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Theorem ubthlem2 28252
Description: Lemma for ubth 28254. Given that there is a closed ball 𝐵(𝑃, 𝑅) in 𝐴𝐾, for any 𝑥𝐵(0, 1), we have 𝑃 + 𝑅 · 𝑥𝐵(𝑃, 𝑅) and 𝑃𝐵(𝑃, 𝑅), so both of these have norm(𝑡(𝑧)) ≤ 𝐾 and so norm(𝑡(𝑥 )) ≤ (norm(𝑡(𝑃)) + norm(𝑡(𝑃 + 𝑅 · 𝑥))) / 𝑅 ≤ ( 𝐾 + 𝐾) / 𝑅, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2 𝑁 = (normCV𝑊)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
ubthlem.8 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
ubthlem.9 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
ubthlem.10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
ubthlem.11 (𝜑𝑃𝑋)
ubthlem.12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ubthlem.13 (𝜑 → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾))
Assertion
Ref Expression
ubthlem2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑐,𝑥,𝑧,𝐴   𝑡,𝑐,𝐷,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝐽,𝑡,𝑥   𝑘,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧,𝐾   𝑐,𝑑,𝑁,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝑃,𝑧   𝜑,𝑐,𝑘,𝑡,𝑥   𝑅,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑇,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑑)   𝐴(𝑡,𝑑)   𝐷(𝑑)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑘,𝑐)   𝑈(𝑘)   𝐽(𝑧,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑐)   𝑊(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
21nnrpd 12115 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
32, 2rpaddcld 12132 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ+)
4 ubthlem.12 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
53, 4rpdivcld 12134 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ+)
65rpred 12117 . 2 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ)
7 oveq2 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))))
87breq1d 4853 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅))
9 eleq1 2866 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐴𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾)))
108, 9imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)) ↔ ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾))))
11 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾))
12 rabss 3875 . . . . . . . . . 10 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
1311, 12sylib 210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
1413ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
15 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CBan
16 bnnv 28247 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
19 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑋)
2019ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃𝑋)
214ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2221rpcnd 12119 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℂ)
23 simpr 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 ubth.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
2624, 25nvscl 28006 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
2718, 22, 23, 26syl3anc 1491 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
28 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2924, 28nvgcl 28000 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
3018, 20, 27, 29syl3anc 1491 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
3110, 14, 30rspcdva 3503 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾)))
32 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
3324, 32cbncms 28246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
35 cmetmet 23412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
36 metxmet 22467 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
39 xmetsym 22480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
4038, 20, 30, 39syl3anc 1491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
41 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
42 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4324, 41, 42, 32imsdval 28066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)))
4418, 30, 20, 43syl3anc 1491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)))
4524, 28, 41nvpncan2 28033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))
4618, 20, 27, 45syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))
4746fveq2d 6415 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
4840, 44, 473eqtrd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
4921rprege0d 12124 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
5024, 25, 42nvsge0 28044 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5118, 49, 23, 50syl3anc 1491 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5248, 51eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5322mulid1d 10346 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
5453eqcomd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 = (𝑅 · 1))
5552, 54breq12d 4856 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
5624, 42nvcl 28041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5717, 56mpan 682 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5857adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
59 1red 10329 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
6058, 59, 21lemul2d 12161 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
6155, 60bitr4d 274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ ((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1))
62 breq2 4847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾))
6362ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾))
6463rabbidv 3373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐾 → {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
65 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
6624fvexi 6425 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ V
6766rabex 5007 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ∈ V
6864, 65, 67fvmpt 6507 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐴𝐾) = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
691, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐾) = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
7069eleq2d 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾}))
71 2fveq3 6416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))))
7271breq1d 4853 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7372ralbidv 3167 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7473elrab 3556 . . . . . . . . 9 ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7570, 74syl6bb 279 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
7675ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
7731, 61, 763imtr3d 285 . . . . . 6 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
78 rsp 3110 . . . . . . . . . 10 (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑡𝑇 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7978com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
8079ad2antlr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
81 xmet0 22475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
8237, 19, 81sylancr 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
834rpge0d 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
8482, 83eqbrtrd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
85 oveq2 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑃 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑃))
8685breq1d 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
8786elrab 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
8819, 84, 87sylanbrc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅})
8911, 88sseldd 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ (𝐴𝐾))
