MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmblolbii 28492
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4 𝐿 = (normCV𝑈)
nmblolbi.5 𝑀 = (normCV𝑊)
nmblolbi.6 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
nmblolbii.b 𝑇𝐵
Assertion
Ref Expression
nmblolbii (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 6666 . . . 4 (𝐴 = (0vec𝑈) → (𝑇𝐴) = (𝑇‘(0vec𝑈)))
21fveq2d 6670 . . 3 (𝐴 = (0vec𝑈) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
3 fveq2 6666 . . . 4 (𝐴 = (0vec𝑈) → (𝐿𝐴) = (𝐿‘(0vec𝑈)))
43oveq2d 7167 . . 3 (𝐴 = (0vec𝑈) → ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)) = ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))))
52, 4breq12d 5075 . 2 (𝐴 = (0vec𝑈) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈)))))
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9 𝑈 ∈ NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (normCV𝑈)
97, 8nvcl 28354 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐿𝐴) ∈ ℝ)
106, 9mpan 686 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝐿𝐴) ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿𝐴) ∈ ℝ)
12 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
137, 12, 8nvz 28362 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐿𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec𝑈)))
146, 13mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝐿𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec𝑈)))
1514necon3bid 3064 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → ((𝐿𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ (0vec𝑈)))
1615biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿𝐴) ≠ 0)
1711, 16rereccld 11459 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ)
187, 12, 8nvgt0 28367 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < (𝐿𝐴)))
196, 18mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → (𝐴 ≠ (0vec𝑈) ↔ 0 < (𝐿𝐴)))
2019biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 0 < (𝐿𝐴))
2111, 20recgt0d 11566 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 0 < (1 / (𝐿𝐴)))
22 0re 10635 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
23 ltle 10721 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (𝐿𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))))
2422, 17, 23sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (0 < (1 / (𝐿𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))))
2521, 24mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴)))
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9 𝑇𝐵
28 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
307, 28, 29blof 28478 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
316, 26, 27, 30mp3an 1454 . . . . . . . 8 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
3231ffvelrni 6845 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
34 eqid 2825 . . . . . . . 8 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (normCV𝑊)
3628, 34, 35nvsge0 28357 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))) ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
3726, 36mp3an1 1441 . . . . . 6 ((((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝐴))) ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
3817, 25, 33, 37syl21anc 835 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
3917recnd 10661 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ)
40 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → 𝐴𝑋)
41 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
4241, 29bloln 28477 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
436, 26, 27, 42mp3an 1454 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)
446, 26, 433pm3.2i 1333 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
45 eqid 2825 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
467, 45, 34, 41lnomul 28453 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)))
4744, 46mpan 686 . . . . . . 7 (((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)))
4839, 40, 47syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴)))
4948fveq2d 6670 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑀‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐴))))
5028, 35nvcl 28354 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
5126, 32, 50sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
5251adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ)
5352recnd 10661 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℂ)
5411recnd 10661 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿𝐴) ∈ ℂ)
5553, 54, 16divrec2d 11412 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) = ((1 / (𝐿𝐴)) · (𝑀‘(𝑇𝐴))))
5638, 49, 553eqtr4rd 2871 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
577, 45nvscl 28319 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
586, 57mp3an1 1441 . . . . . . 7 (((1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
5958ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ (1 / (𝐿𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
6039, 59syldan 591 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
617, 8nvcl 28354 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
626, 60, 61sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
637, 45, 12, 8nv1 28368 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 1)
646, 63mp3an1 1441 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 1)
65 eqle 10734 . . . . . 6 (((𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 1) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1)
6662, 64, 65syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1)
676, 26, 313pm3.2i 1333 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68 nmblolbi.6 . . . . . . 7 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
697, 28, 8, 35, 68nmoolb 28464 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) ∧ (((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁𝑇))
7067, 69mpan 686 . . . . 5 ((((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁𝑇))
7160, 66, 70syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿𝐴))( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁𝑇))
7256, 71eqbrtrd 5084 . . 3 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) ≤ (𝑁𝑇))
737, 28, 68, 29nmblore 28479 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐵) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
746, 26, 27, 73mp3an 1454 . . . . 5 (𝑁𝑇) ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
76 ledivmul2 11511 . . . 4 (((𝑀‘(𝑇𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐴))) → (((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) ≤ (𝑁𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴))))
7752, 75, 11, 20, 76syl112anc 1368 . . 3 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (((𝑀‘(𝑇𝐴)) / (𝐿𝐴)) ≤ (𝑁𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴))))
7872, 77mpbid 233 . 2 ((𝐴𝑋𝐴 ≠ (0vec𝑈)) → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))
79 0le0 11730 . . . 4 0 ≤ 0
80 eqid 2825 . . . . . . . 8 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
817, 28, 12, 80, 41lno0 28449 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊))
826, 26, 43, 81mp3an 1454 . . . . . 6 (𝑇‘(0vec𝑈)) = (0vec𝑊)
8382fveq2i 6669 . . . . 5 (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = (𝑀‘(0vec𝑊))
8480, 35nvz0 28361 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0)
8526, 84ax-mp 5 . . . . 5 (𝑀‘(0vec𝑊)) = 0
8683, 85eqtri 2848 . . . 4 (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) = 0
8712, 8nvz0 28361 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐿‘(0vec𝑈)) = 0)
886, 87ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐿‘(0vec𝑈)) = 0
8988oveq2i 7162 . . . . 5 ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))) = ((𝑁𝑇) · 0)
9074recni 10647 . . . . . 6 (𝑁𝑇) ∈ ℂ
9190mul01i 10822 . . . . 5 ((𝑁𝑇) · 0) = 0
9289, 91eqtri 2848 . . . 4 ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))) = 0
9379, 86, 923brtr4i 5092 . . 3 (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈)))
9493a1i 11 . 2 (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿‘(0vec𝑈))))
955, 78, 94pm2.61ne 3106 1 (𝐴𝑋 → (𝑀‘(𝑇𝐴)) ≤ ((𝑁𝑇) · (𝐿𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  NrmCVeccnv 28277  BaseSetcba 28279   ·𝑠OLD cns 28280  0veccn0v 28281  normCVcnmcv 28283   LnOp clno 28433   normOpOLD cnmoo 28434   BLnOp cblo 28435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-grpo 28186  df-gid 28187  df-ginv 28188  df-ablo 28238  df-vc 28252  df-nv 28285  df-va 28288  df-ba 28289  df-sm 28290  df-0v 28291  df-nmcv 28293  df-lno 28437  df-nmoo 28438  df-blo 28439
This theorem is referenced by:  nmblolbi  28493
  Copyright terms: Public domain W3C validator