Theorem brxrncnvep 38420

Description: The range product with converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brxrncnvep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))

Proof of Theorem brxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brxrn 38417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶)))
2		brcnvep 38312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
3	2	anbi1cd 635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))
5	1, 4	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089   E cep 5513  ^◡ccnv 5613   ⋉ cxrn 38224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-eprel 5514  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fo 6487  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-xrn 38414

This theorem is referenced by: (None)