Theorem cnvintabd 42809

Description: Value of the converse of the intersection of a nonempty class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvintabd.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
cnvintabd	⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvintabd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvintabd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
2		pm5.5 361	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
4	3	bicomd 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V))))
5	4	anbi1d 629	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
6		elcnvintab 42808	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
7		vex 3470	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	cnvex 7909	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ∈ V
9		relcnv 6093	. . . . . 6 ⊢ Rel ◡𝑥
10		df-rel 5673	. . . . . 6 ⊢ (Rel ◡𝑥 ↔ ◡𝑥 ⊆ (V × V))
11	9, 10	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ⊆ (V × V)
12	8, 11	elmapintrab 42782	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
13	12	elv 3472	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
14	5, 6, 13	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ 𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)}))
15	14	eqrdv 2722	1 ⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2701  {crab 3424  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  𝒫 cpw 4594  ∩ cint 4940   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  Rel wrel 5671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-1st 7968  df-2nd 7969

This theorem is referenced by:  clcnvlem  42829