Theorem ubthlem2 30557

Description: Lemma for ubth 30559. Given that there is a closed ball 𝐵(𝑃, 𝑅) in 𝐴‘𝐾, for any 𝑥 ∈ 𝐵(0, 1), we have 𝑃 + 𝑅 · 𝑥 ∈ 𝐵(𝑃, 𝑅) and 𝑃 ∈ 𝐵(𝑃, 𝑅), so both of these have norm(𝑡(𝑧)) ≤ 𝐾 and so norm(𝑡(𝑥 )) ≤ (norm(𝑡(𝑃)) + norm(𝑡(𝑃 + 𝑅 · 𝑥))) / 𝑅 ≤ ( 𝐾 + 𝐾) / 𝑅, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
ubthlem.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5	⊢ 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
ubthlem.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ 𝑐)
ubthlem.9	⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
ubthlem.10	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
ubthlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
ubthlem.12	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
ubthlem.13	⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
ubthlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑐,𝑥,𝑧,𝐴   𝑡,𝑐,𝐷,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝐽,𝑡,𝑥   𝑘,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧,𝐾   𝑐,𝑑,𝑁,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝑃,𝑧   𝜑,𝑐,𝑘,𝑡,𝑥   𝑅,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑇,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑑)   𝐴(𝑡,𝑑)   𝐷(𝑑)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑘,𝑐)   𝑈(𝑘)   𝐽(𝑧,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑐)   𝑊(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ubthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ubthlem.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
3	2, 2	rpaddcld 13038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ+)
4		ubthlem.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
5	3, 4	rpdivcld 13040	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ+)
6	5	rpred 13023	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ)
7		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))))
8	7	breq1d 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅))
9		eleq1 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾)))
10	8, 9	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)) ↔ ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾))))
11		ubthlem.13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴‘𝐾))
12		rabss 4069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴‘𝐾) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)))
13	11, 12	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)))
14	13	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝐴‘𝐾)))
15		ubthlem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CBan
16		bnnv 30552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
19		ubthlem.11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
20	19	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
21	4	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
22	21	rpcnd 13025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℂ)
23		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
24		ubth.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
26	24, 25	nvscl 30312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
27	18, 22, 23, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
28		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
29	24, 28	nvgcl 30306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
30	18, 20, 27, 29	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
31	10, 14, 30	rspcdva 3613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾)))
32		ubthlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
33	24, 32	cbncms 30551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
35		cmetmet 25134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
36		metxmet 24160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
37	34, 35, 36	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
39		xmetsym 24173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
40	38, 20, 30, 39	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
41		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
42		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
43	24, 41, 42, 32	imsdval 30372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
44	18, 30, 20, 43	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
45	24, 28, 41	nvpncan2 30339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))
46	18, 20, 27, 45	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))
47	46	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))
48	40, 44, 47	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))
49	21	rprege0d 13030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
50	24, 25, 42	nvsge0 30350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
51	18, 49, 23, 50	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
52	48, 51	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) = (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)))
53	22	mulridd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
54	53	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 = (𝑅 · 1))
55	52, 54	breq12d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
56	24, 42	nvcl 30347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
57	17, 56	mpan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
59		1red 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
60	58, 59, 21	lemul2d 13067	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑅 · ((normCV‘𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
61	55, 60	bitr4d 282	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ ((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1))
62		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾))
63	62	ralbidv 3176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾))
64	63	rabbidv 3439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
65		ubthlem.9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝑘})
66	24	fvexi 6905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 ∈ V
67	66	rabex 5332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾} ∈ V
68	64, 65, 67	fvmpt 6998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐴‘𝐾) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
69	1, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐾) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
70	69	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾}))
71		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))))
72	71	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
73	72	ralbidv 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
74	73	elrab 3683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
75	70, 74	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
76	75	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴‘𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
77	31, 61, 76	3imtr3d 293	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
78		rsp 3243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑡 ∈ 𝑇 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
79	78	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
80	79	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
81		xmet0 24168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
82	37, 19, 81	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
83	4	rpge0d 13027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
84	82, 83	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
85		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑃))
86	85	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
87	86	elrab 3683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
88	19, 84, 87	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅})
89	11, 88	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (𝐴‘𝐾))
90	89, 69	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾})
91		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘𝑃)))
