Theorem dmxrn 39426

Description: Domain of the range product. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrn	⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

Proof of Theorem dmxrn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistrv 1987	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦) ↔ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦))
2	1	abbii 2827	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
3		dfxrn2 39424	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⋉ 𝑆) = ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
4	3	dmeqi 5886	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
5		df-rn 5661	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
6		rnoprab 7527	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
7	4, 5, 6	3eqtr2i 2789	. . 3 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
8		inab 4253	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}) = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
9	2, 7, 8	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
10		df-dm 5660	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥}
11		df-dm 5660	. . 3 ⊢ dom 𝑆 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}
12	10, 11	ineq12i 4114	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
13	9, 12	eqtr4i 2786	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811  {cab 2738   ∩ cin 4088   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651  {coprab 7423   ⋉ cxrn 39213

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fo 6547  df-fv 6549  df-oprab 7426  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-xrn 39419

This theorem is used by:  dmxrncnvep  39428