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Theorem ubthlem2 30890
Description: Lemma for ubth 30892. Given that there is a closed ball 𝐵(𝑃, 𝑅) in 𝐴𝐾, for any 𝑥𝐵(0, 1), we have 𝑃 + 𝑅 · 𝑥𝐵(𝑃, 𝑅) and 𝑃𝐵(𝑃, 𝑅), so both of these have norm(𝑡(𝑧)) ≤ 𝐾 and so norm(𝑡(𝑥 )) ≤ (norm(𝑡(𝑃)) + norm(𝑡(𝑃 + 𝑅 · 𝑥))) / 𝑅 ≤ ( 𝐾 + 𝐾) / 𝑅, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2 𝑁 = (normCV𝑊)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
ubthlem.8 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
ubthlem.9 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
ubthlem.10 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
ubthlem.11 (𝜑𝑃𝑋)
ubthlem.12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ubthlem.13 (𝜑 → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾))
Assertion
Ref Expression
ubthlem2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑐,𝑥,𝑧,𝐴   𝑡,𝑐,𝐷,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝐽,𝑡,𝑥   𝑘,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧,𝐾   𝑐,𝑑,𝑁,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝑃,𝑧   𝜑,𝑐,𝑘,𝑡,𝑥   𝑅,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑇,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑘,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑑)   𝐴(𝑡,𝑑)   𝐷(𝑑)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑅(𝑘,𝑐)   𝑈(𝑘)   𝐽(𝑧,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑐)   𝑊(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
21nnrpd 13075 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
32, 2rpaddcld 13092 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ+)
4 ubthlem.12 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
53, 4rpdivcld 13094 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ+)
65rpred 13077 . 2 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ)
7 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))))
87breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅))
9 eleq1 2829 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐴𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾)))
108, 9imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)) ↔ ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾))))
11 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾))
12 rabss 4072 . . . . . . . . . 10 ({𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝐴𝐾) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
1311, 12sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
1413ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅𝑧 ∈ (𝐴𝐾)))
15 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CBan
16 bnnv 30885 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
19 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑋)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑃𝑋)
214ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2221rpcnd 13079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℂ)
23 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 ubth.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
2624, 25nvscl 30645 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
2718, 22, 23, 26syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋)
28 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
2924, 28nvgcl 30639 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
3018, 20, 27, 29syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋)
3110, 14, 30rspcdva 3623 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 → (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾)))
32 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
3324, 32cbncms 30884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ CBan → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)
35 cmetmet 25320 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
36 metxmet 24344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
39 xmetsym 24357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
4038, 20, 30, 39syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃))
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
4324, 41, 42, 32imsdval 30705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)))
4418, 30, 20, 43syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))𝐷𝑃) = ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)))
4524, 28, 41nvpncan2 30672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))
4618, 20, 27, 45syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))
4746fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
4840, 44, 473eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
4921rprege0d 13084 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
5024, 25, 42nvsge0 30683 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5118, 49, 23, 50syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5248, 51eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) = (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
5322mulridd 11278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
5453eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 = (𝑅 · 1))
5552, 54breq12d 5156 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
5624, 42nvcl 30680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5717, 56mpan 690 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
59 1red 11262 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ)
6058, 59, 21lemul2d 13121 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑅 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑅 · 1)))
6155, 60bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃𝐷(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ≤ 𝑅 ↔ ((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1))
62 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾))
6362ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝐾 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾))
6463rabbidv 3444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝐾 → {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
65 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
6624fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ V
6766rabex 5339 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ∈ V
6864, 65, 67fvmpt 7016 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐴𝐾) = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
691, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐾) = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
7069eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾}))
71 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))))
7271breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7372ralbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7473elrab 3692 . . . . . . . . 9 ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7570, 74bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
7675ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ (𝐴𝐾) ↔ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
7731, 61, 763imtr3d 293 . . . . . 6 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾)))
78 rsp 3247 . . . . . . . . . 10 (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑡𝑇 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
7978com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑡𝑇 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
8079ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾))
81 xmet0 24352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
8237, 19, 81sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) = 0)
834rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
8482, 83eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
85 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑃 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑃))
8685breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
8786elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
8819, 84, 87sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅})
8911, 88sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ (𝐴𝐾))
9089, 69eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾})
91 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑃 → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡𝑃)))
9291breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9392ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑃 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9493elrab 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝐾} ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9590, 94sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾))
