Theorem ubthlem2 28339

Description: Lemma for ubth 28341. Given that there is a closed ball 𝐵(𝑃, 𝑅) in 𝐴‘𝐾, for any 𝑥 ∈ 𝐵(0, 1), we have 𝑃 + 𝑅 · 𝑥 ∈ 𝐵(𝑃, 𝑅) and 𝑃 ∈ 𝐵(𝑃, 𝑅), so both of these have norm(𝑡(𝑧)) ≤ 𝐾 and so norm(𝑡(𝑥 )) ≤ (norm(𝑡(𝑃)) + norm(𝑡(𝑃 + 𝑅 · 𝑥))) / 𝑅 ≤ ( 𝐾 + 𝐾) / 𝑅, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubthlem.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5	⊢ 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
ubthlem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
ubthlem.9	⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
ubthlem.10	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
ubthlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
ubthlem.12	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ubthlem.13	⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑐,𝑥,𝑧,𝐴   𝑡,𝑐,𝐷,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝐽,𝑡,𝑥   𝑘,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧,𝐾   𝑐,𝑑,𝑁,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝑃,𝑧   𝜑,𝑐,𝑘,𝑡,𝑥   𝑅,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑇,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑑)   𝐴(𝑡,𝑑)   𝐷(𝑑)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑘,𝑐)   𝑈(𝑘)   𝐽(𝑧,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑐)   𝑊(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ubthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 12279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
3	2, 2	rpaddcld 12296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ+)
4		ubthlem.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
5	3, 4	rpdivcld 12298	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 12281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ)
7		oveq2 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))))
8	7	breq1d 4972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅))
9		eleq1 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾)))
10	8, 9	imbi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)) ↔ ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾))))
11		ubthlem.13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴‘𝐾))
12		rabss 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴‘𝐾) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)))
13	11, 12	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)))
14	13	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)))
15		ubthlem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
16		bnnv 28334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
19		ubthlem.11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
20	19	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
21	4	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
22	21	rpcnd 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℂ)
23		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		ubth.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25		eqid 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
26	24, 25	nvscl 28094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
27	18, 22, 23, 26	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
28		eqid 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
29	24, 28	nvgcl 28088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
30	18, 20, 27, 29	syl3anc 1364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
31	10, 14, 30	rspcdva 3565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾)))
32		ubthlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
33	24, 32	cbncms 28333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
35		cmetmet 23572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
36		metxmet 22627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
39		xmetsym 22640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
40	38, 20, 30, 39	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
41		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
42		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
43	24, 41, 42, 32	imsdval 28154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
44	18, 30, 20, 43	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
45	24, 28, 41	nvpncan2 28121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))
46	18, 20, 27, 45	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))
47	46	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))
48	40, 44, 47	3eqtrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))
49	21	rprege0d 12288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
50	24, 25, 42	nvsge0 28132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
51	18, 49, 23, 50	syl3anc 1364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
52	48, 51	eqtrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
53	22	mulid1d 10504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
54	53	eqcomd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 = (𝑅 · 1))
55	52, 54	breq12d 4975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
56	24, 42	nvcl 28129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
57	17, 56	mpan 686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
58	57	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
59		1red 10488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
60	58, 59, 21	lemul2d 12325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
61	55, 60	bitr4d 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1))
62		breq2 4966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾))
63	62	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾))
64	63	rabbidv 3425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
65		ubthlem.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
66	24	fvexi 6552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 ∈ V
67	66	rabex 5126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾} ∈ V
68	64, 65, 67	fvmpt 6635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐴‘𝐾) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
69	1, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
70	69	eleq2d 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾}))
71		2fveq3 6543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))))
72	71	breq1d 4972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
73	72	ralbidv 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
74	73	elrab 3618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
75	70, 74	syl6bb 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
76	75	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
77	31, 61, 76	3imtr3d 294	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
78		rsp 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
79	78	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
80	79	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
81		xmet0 22635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
82	37, 19, 81	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
83	4	rpge0d 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
84	82, 83	eqbrtrd 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
85		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑃))
86	85	breq1d 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
87	86	elrab 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
88	19, 84, 87	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅})
89	11, 88	sseldd 3890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐴‘𝐾))
