Theorem dmxrn 38406

Description: Domain of the range product. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrn	⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

Proof of Theorem dmxrn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistrv 1956	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦) ↔ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦))
2	1	abbii 2798	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
3		dfxrn2 38404	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⋉ 𝑆) = ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
4	3	dmeqi 5839	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
5		df-rn 5622	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
6		rnoprab 7446	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
7	4, 5, 6	3eqtr2i 2760	. . 3 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
8		inab 4254	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}) = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
9	2, 7, 8	3eqtr4i 2764	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
10		df-dm 5621	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥}
11		df-dm 5621	. . 3 ⊢ dom 𝑆 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}
12	10, 11	ineq12i 4163	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
13	9, 12	eqtr4i 2757	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780  {cab 2709   ∩ cin 3896   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5610  dom cdm 5611  ran crn 5612  {coprab 7342   ⋉ cxrn 38214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fo 6482  df-fv 6484  df-oprab 7345  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-xrn 38399

This theorem is referenced by:  dmxrncnvep  38408