Theorem brxrncnvep 38886

Description: The range product with converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brxrncnvep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))

Proof of Theorem brxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brxrn 38883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶)))
2		brcnvep 38770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
3	2	anbi1cd 644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))
4	3	3ad2ant1 1147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))
5	1, 4	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   E cep 5547  ^◡ccnv 5647   ⋉ cxrn 38674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-eprel 5548  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-fo 6528  df-fv 6530  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-xrn 38880

This theorem is referenced by: (None)