Theorem dmxrn 39094

Description: Domain of the range product. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrn	⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

Proof of Theorem dmxrn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exdistrv 1988	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦) ↔ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦))
2	1	abbii 2832	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
3		dfxrn2 39092	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⋉ 𝑆) = ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
4	3	dmeqi 5896	. . . 4 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
5		df-rn 5674	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = dom ◡{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
6		rnoprab 7524	. . . 4 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
7	4, 5, 6	3eqtr2i 2794	. . 3 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧𝑅𝑥 ∧ 𝑧𝑆𝑦)}
8		inab 4262	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}) = {𝑧 ∣ (∃𝑥 𝑧𝑅𝑥 ∧ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦)}
9	2, 7, 8	3eqtr4i 2798	. 2 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
10		df-dm 5673	. . 3 ⊢ dom 𝑅 = {𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥}
11		df-dm 5673	. . 3 ⊢ dom 𝑆 = {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦}
12	10, 11	ineq12i 4171	. 2 ⊢ (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆) = ({𝑧 ∣ ∃𝑥 𝑧𝑅𝑥} ∩ {𝑧 ∣ ∃𝑦 𝑧𝑆𝑦})
13	9, 12	eqtr4i 2791	1 ⊢ dom (𝑅 ⋉ 𝑆) = (dom 𝑅 ∩ dom 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812  {cab 2743   ∩ cin 3905   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664  {coprab 7420   ⋉ cxrn 38881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548  df-oprab 7423  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-xrn 39087

This theorem is used by:  dmxrncnvep  39096