90	89, 69	eleqtrd 2885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
91		2fveq3 6543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑃)))
92	91	breq1d 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
93	92	ralbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
94	93	elrab 3618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
95	90, 94	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
96	95	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾)
97	96	r19.21bi 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾)
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾)
99		ubthlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
100		ubthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
101	100	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
102		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
103		ubthlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
104		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))
105		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
106	32, 102, 103, 104, 105, 17, 99	blocn2 28276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))))
107	103	mopntopon 22732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
108	37, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)
109		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
110	109, 102	imsxmet 28160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
111	104	mopntopon 22732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
112	99, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
113		iscncl 21561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))))
114	108, 112, 113	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
115	106, 114	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
116	101, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
117	116	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
119	118, 30	ffvelrnd 6717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊))
120		ubth.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
121	109, 120	nvcl 28129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
122	99, 119, 121	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
123	118, 20	ffvelrnd 6717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
124	109, 120	nvcl 28129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ∈ ℝ)
125	99, 123, 124	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ∈ ℝ)
126	1	nnred 11501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
127	126	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ)
128		le2add 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
129	122, 125, 127, 127, 128	syl22anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
130	98, 129	mpan2d 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
131	46	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))
132	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
133		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
134	133, 105	bloln 28252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
135	17, 99, 134	mp3an12 1443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
136	101, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
138		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
139	24, 41, 138, 133	lnosub 28227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃)))
140	18, 132, 137, 30, 20, 139	syl32anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃)))
141		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
142	24, 25, 141, 133	lnomul 28228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥)))
143	18, 132, 137, 22, 23, 142	syl32anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥)))
144	131, 140, 143	3eqtr3d 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃)) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥)))
145	144	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) = (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥))))
146	117	ffvelrnda 6716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
147	109, 141, 120	nvsge0 28132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))))
148	132, 49, 146, 147	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))))
149	145, 148	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))))
150	109, 138, 120	nvmtri 28139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑡‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))))
151	132, 119, 123, 150	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))))
152	149, 151	eqbrtrrd 4986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))))
153	21	rpred 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
154	109, 120	nvcl 28129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
155	99, 146, 154	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
156	153, 155	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ∈ ℝ)
157	122, 125	readdcld 10516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∈ ℝ)
158	3	rpred 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
159	158	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
160		letr 10581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
161	156, 157, 159, 160	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
162	152, 161	mpand 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
163	130, 162	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
164	155, 159, 21	lemuldiv2d 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
165	163, 164	sylibd 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
166	80, 165	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
167	166	adantld 491	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
168	77, 167	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
169	168	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
170	5	rpxrd 12282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
171	170	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
172		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
173	24, 109, 42, 120, 172, 17, 99	nmoubi 28240	. . . . 5 ⊢ ((𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
174	117, 171, 173	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
175	169, 174	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
176	175	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
177		brralrspcev 5022	. 2 ⊢ ((((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
178	6, 176, 177	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ∃wrex 3106  {crab 3109   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041  ^◡ccnv 5442   “ cima 5446  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  ℝ^*cxr 10520   ≤ cle 10522   / cdiv 11145  ℕcn 11486  ℝ⁺crp 12239  ∞Metcxmet 20212  Metcmet 20213  MetOpencmopn 20217  TopOnctopon 21202  Clsdccld 21308   Cn ccn 21516  CMetccmet 23540  NrmCVeccnv 28052   +_𝑣 cpv 28053  BaseSetcba 28054   ·_𝑠OLD cns 28055   −_𝑣 cnsb 28057  norm_CVcnmcv 28058  IndMetcims 28059   LnOp clno 28208   normOp_OLD cnmoo 28209   BLnOp cblo 28210  CBanccbn 28330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cld 21311  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-cmet 23543  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-gdiv 27964  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-vs 28067  df-nmcv 28068  df-ims 28069  df-lno 28212  df-nmoo 28213  df-blo 28214  df-0o 28215  df-cbn 28331

This theorem is referenced by:  ubthlem3  28340