Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphipval2 23954
 Description: Value of the inner product expressed by the norm defined by it. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p + = (+g𝑊)
cphipfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphipfval.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i , = (·𝑖𝑊)
cphipval2.m = (-g𝑊)
cphipval2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphipval2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem cphipval2
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
213ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 23887 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
43adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 23314 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
7 cphipfval.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑊)
8 cphipfval.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑊)
97, 8grpcl 18190 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
106, 9syl3an1 1160 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
11 cphipfval.i . . . . . . . . 9 , = (·𝑖𝑊)
12 cphipfval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (norm‘𝑊)
137, 11, 12nmsq 23908 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
142, 10, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
15 simp2 1134 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
16 simp3 1135 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
1711, 7, 8, 2, 15, 16, 15, 16cph2di 23921 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
1814, 17eqtrd 2793 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
19 cphipval2.m . . . . . . . . . 10 = (-g𝑊)
207, 19grpsubcl 18259 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
216, 20syl3an1 1160 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
227, 11, 12nmsq 23908 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
232, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
2411, 7, 19, 2, 15, 16, 15, 16cph2subdi 23924 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
2523, 24eqtrd 2793 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
2618, 25oveq12d 7174 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) − (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
277, 11reipcl 23911 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)
2827adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 10720 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
30293adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
317, 11reipcl 23911 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
3231adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
3332recnd 10720 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
34333adant2 1128 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
3530, 34addcld 10711 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
367, 11cphipcl 23905 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
371, 36syl3an1 1160 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
387, 11cphipcl 23905 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 , 𝐴) ∈ ℂ)
391, 38syl3an1 1160 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 , 𝐴) ∈ ℂ)
40393com23 1123 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵 , 𝐴) ∈ ℂ)
4137, 40addcld 10711 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
4235, 41, 41pnncand 11087 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) − (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
4326, 42eqtrd 2793 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
4463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
45 cphlmod 23888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
48 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → i ∈ 𝐾)
49 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
50 cphipval2.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
51 cphipfval.s . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑊)
52 cphipval2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐹)
537, 50, 51, 52lmodvscl 19732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
5447, 48, 49, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
55543adant2 1128 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
567, 8grpcl 18190 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
5744, 15, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
587, 11, 12nmsq 23908 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
592, 57, 58syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
6011, 7, 8, 2, 15, 55, 15, 55cph2di 23921 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))))
6159, 60eqtrd 2793 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))))
627, 19grpsubcl 18259 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
6344, 15, 55, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
647, 11, 12nmsq 23908 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 (i · 𝐵)) , (𝐴 (i · 𝐵))))
652, 63, 64syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 (i · 𝐵)) , (𝐴 (i · 𝐵))))
6611, 7, 19, 2, 15, 55, 15, 55cph2subdi 23924 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 (i · 𝐵)) , (𝐴 (i · 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) − ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))))
6765, 66eqtrd 2793 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) − ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))))
6861, 67oveq12d 7174 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)) = ((((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))) − (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) − ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)))))
6968oveq2d 7172 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) = (i · ((((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))) − (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) − ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))))))
707, 11cphipcl 23905 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → ((i · 𝐵) , (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
712, 55, 55, 70syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · 𝐵) , (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
7230, 71addcld 10711 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
737, 11cphipcl 23905 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 , (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
742, 15, 55, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
757, 11cphipcl 23905 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((i · 𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
762, 55, 15, 75syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · 𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
7774, 76addcld 10711 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)) ∈ ℂ)
7872, 77, 77pnncand 11087 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))) − (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) − ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)))) = (((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))))
7978oveq2d 7172 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))) − (((𝐴 , 𝐴) + ((i · 𝐵) , (i · 𝐵))) − ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))))) = (i · (((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)))))
807, 51, 11, 50, 52cphassir 23929 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , (i · 𝐵)) = (-i · (𝐴 , 𝐵)))
