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Theorem nmblolbii 30052
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmblolbi.4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmblolbi.5 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmblolbi.6 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmblolbi.7 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
nmblolbi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmblolbi.w π‘Š ∈ NrmCVec
nmblolbii.b 𝑇 ∈ 𝐡
Assertion
Ref Expression
nmblolbii (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)))

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . 4 (𝐴 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘‡β€˜π΄) = (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))
21fveq2d 6896 . . 3 (𝐴 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
3 fveq2 6892 . . . 4 (𝐴 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))
43oveq2d 7425 . . 3 (𝐴 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)) = ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
52, 4breq12d 5162 . 2 (𝐴 = (0vecβ€˜π‘ˆ) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)) ↔ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))))
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ ∈ NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
97, 8nvcl 29914 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ ℝ)
106, 9mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ ℝ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
137, 12, 8nvz 29922 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
146, 13mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((πΏβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
1514necon3bid 2986 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ((πΏβ€˜π΄) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)))
1615biimpar 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜π΄) β‰  0)
1711, 16rereccld 12041 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
187, 12, 8nvgt0 29927 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) ↔ 0 < (πΏβ€˜π΄)))
196, 18mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ) ↔ 0 < (πΏβ€˜π΄)))
2019biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ 0 < (πΏβ€˜π΄))
2111, 20recgt0d 12148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ 0 < (1 / (πΏβ€˜π΄)))
22 0re 11216 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
23 ltle 11302 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (0 < (1 / (πΏβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (1 / (πΏβ€˜π΄))))
2422, 17, 23sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (0 < (1 / (πΏβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (1 / (πΏβ€˜π΄))))
2521, 24mpd 15 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ 0 ≀ (1 / (πΏβ€˜π΄)))
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9 π‘Š ∈ NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ 𝐡
28 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
307, 28, 29blof 30038 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
316, 26, 27, 30mp3an 1462 . . . . . . . 8 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š)
3231ffvelcdmi 7086 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
3332adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
3628, 34, 35nvsge0 29917 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / (πΏβ€˜π΄))) ∧ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄))) = ((1 / (πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄))))
3726, 36mp3an1 1449 . . . . . 6 ((((1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / (πΏβ€˜π΄))) ∧ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄))) = ((1 / (πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄))))
3817, 25, 33, 37syl21anc 837 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄))) = ((1 / (πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄))))
3917recnd 11242 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
40 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ LnOp π‘Š) = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
4241, 29bloln 30037 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š))
436, 26, 27, 42mp3an 1462 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š)
446, 26, 433pm3.2i 1340 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š))
45 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
467, 45, 34, 41lnomul 30013 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š)) ∧ ((1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
4744, 46mpan 689 . . . . . . 7 (((1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
4839, 40, 47syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
4948fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = (π‘€β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄))))
5028, 35nvcl 29914 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ∈ ℝ)
5126, 32, 50sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ∈ ℝ)
5251adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ∈ ℝ)
5352recnd 11242 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ∈ β„‚)
5411recnd 11242 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ β„‚)
5553, 54, 16divrec2d 11994 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) / (πΏβ€˜π΄)) = ((1 / (πΏβ€˜π΄)) Β· (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄))))
5638, 49, 553eqtr4rd 2784 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) / (πΏβ€˜π΄)) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
577, 45nvscl 29879 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
586, 57mp3an1 1449 . . . . . . 7 (((1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
5958ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (1 / (πΏβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
6039, 59syldan 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋)
617, 8nvcl 29914 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) ∈ ℝ)
626, 60, 61sylancr 588 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) ∈ ℝ)
637, 45, 12, 8nv1 29928 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = 1)
646, 63mp3an1 1449 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = 1)
65 eqle 11316 . . . . . 6 (((πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) ∈ ℝ ∧ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) = 1) β†’ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) ≀ 1)
6662, 64, 65syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) ≀ 1)
676, 26, 313pm3.2i 1340 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
68 nmblolbi.6 . . . . . . 7 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
697, 28, 8, 35, 68nmoolb 30024 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š)) ∧ (((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) ≀ 1)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ (π‘β€˜π‘‡))
7067, 69mpan 689 . . . . 5 ((((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (πΏβ€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)) ≀ 1) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ (π‘β€˜π‘‡))
7160, 66, 70syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜((1 / (πΏβ€˜π΄))( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) ≀ (π‘β€˜π‘‡))
7256, 71eqbrtrd 5171 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) / (πΏβ€˜π΄)) ≀ (π‘β€˜π‘‡))
737, 28, 68, 29nmblore 30039 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
746, 26, 27, 73mp3an 1462 . . . . 5 (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
76 ledivmul2 12093 . . . 4 (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ ((πΏβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 < (πΏβ€˜π΄))) β†’ (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) / (πΏβ€˜π΄)) ≀ (π‘β€˜π‘‡) ↔ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄))))
7752, 75, 11, 20, 76syl112anc 1375 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) / (πΏβ€˜π΄)) ≀ (π‘β€˜π‘‡) ↔ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄))))
7872, 77mpbid 231 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 β‰  (0vecβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)))
79 0le0 12313 . . . 4 0 ≀ 0
80 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
817, 28, 12, 80, 41lno0 30009 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (π‘ˆ LnOp π‘Š)) β†’ (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (0vecβ€˜π‘Š))
826, 26, 43, 81mp3an 1462 . . . . . 6 (π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = (0vecβ€˜π‘Š)
8382fveq2i 6895 . . . . 5 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = (π‘€β€˜(0vecβ€˜π‘Š))
8480, 35nvz0 29921 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmCVec β†’ (π‘€β€˜(0vecβ€˜π‘Š)) = 0)
8526, 84ax-mp 5 . . . . 5 (π‘€β€˜(0vecβ€˜π‘Š)) = 0
8683, 85eqtri 2761 . . . 4 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = 0
8712, 8nvz0 29921 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0)
886, 87ax-mp 5 . . . . . 6 (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)) = 0
8988oveq2i 7420 . . . . 5 ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = ((π‘β€˜π‘‡) Β· 0)
9074recni 11228 . . . . . 6 (π‘β€˜π‘‡) ∈ β„‚
9190mul01i 11404 . . . . 5 ((π‘β€˜π‘‡) Β· 0) = 0
9289, 91eqtri 2761 . . . 4 ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) = 0
9379, 86, 923brtr4i 5179 . . 3 (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ)))
9493a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜(0vecβ€˜π‘ˆ))))
955, 78, 94pm2.61ne 3028 1 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π΄)) ≀ ((π‘β€˜π‘‡) Β· (πΏβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  NrmCVeccnv 29837  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  0veccn0v 29841  normCVcnmcv 29843   LnOp clno 29993   normOpOLD cnmoo 29994   BLnOp cblo 29995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-blo 29999
This theorem is referenced by:  nmblolbi  30053
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