9089, 69eleqtrd 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
91 2fveq3 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑃 → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡𝑃)))
9291breq1d 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9392ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑃 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9493elrab 3556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9590, 94sylib 210 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9695simprd 490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
9796r19.21bi 3113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
9897adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
99 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ∈ NrmCVec
100 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
101100sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
102 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
103 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
104 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))
105 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10632, 102, 103, 104, 105, 17, 99blocn2 28188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))))
107103mopntopon 22572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10837, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)
109 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
110109, 102imsxmet 28072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
111104mopntopon 22572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
11299, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
113 iscncl 21402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))))
114108, 112, 113mp2an 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
115106, 114sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
116101, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
117116simpld 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
118117adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
119118, 30ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊))
120 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (normCV𝑊)
121109, 120nvcl 28041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
12299, 119, 121sylancr 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
123118, 20ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
124109, 120nvcl 28041 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ)
12599, 123, 124sylancr 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ)
1261nnred 11329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
127126ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ)
128 le2add 10802 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
129122, 125, 127, 127, 128syl22anc 868 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
13098, 129mpan2d 686 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
13146fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
13299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
133 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
134133, 105bloln 28164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
13517, 99, 134mp3an12 1576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
136101, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
137136adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
138 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
13924, 41, 138, 133lnosub 28139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋𝑃𝑋)) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)))
14018, 132, 137, 30, 20, 139syl32anc 1498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)))
141 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
14224, 25, 141, 133lnomul 28140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
14318, 132, 137, 22, 23, 142syl32anc 1498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
144131, 140, 1433eqtr3d 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
145144fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) = (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))))
146117ffvelrnda 6585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
147109, 141, 120nvsge0 28044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
148132, 49, 146, 147syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
149145, 148eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
150109, 138, 120nvmtri 28051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
151132, 119, 123, 150syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
152149, 151eqbrtrrd 4867 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
15321rpred 12117 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
154109, 120nvcl 28041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
15599, 146, 154sylancr 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
156153, 155remulcld 10359 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ∈ ℝ)
157122, 125readdcld 10358 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∈ ℝ)
1583rpred 12117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
159158ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
160 letr 10421 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
161156, 157, 159, 160syl3anc 1491 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
162152, 161mpand 687 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
163130, 162syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
164155, 159, 21lemuldiv2d 12167 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
165163, 164sylibd 231 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
16680, 165syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
167166adantld 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
16877, 167syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
169168ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
1705rpxrd 12118 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
171170adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
172 eqid 2799 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
17324, 109, 42, 120, 172, 17, 99nmoubi 28152 . . . . 5 ((𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
174117, 171, 173syl2anc 580 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
175169, 174mpbird 249 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
176175ralrimiva 3147 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
177 brralrspcev 4903 . 2 ((((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
1786, 176, 177syl2anc 580 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  {crab 3093  wss 3769   class class class wbr 4843  cmpt 4922  ccnv 5311  cima 5315  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  *cxr 10362  cle 10364   / cdiv 10976  cn 11312  +crp 12074  ∞Metcxmet 20053  Metcmet 20054  MetOpencmopn 20058  TopOnctopon 21043  Clsdccld 21149   Cn ccn 21357  CMetccmet 23380  NrmCVeccnv 27964   +𝑣 cpv 27965  BaseSetcba 27966   ·𝑠OLD cns 27967  𝑣 cnsb 27969  normCVcnmcv 27970  IndMetcims 27971   LnOp clno 28120   normOpOLD cnmoo 28121   BLnOp cblo 28122  CBanccbn 28243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cld 21152  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-cmet 23383  df-grpo 27873  df-gid 27874  df-ginv 27875  df-gdiv 27876  df-ablo 27925  df-vc 27939  df-nv 27972  df-va 27975  df-ba 27976  df-sm 27977  df-0v 27978  df-vs 27979  df-nmcv 27980  df-ims 27981  df-lno 28124  df-nmoo 28125  df-blo 28126  df-0o 28127  df-cbn 28244
This theorem is referenced by:  ubthlem3  28253
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