817, 51, 11, 50, 52cphassi 23928 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · 𝐵) , 𝐴) = (i · (𝐵 , 𝐴)))
8280, 81oveq12d 7174 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)) = ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))))
8382, 82oveq12d 7174 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴))) = (((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))) + ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴)))))
8483oveq2d 7172 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)))) = (i · (((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))) + ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))))))
85 ax-icn 10647 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
8685a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ ℂ)
87 negicn 10938 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -i ∈ ℂ)
8988, 37mulcld 10712 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · (𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
9086, 40mulcld 10712 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
9189, 90addcld 10711 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))) ∈ ℂ)
9286, 91, 91adddid 10716 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))) + ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))))) = ((i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴)))) + (i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))))))
9386, 89, 90adddid 10716 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴)))) = ((i · (-i · (𝐴 , 𝐵))) + (i · (i · (𝐵 , 𝐴)))))
9485, 85mulneg2i 11138 . . . . . . . . . . . . 13 (i · -i) = -(i · i)
95 ixi 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) = -1
9695negeqi 10930 . . . . . . . . . . . . 13 -(i · i) = --1
97 negneg1e1 11805 . . . . . . . . . . . . 13 --1 = 1
9894, 96, 973eqtri 2785 . . . . . . . . . . . 12 (i · -i) = 1
9998oveq1i 7166 . . . . . . . . . . 11 ((i · -i) · (𝐴 , 𝐵)) = (1 · (𝐴 , 𝐵))
10086, 88, 37mulassd 10715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · -i) · (𝐴 , 𝐵)) = (i · (-i · (𝐴 , 𝐵))))
10199, 100syl5reqr 2808 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (-i · (𝐴 , 𝐵))) = (1 · (𝐴 , 𝐵)))
10295oveq1i 7166 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · (𝐵 , 𝐴)) = (-1 · (𝐵 , 𝐴))
10386, 86, 40mulassd 10715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · i) · (𝐵 , 𝐴)) = (i · (i · (𝐵 , 𝐴))))
104102, 103syl5reqr 2808 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (i · (𝐵 , 𝐴))) = (-1 · (𝐵 , 𝐴)))
105101, 104oveq12d 7174 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (-i · (𝐴 , 𝐵))) + (i · (i · (𝐵 , 𝐴)))) = ((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))))
10693, 105eqtrd 2793 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴)))) = ((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))))
107106, 106oveq12d 7174 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴)))) + (i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))))) = (((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))) + ((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴)))))
10837mulid2d 10710 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · (𝐴 , 𝐵)) = (𝐴 , 𝐵))
109108oveq1d 7171 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))))
110 addneg1mul 11133 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐴 , 𝐵) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))
11137, 40, 110syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , 𝐵) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))
112109, 111eqtrd 2793 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))
113112, 112oveq12d 7174 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴))) + ((1 · (𝐴 , 𝐵)) + (-1 · (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴))))
114107, 113eqtrd 2793 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴)))) + (i · ((-i · (𝐴 , 𝐵)) + (i · (𝐵 , 𝐴))))) = (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴))))
11584, 92, 1143eqtrd 2797 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i · 𝐵)) + ((i · 𝐵) , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴))))
11669, 79, 1153eqtrd 2797 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) = (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴))))
11743, 116oveq12d 7174 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))))
118117oveq1d 7171 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))) / 4))
11937, 40subcld 11048 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
12041, 41, 119, 119add4d 10919 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))) = ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))))
12137, 40, 37ppncand 11088 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)))
122121, 121oveq12d 7174 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵))))
123120, 122eqtrd 2793 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵))))
124123oveq1d 7171 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐵) − (𝐵 , 𝐴)))) / 4) = ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵))) / 4))
125372timesd 11930 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 · (𝐴 , 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)))
126125eqcomd 2764 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) = (2 · (𝐴 , 𝐵)))
127126, 126oveq12d 7174 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵))) = ((2 · (𝐴 , 𝐵)) + (2 · (𝐴 , 𝐵))))
128 2cnd 11765 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 2 ∈ ℂ)
129128, 128, 37adddird 10717 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((2 + 2) · (𝐴 , 𝐵)) = ((2 · (𝐴 , 𝐵)) + (2 · (𝐴 , 𝐵))))
130 2p2e4 11822 . . . . . . 7 (2 + 2) = 4
131130a1i 11 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 + 2) = 4)
132131oveq1d 7171 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((2 + 2) · (𝐴 , 𝐵)) = (4 · (𝐴 , 𝐵)))
133127, 129, 1323eqtr2d 2799 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵))) = (4 · (𝐴 , 𝐵)))
134133oveq1d 7171 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵))) / 4) = ((4 · (𝐴 , 𝐵)) / 4))
135 4cn 11772 . . . . 5 4 ∈ ℂ
136135a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 4 ∈ ℂ)
137 4ne0 11795 . . . . 5 4 ≠ 0
138137a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 4 ≠ 0)
13937, 136, 138divcan3d 11472 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((4 · (𝐴 , 𝐵)) / 4) = (𝐴 , 𝐵))
140134, 139eqtrd 2793 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐴 , 𝐵))) / 4) = (𝐴 , 𝐵))
141118, 124, 1403eqtrrd 2798 1 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589  ici 10590   + caddc 10591   · cmul 10593   − cmin 10921  -cneg 10922   / cdiv 11348  2c2 11742  4c4 11744  ↑cexp 13492  Basecbs 16554  +gcplusg 16636  Scalarcsca 16639   ·𝑠 cvsca 16640  ·𝑖cip 16641  Grpcgrp 18182  -gcsg 18184  LModclmod 19715  normcnm 23291  NrmGrpcngp 23292  ℂPreHilccph 23880 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-fz 12953  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-0g 16786  df-topgen 16788  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-rnghom 19551  df-drng 19585  df-subrg 19614  df-staf 19697  df-srng 19698  df-lmod 19717  df-lmhm 19875  df-lvec 19956  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-cnfld 20180  df-phl 20404  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-xms 23035  df-ms 23036  df-nm 23297  df-ngp 23298  df-nlm 23301  df-clm 23777  df-cph 23882 This theorem is referenced by:  4cphipval2  23955  cphipval  23956
 Copyright terms: Public domain W3C validator