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Theorem ubthlem2 29813
Description: Lemma for ubth 29815. Given that there is a closed ball 𝐵(𝑃, 𝑅) in 𝐴𝐾, for any 𝑥𝐵(0, 1), we have 𝑃 + 𝑅 · 𝑥𝐵(𝑃, 𝑅) and 𝑃𝐵(𝑃, 𝑅), so both of these have norm(𝑡(𝑧)) ≤ 𝐾 and so norm(𝑡(𝑥 )) ≤ (norm(𝑡(𝑃)) + norm(𝑡(𝑃 + 𝑅 · 𝑥))) / 𝑅 ≤ ( 𝐾 + 𝐾) / 𝑅, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2 𝑁 = (normCV𝑊)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
ubthlem.8 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
ubthlem.9 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
ubthlem.10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
ubthlem.11 (𝜑𝑃𝑋)
ubthlem.12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ubthlem.13 (𝜑 → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾))
Assertion
Ref Expression
ubthlem2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑐,𝑥,𝑧,𝐴   𝑡,𝑐,𝐷,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝐽,𝑡,𝑥   𝑘,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧,𝐾   𝑐,𝑑,𝑁,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝑃,𝑧   𝜑,𝑐,𝑘,𝑡,𝑥   𝑅,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑇,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑑)   𝐴(𝑡,𝑑)   𝐷(𝑑)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑘,𝑐)   𝑈(𝑘)   𝐽(𝑧,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑐)   𝑊(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
21nnrpd 12955 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
32, 2rpaddcld 12972 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ+)
4 ubthlem.12 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
53, 4rpdivcld 12974 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ+)
65rpred 12957 . 2 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ)
7 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))))
87breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅))
9 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐴𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾)))
108, 9imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)) ↔ ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾))))
11 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾))
12 rabss 4029 . . . . . . . . . 10 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
1311, 12sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
1413ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
15 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CBan
16 bnnv 29808 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
19 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑋)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃𝑋)
214ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2221rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℂ)
23 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 ubth.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
2624, 25nvscl 29568 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
2718, 22, 23, 26syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
28 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2924, 28nvgcl 29562 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
3018, 20, 27, 29syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
3110, 14, 30rspcdva 3582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾)))
32 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
3324, 32cbncms 29807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
35 cmetmet 24650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
36 metxmet 23687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
39 xmetsym 23700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
4038, 20, 30, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4324, 41, 42, 32imsdval 29628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)))
4418, 30, 20, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)))
4524, 28, 41nvpncan2 29595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))
4618, 20, 27, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))
4746fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
4840, 44, 473eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
4921rprege0d 12964 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
5024, 25, 42nvsge0 29606 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5118, 49, 23, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5248, 51eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5322mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
5453eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 = (𝑅 · 1))
5552, 54breq12d 5118 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
5624, 42nvcl 29603 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5717, 56mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
59 1red 11156 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
6058, 59, 21lemul2d 13001 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
6155, 60bitr4d 281 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ ((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1))
62 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾))
6362ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾))
6463rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐾 → {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
65 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
6624fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ V
6766rabex 5289 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ∈ V
6864, 65, 67fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐴𝐾) = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
691, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐾) = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
7069eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾}))
71 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))))
7271breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7372ralbidv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7473elrab 3645 . . . . . . . . 9 ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7570, 74bitrdi 286 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
7675ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
7731, 61, 763imtr3d 292 . . . . . 6 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
78 rsp 3230 . . . . . . . . . 10 (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑡𝑇 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7978com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
8079ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
81 xmet0 23695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
8237, 19, 81sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
834rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
8482, 83eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
85 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑃 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑃))
8685breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
8786elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
8819, 84, 87sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅})
8911, 88sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ (𝐴𝐾))
9089, 69eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
91 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑃 → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡𝑃)))
9291breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9392ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑃 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9493elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9590, 94sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9695simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
9796r19.21bi 3234 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
9897adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
99 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ∈ NrmCVec
100 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
101100sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
102 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
103 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
104 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))
105 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10632, 102, 103, 104, 105, 17, 99blocn2 29750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))))
107103mopntopon 23792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10837, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)
109 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
110109, 102imsxmet 29634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
111104mopntopon 23792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
11299, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
113 iscncl 22620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))))
114108, 112, 113mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
115106, 114sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
116101, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
117116simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
119118, 30ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊))
120 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (normCV𝑊)
121109, 120nvcl 29603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
12299, 119, 121sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
123118, 20ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
124109, 120nvcl 29603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ)
12599, 123, 124sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ)
1261nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
127126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ)
128 le2add 11637 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
129122, 125, 127, 127, 128syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
13098, 129mpan2d 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
13146fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
13299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
133 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
134133, 105bloln 29726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
13517, 99, 134mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
136101, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
137136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
138 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
13924, 41, 138, 133lnosub 29701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋𝑃𝑋)) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)))
14018, 132, 137, 30, 20, 139syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)))
141 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
14224, 25, 141, 133lnomul 29702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
14318, 132, 137, 22, 23, 142syl32anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
144131, 140, 1433eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
145144fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) = (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))))
146117ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
147109, 141, 120nvsge0 29606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
148132, 49, 146, 147syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
149145, 148eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
150109, 138, 120nvmtri 29613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
151132, 119, 123, 150syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
152149, 151eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
15321rpred 12957 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
154109, 120nvcl 29603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
15599, 146, 154sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
156153, 155remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ∈ ℝ)
157122, 125readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∈ ℝ)
1583rpred 12957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
159158ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
160 letr 11249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
161156, 157, 159, 160syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
162152, 161mpand 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
163130, 162syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
164155, 159, 21lemuldiv2d 13007 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
165163, 164sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
16680, 165syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
167166adantld 491 . . . . . 6 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
16877, 167syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
169168ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
1705rpxrd 12958 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
171170adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
172 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
17324, 109, 42, 120, 172, 17, 99nmoubi 29714 . . . . 5 ((𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
174117, 171, 173syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
175169, 174mpbird 256 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
176175ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
177 brralrspcev 5165 . 2 ((((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
1786, 176, 177syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786  TopOnctopon 22259  Clsdccld 22367   Cn ccn 22575  CMetccmet 24618  NrmCVeccnv 29526   +𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  𝑣 cnsb 29531  normCVcnmcv 29532  IndMetcims 29533   LnOp clno 29682   normOpOLD cnmoo 29683   BLnOp cblo 29684  CBanccbn 29804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-lno 29686  df-nmoo 29687  df-blo 29688  df-0o 29689  df-cbn 29805
This theorem is referenced by:  ubthlem3  29814
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