Theorem dmxrn 39135

Description: Domain of the range product. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrn	⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

Proof of Theorem dmxrn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistrv 1988	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦) ↔ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦))
2	1	abbii 2827	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
3		dfxrn2 39133	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⋉ 𝑆) = ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
4	3	dmeqi 5888	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
5		df-rn 5666	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
6		rnoprab 7518	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
7	4, 5, 6	3eqtr2i 2789	. . 3 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
8		inab 4255	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}) = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
9	2, 7, 8	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
10		df-dm 5665	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥}
11		df-dm 5665	. . 3 ⊢ dom 𝑆 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}
12	10, 11	ineq12i 4164	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
13	9, 12	eqtr4i 2786	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  {cab 2738   ∩ cin 3898   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656  {coprab 7414   ⋉ cxrn 38922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-oprab 7417  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-xrn 39128

This theorem is used by:  dmxrncnvep  39137