Theorem brxrncnvep 38349

Description: The range product with converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Jun-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
brxrncnvep	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))

Proof of Theorem brxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brxrn 38346	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶)))
2		brcnvep 38244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
3	2	anbi1cd 635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴◡ E 𝐶) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))
5	1, 4	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝑅 ⋉ ◡ E )⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   E cep 5518  ^◡ccnv 5618   ⋉ cxrn 38158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-eprel 5519  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fo 6488  df-fv 6490  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-xrn 38343

This theorem is referenced by: (None)