Theorem cnvintabd 44357

Description: Value of the converse of the intersection of a nonempty class. (Contributed by RP, 20-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvintabd.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)

Assertion

Ref	Expression
cnvintabd	⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

Distinct variable groups:   𝜓,𝑤   𝑥,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑤)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem cnvintabd

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvintabd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥𝜓)
2		pm5.5 364	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥𝜓 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ↔ 𝑦 ∈ (V × V)))
4	3	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (V × V) ↔ (∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V))))
5	4	anbi1d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
6		elcnvintab 44356	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ (𝑦 ∈ (V × V) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
7		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	cnvex 7920	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ∈ V
9		relcnv 6105	. . . . . 6 ⊢ Rel ◡𝑥
10		df-rel 5667	. . . . . 6 ⊢ (Rel ◡𝑥 ↔ ◡𝑥 ⊆ (V × V))
11	9, 10	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ◡𝑥 ⊆ (V × V)
12	8, 11	elmapintrab 44330	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥))))
13	12	elv 3459	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)} ↔ ((∃𝑥𝜓 → 𝑦 ∈ (V × V)) ∧ ∀𝑥(𝜓 → 𝑦 ∈ ◡𝑥)))
14	5, 6, 13	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ 𝑦 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)}))
15	14	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝜑 → ◡∩ {𝑥 ∣ 𝜓} = ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 (V × V) ∣ ∃𝑥(𝑤 = ◡𝑥 ∧ 𝜓)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  {cab 2740  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∩ cint 4911   × cxp 5658  ^◡ccnv 5659  Rel wrel 5665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-1st 7984  df-2nd 7985

This theorem is used by:  clcnvlem  44377