Theorem nmblolbii 30892

Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmblolbi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmblolbi.4	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmblolbi.5	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmblolbi.6	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmblolbi.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
nmblolbi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmblolbi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
nmblolbii.b	⊢ 𝑇 ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
nmblolbii	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Proof of Theorem nmblolbii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6831	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑇‘𝐴) = (𝑇‘(0vec‘𝑈)))
2	1	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
3		fveq2 6831	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
4	3	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) = ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
5	2, 4	breq12d 5088	. 2 ⊢ (𝐴 = (0vec‘𝑈) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)) ↔ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))))
6		nmblolbi.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmblolbi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8		nmblolbi.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
9	7, 8	nvcl 30754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	mpan 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℝ)
12		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
13	7, 12, 8	nvz 30762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
14	6, 13	mpan 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (0vec‘𝑈)))
15	14	necon3bid 2980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝐿‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)))
16	15	biimpar 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ≠ 0)
17	11, 16	rereccld 11977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	7, 12, 8	nvgt0 30767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
19	6, 18	mpan 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < (𝐿‘𝐴)))
20	19	biimpa 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (𝐿‘𝐴))
21	11, 20	recgt0d 12085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < (1 / (𝐿‘𝐴)))
22		0re 11141	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23		ltle 11229	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
24	22, 17, 23	sylancr 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (0 < (1 / (𝐿‘𝐴)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))))
25	21, 24	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴)))
26		nmblolbi.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
27		nmblolbii.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐵
28		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
29		nmblolbi.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
30	7, 28, 29	blof 30878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
31	6, 26, 27, 30	mp3an 1470	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
32	31	ffvelcdmi 7028	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
33	32	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
34		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
35		nmblolbi.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
36	28, 34, 35	nvsge0 30757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
37	26, 36	mp3an1 1457	. . . . . 6 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿‘𝐴))) ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
38	17, 25, 33, 37	syl21anc 844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
39	17	recnd 11168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ)
40		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
41		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
42	41, 29	bloln 30877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
43	6, 26, 27, 42	mp3an 1470	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)
44	6, 26, 43	3pm3.2i 1347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
45		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
46	7, 45, 34, 41	lnomul 30853	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
47	44, 46	mpan 697	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
48	39, 40, 47	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
49	48	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (𝑀‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))))
50	28, 35	nvcl 30754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	26, 32, 50	sylancr 594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
52	51	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℂ)
54	11	recnd 11168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘𝐴) ∈ ℂ)
55	53, 54, 16	divrec2d 11930	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = ((1 / (𝐿‘𝐴)) · (𝑀‘(𝑇‘𝐴))))
56	38, 49, 55	3eqtr4rd 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) = (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
57	7, 45	nvscl 30719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
58	6, 57	mp3an1 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
59	58	ancoms 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (1 / (𝐿‘𝐴)) ∈ ℂ) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
60	39, 59	syldan 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
61	7, 8	nvcl 30754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
62	6, 60, 61	sylancr 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ)
63	7, 45, 12, 8	nv1 30768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
64	6, 63	mp3an1 1457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1)
65		eqle 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 1) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
66	62, 64, 65	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)
67	6, 26, 31	3pm3.2i 1347	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
68		nmblolbi.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
69	7, 28, 8, 35, 68	nmoolb 30864	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) ∧ (((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
70	67, 69	mpan 697	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐿‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) ≤ 1) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
71	60, 66, 70	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘((1 / (𝐿‘𝐴))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ (𝑁‘𝑇))
72	56, 71	eqbrtrd 5097	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇))
73	7, 28, 68, 29	nmblore 30879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
74	6, 26, 27, 73	mp3an 1470	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)
76		ledivmul2 12030	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐿‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿‘𝐴))) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
77	52, 75, 11, 20, 76	syl112anc 1383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (((𝑀‘(𝑇‘𝐴)) / (𝐿‘𝐴)) ≤ (𝑁‘𝑇) ↔ (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴))))
78	72, 77	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ≠ (0vec‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))
79		0le0 12277	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
80		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
81	7, 28, 12, 80, 41	lno0 30849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
82	6, 26, 43, 81	mp3an 1470	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊)
83	82	fveq2i 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = (𝑀‘(0vec‘𝑊))
84	80, 35	nvz0 30761	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0)
85	26, 84	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑀‘(0vec‘𝑊)) = 0
86	83, 85	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = 0
87	12, 8	nvz0 30761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0)
88	6, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘(0vec‘𝑈)) = 0
89	88	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = ((𝑁‘𝑇) · 0)
90	74	recni 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘𝑇) ∈ ℂ
91	90	mul01i 11331	. . . . 5 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · 0) = 0
92	89, 91	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))) = 0
93	79, 86, 92	3brtr4i 5105	. . 3 ⊢ (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈)))
94	93	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘(0vec‘𝑈))))
95	5, 78, 94	pm2.61ne 3021	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑀‘(𝑇‘𝐴)) ≤ ((𝑁‘𝑇) · (𝐿‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5075  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   / cdiv 11802  NrmCVeccnv 30677  BaseSetcba 30679   ·_𝑠OLD cns 30680  0_veccn0v 30681  norm_CVcnmcv 30683   LnOp clno 30833   normOp_OLD cnmoo 30834   BLnOp cblo 30835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ginv 30588  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-nmcv 30693  df-lno 30837  df-nmoo 30838  df-blo 30839

This theorem is referenced by:  nmblolbi  30893