Theorem nmblolbii 28681

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
nmblolbii.b	⊢ 𝑇 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
nmblolbii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6658	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘(0vec‘𝑈)))
2	1	fveq2d 6662	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
3		fveq2 6658	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
4	3	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
5	2, 4	breq12d 5045	. 2 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))))
6		nmblolbi.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmblolbi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9	7, 8	nvcl 28543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	mpan 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
12		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
13	7, 12, 8	nvz 28551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
14	6, 13	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
15	14	necon3bid 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)))
16	15	biimpar 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	rereccld 11505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	7, 12, 8	nvgt0 28556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
20	19	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (𝐿‘𝐴))
21	11, 20	recgt0d 11612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (1 / (𝐿‘𝐴)))
22		0re 10681	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		ltle 10767	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
24	22, 17, 23	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
25	21, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴)))
26		nmblolbi.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
27		nmblolbii.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐵
28		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
29		nmblolbi.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
30	7, 28, 29	blof 28667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
31	6, 26, 27, 30	mp3an 1458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
32	31	ffvelrni 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
33	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
34		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
35		nmblolbi.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
36	28, 34, 35	nvsge0 28546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
37	26, 36	mp3an1 1445	. . . . . 6 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
38	17, 25, 33, 37	syl21anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
39	17	recnd 10707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)
40		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
41		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
42	41, 29	bloln 28666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
43	6, 26, 27, 42	mp3an 1458	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)
44	6, 26, 43	3pm3.2i 1336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
45		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
46	7, 45, 34, 41	lnomul 28642	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
47	44, 46	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
48	39, 40, 47	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
49	48	fveq2d 6662	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))))
50	28, 35	nvcl 28543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	26, 32, 50	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
52	51	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 10707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℂ)
54	11	recnd 10707	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℂ)
55	53, 54, 16	divrec2d 11458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
56	38, 49, 55	3eqtr4rd 2804	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
57	7, 45	nvscl 28508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
58	6, 57	mp3an1 1445	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
59	58	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
60	39, 59	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
61	7, 8	nvcl 28543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
62	6, 60, 61	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
63	7, 45, 12, 8	nv1 28557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
64	6, 63	mp3an1 1445	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
65		eqle 10780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
66	62, 64, 65	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
67	6, 26, 31	3pm3.2i 1336	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		nmblolbi.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
69	7, 28, 8, 35, 68	nmoolb 28653	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) ∧ (((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
70	67, 69	mpan 689	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
71	60, 66, 70	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
72	56, 71	eqbrtrd 5054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))
73	7, 28, 68, 29	nmblore 28668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
74	6, 26, 27, 73	mp3an 1458	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
76		ledivmul2 11557	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐴))) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
77	52, 75, 11, 20, 76	syl112anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
78	72, 77	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))
79		0le0 11775	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
80		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
81	7, 28, 12, 80, 41	lno0 28638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
82	6, 26, 43, 81	mp3an 1458	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊)
83	82	fveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝑀‘(0vec‘𝑊))
84	80, 35	nvz0 28550	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
85	26, 84	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
86	83, 85	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = 0
87	12, 8	nvz0 28550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0)
88	6, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0
89	88	oveq2i 7161	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = ((𝑁‘𝑇) · 0)
90	74	recni 10693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℂ
91	90	mul01i 10868	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · 0) = 0
92	89, 91	eqtri 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = 0
93	79, 86, 92	3brtr4i 5062	. . 3 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
94	93	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
95	5, 78, 94	pm2.61ne 3036	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   / cdiv 11335  NrmCVeccnv 28466  BaseSetcba 28468   ·_𝑠OLD cns 28469  0_veccn0v 28470  norm_CVcnmcv 28472   LnOp clno 28622   normOp_OLD cnmoo 28623   BLnOp cblo 28624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-grpo 28375  df-gid 28376  df-ginv 28377  df-ablo 28427  df-vc 28441  df-nv 28474  df-va 28477  df-ba 28478  df-sm 28479  df-0v 28480  df-nmcv 28482  df-lno 28626  df-nmoo 28627  df-blo 28628

This theorem is referenced by:  nmblolbi  28682