Theorem cnvintabd 43695

Description: Value of the converse of the intersection of a nonempty class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvintabd.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
cnvintabd	⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvintabd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvintabd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
2		pm5.5 361	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
4	3	bicomd 223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V))))
5	4	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
6		elcnvintab 43694	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
7		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	cnvex 7855	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ∈ V
9		relcnv 6052	. . . . . 6 ⊢ Rel ◡𝑥
10		df-rel 5621	. . . . . 6 ⊢ (Rel ◡𝑥 ↔ ◡𝑥 ⊆ (V × V))
11	9, 10	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ⊆ (V × V)
12	8, 11	elmapintrab 43668	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
13	12	elv 3441	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
14	5, 6, 13	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ 𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)}))
15	14	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  {cab 2709  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ∩ cint 4895   × cxp 5612  ^◡ccnv 5613  Rel wrel 5619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-1st 7921  df-2nd 7922

This theorem is referenced by:  clcnvlem  43715