df-ablo 27740  df-vc 27755  df-nv 27788  df-va 27791  df-ba 27792  df-sm 27793  df-0v 27794  df-nmcv 27796  df-lno 27940  df-nmoo 27941  df-blo 27942
This theorem is referenced by:  nmblolbi  27996
  Copyright terms: Public domain W3C validator