92	91	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
93	92	ralbidv 3176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑃 → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
94	93	elrab 3683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
95	90, 94	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾))
96	95	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾)
97	96	r19.21bi 3247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾)
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾)
99		ubthlem.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
100		ubthlem.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
101	100	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
102		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
103		ubthlem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
104		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))
105		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
106	32, 102, 103, 104, 105, 17, 99	blocn2 30494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))))
107	103	mopntopon 24265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
108	37, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)
109		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
110	109, 102	imsxmet 30378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
111	104	mopntopon 24265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
112	99, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
113		iscncl 23093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))))
114	108, 112, 113	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
115	106, 114	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
116	101, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(◡𝑡 “ 𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
117	116	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
119	118, 30	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊))
120		ubth.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑊)
121	109, 120	nvcl 30347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
122	99, 119, 121	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
123	118, 20	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
124	109, 120	nvcl 30347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ∈ ℝ)
125	99, 123, 124	sylancr 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ∈ ℝ)
126	1	nnred 12234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
127	126	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ)
128		le2add 11703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
129	122, 125, 127, 127, 128	syl22anc 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡‘𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
130	98, 129	mpan2d 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
131	46	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))
132	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
133		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
134	133, 105	bloln 30470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
135	17, 99, 134	mp3an12 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
136	101, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
137	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
138		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
139	24, 41, 138, 133	lnosub 30445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃)))
140	18, 132, 137, 30, 20, 139	syl32anc 1377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃)))
141		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
142	24, 25, 141, 133	lnomul 30446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥)))
143	18, 132, 137, 22, 23, 142	syl32anc 1377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥)))
144	131, 140, 143	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃)) = (𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥)))
145	144	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) = (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥))))
146	117	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
147	109, 141, 120	nvsge0 30350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))))
148	132, 49, 146, 147	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑡‘𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))))
149	145, 148	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))))
150	109, 138, 120	nvmtri 30357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑡‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))))
151	132, 119, 123, 150	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))( −𝑣 ‘𝑊)(𝑡‘𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))))
152	149, 151	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))))
153	21	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
154	109, 120	nvcl 30347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
155	99, 146, 154	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ∈ ℝ)
156	153, 155	remulcld 11251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ∈ ℝ)
157	122, 125	readdcld 11250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∈ ℝ)
158	3	rpred 13023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
159	158	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
160		letr 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
161	156, 157, 159, 160	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
162	152, 161	mpand 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡‘𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
163	130, 162	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
164	155, 159, 21	lemuldiv2d 13073	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑅 · (𝑁‘(𝑡‘𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
165	163, 164	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
166	80, 165	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
167	166	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣 ‘𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾) → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
168	77, 167	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
169	168	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
170	5	rpxrd 13024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
171	170	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
172		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
173	24, 109, 42, 120, 172, 17, 99	nmoubi 30458	. . . . 5 ⊢ ((𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
174	117, 171, 173	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡‘𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
175	169, 174	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
176	175	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
177		brralrspcev 5208	. 2 ⊢ ((((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
178	6, 176, 177	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ 𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  ℝ^*cxr 11254   ≤ cle 11256   / cdiv 11878  ℕcn 12219  ℝ⁺crp 12981  ∞Metcxmet 21218  Metcmet 21219  MetOpencmopn 21223  TopOnctopon 22732  Clsdccld 22840   Cn ccn 23048  CMetccmet 25102  NrmCVeccnv 30270   +_𝑣 cpv 30271  BaseSetcba 30272   ·_𝑠OLD cns 30273   −_𝑣 cnsb 30275  norm_CVcnmcv 30276  IndMetcims 30277   LnOp clno 30426   normOp_OLD cnmoo 30427   BLnOp cblo 30428  CBanccbn 30548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-cld 22843  df-cn 23051  df-cnp 23052  df-cmet 25105  df-grpo 30179  df-gid 30180  df-ginv 30181  df-gdiv 30182  df-ablo 30231  df-vc 30245  df-nv 30278  df-va 30281  df-ba 30282  df-sm 30283  df-0v 30284  df-vs 30285  df-nmcv 30286  df-ims 30287  df-lno 30430  df-nmoo 30431  df-blo 30432  df-0o 30433  df-cbn 30549

This theorem is referenced by:  ubthlem3  30558