9695simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
9796r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
9897adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾)
99 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ∈ NrmCVec
100 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
101100sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
102 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
103 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
104 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))
105 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10632, 102, 103, 104, 105, 17, 99blocn2 30827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))))
107103mopntopon 24449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
10837, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)
109 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
110109, 102imsxmet 30711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ NrmCVec → (IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
111104mopntopon 24449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((IndMet‘𝑊) ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)) → (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊)))
11299, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))
113 iscncl 23277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (MetOpen‘(IndMet‘𝑊)) ∈ (TopOn‘(BaseSet‘𝑊))) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽))))
114108, 112, 113mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn (MetOpen‘(IndMet‘𝑊))) ↔ (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
115106, 114sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
116101, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘(MetOpen‘(IndMet‘𝑊)))(𝑡𝑥) ∈ (Clsd‘𝐽)))
117116simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
119118, 30ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊))
120 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (normCV𝑊)
121109, 120nvcl 30680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
12299, 119, 121sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ)
123118, 20ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
124109, 120nvcl 30680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ)
12599, 123, 124sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ)
1261nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
127126ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ)
128 le2add 11745 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ∈ ℝ ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ)) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
129122, 125, 127, 127, 128syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 ∧ (𝑁‘(𝑡𝑃)) ≤ 𝐾) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
13098, 129mpan2d 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
13146fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))
13299a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
133 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
134133, 105bloln 30803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
13517, 99, 134mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
136101, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
137136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
138 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( −𝑣𝑊) = ( −𝑣𝑊)
13924, 41, 138, 133lnosub 30778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ ((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋𝑃𝑋)) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)))
14018, 132, 137, 30, 20, 139syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))( −𝑣𝑈)𝑃)) = ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)))
141 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
14224, 25, 141, 133lnomul 30779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋)) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
14318, 132, 137, 22, 23, 142syl32anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
144131, 140, 1433eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃)) = (𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥)))
145144fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) = (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))))
146117ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
147109, 141, 120nvsge0 30683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
148132, 49, 146, 147syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑅( ·𝑠OLD𝑊)(𝑡𝑥))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
149145, 148eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) = (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))))
150109, 138, 120nvmtri 30690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥))) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑡𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
151132, 119, 123, 150syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘((𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))( −𝑣𝑊)(𝑡𝑃))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
152149, 151eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))))
15321rpred 13077 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ)
154109, 120nvcl 30680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
15599, 146, 154sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
156153, 155remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ∈ ℝ)
157122, 125readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∈ ℝ)
1583rpred 13077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
159158ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ)
160 letr 11355 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 + 𝐾) ∈ ℝ) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
161156, 157, 159, 160syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ∧ ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾)) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
162152, 161mpand 695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) + (𝑁‘(𝑡𝑃))) ≤ (𝐾 + 𝐾) → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
163130, 162syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾)))
164155, 159, 21lemuldiv2d 13127 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑅 · (𝑁‘(𝑡𝑥))) ≤ (𝐾 + 𝐾) ↔ (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
165163, 164sylibd 239 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
16680, 165syld 47 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
167166adantld 490 . . . . . 6 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡‘(𝑃( +𝑣𝑈)(𝑅( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)))) ≤ 𝐾) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
16877, 167syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑡𝑇) ∧ 𝑥𝑋) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
169168ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)))
1705rpxrd 13078 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
171170adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*)
172 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
17324, 109, 42, 120, 172, 17, 99nmoubi 30791 . . . . 5 ((𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ*) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
174117, 171, 173syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑥) ≤ 1 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))))
175169, 174mpbird 257 . . 3 ((𝜑𝑡𝑇) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
176175ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅))
177 brralrspcev 5203 . 2 ((((𝐾 + 𝐾) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ ((𝐾 + 𝐾) / 𝑅)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
1786, 176, 177syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  MetOpencmopn 21354  TopOnctopon 22916  Clsdccld 23024   Cn ccn 23232  CMetccmet 25288  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608  normCVcnmcv 30609  IndMetcims 30610   LnOp clno 30759   normOpOLD cnmoo 30760   BLnOp cblo 30761  CBanccbn 30881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-lno 30763  df-nmoo 30764  df-blo 30765  df-0o 30766  df-cbn 30882
This theorem is referenced by:  ubthlem3  30891
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