Theorem dmxrn 38360

Description: Domain of the range product. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrn	⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

Proof of Theorem dmxrn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistrv 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦) ↔ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦))
2	1	abbii 2796	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
3		dfxrn2 38358	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⋉ 𝑆) = ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
4	3	dmeqi 5868	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
5		df-rn 5649	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
6		rnoprab 7494	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
7	4, 5, 6	3eqtr2i 2758	. . 3 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
8		inab 4272	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}) = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
9	2, 7, 8	3eqtr4i 2762	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
10		df-dm 5648	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥}
11		df-dm 5648	. . 3 ⊢ dom 𝑆 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}
12	10, 11	ineq12i 4181	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
13	9, 12	eqtr4i 2755	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779  {cab 2707   ∩ cin 3913   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639  {coprab 7388   ⋉ cxrn 38168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fo 6517  df-fv 6519  df-oprab 7391  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-xrn 38353

This theorem is referenced by:  dmxrncnvep  38362