Theorem cnvintabd 43596

Description: Value of the converse of the intersection of a nonempty class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvintabd.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
cnvintabd	⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvintabd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvintabd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
2		pm5.5 361	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
4	3	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V))))
5	4	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
6		elcnvintab 43595	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
7		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	cnvex 7858	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ∈ V
9		relcnv 6055	. . . . . 6 ⊢ Rel ◡𝑥
10		df-rel 5626	. . . . . 6 ⊢ (Rel ◡𝑥 ↔ ◡𝑥 ⊆ (V × V))
11	9, 10	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ⊆ (V × V)
12	8, 11	elmapintrab 43569	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
13	12	elv 3441	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
14	5, 6, 13	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ 𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)}))
15	14	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  {crab 3394  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  ∩ cint 4896   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  Rel wrel 5624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-1st 7924  df-2nd 7925

This theorem is referenced by:  clcnvlem  43616