MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphipval2 25090
Description: Value of the inner product expressed by the norm defined by it. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphipfval.p + = (+gβ€˜π‘Š)
cphipfval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
cphipfval.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
cphipfval.i , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipval2.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
cphipval2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphipval2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cphipval2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem cphipval2
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
213ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
3 cphngp 25022 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
43adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
5 ngpgrp 24429 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Grp)
7 cphipfval.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 cphipfval.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘Š)
97, 8grpcl 18860 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
106, 9syl3an1 1160 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
11 cphipfval.i . . . . . . . . 9 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
12 cphipfval.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
137, 11, 12nmsq 25043 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
142, 10, 13syl2anc 583 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
15 simp2 1134 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
16 simp3 1135 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
1711, 7, 8, 2, 15, 16, 15, 16cph2di 25056 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
1814, 17eqtrd 2764 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
19 cphipval2.m . . . . . . . . . 10 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
207, 19grpsubcl 18937 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
216, 20syl3an1 1160 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
227, 11, 12nmsq 25043 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
232, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
2411, 7, 19, 2, 15, 16, 15, 16cph2subdi 25059 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
2523, 24eqtrd 2764 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
2618, 25oveq12d 7419 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) βˆ’ (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))))
277, 11reipcl 25046 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)
2827adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ ℝ)
2928recnd 11238 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ β„‚)
30293adant3 1129 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ β„‚)
317, 11reipcl 25046 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ ℝ)
3231adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ ℝ)
3332recnd 11238 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚)
34333adant2 1128 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚)
3530, 34addcld 11229 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ β„‚)
367, 11cphipcl 25040 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
371, 36syl3an1 1160 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
387, 11cphipcl 25040 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ β„‚)
391, 38syl3an1 1160 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ β„‚)
40393com23 1123 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ β„‚)
4137, 40addcld 11229 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
4235, 41, 41pnncand 11606 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) βˆ’ (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
4326, 42eqtrd 2764 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
4463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ Grp)
45 cphlmod 25023 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
48 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ 𝐾)
49 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
50 cphipval2.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
51 cphipfval.s . . . . . . . . . . . . 13 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
52 cphipval2.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
537, 50, 51, 52lmodvscl 20713 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
5447, 48, 49, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
55543adant2 1128 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
567, 8grpcl 18860 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
5744, 15, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
587, 11, 12nmsq 25043 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) = ((𝐴 + (i Β· 𝐡)) , (𝐴 + (i Β· 𝐡))))
592, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) = ((𝐴 + (i Β· 𝐡)) , (𝐴 + (i Β· 𝐡))))
6011, 7, 8, 2, 15, 55, 15, 55cph2di 25056 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 + (i Β· 𝐡)) , (𝐴 + (i Β· 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))))
6159, 60eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))))
627, 19grpsubcl 18937 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
6344, 15, 55, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
647, 11, 12nmsq 25043 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2) = ((𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) , (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))))
652, 63, 64syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2) = ((𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) , (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))))
6611, 7, 19, 2, 15, 55, 15, 55cph2subdi 25059 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) , (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) βˆ’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))))
6765, 66eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2) = (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) βˆ’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))))
6861, 67oveq12d 7419 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)) = ((((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))) βˆ’ (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) βˆ’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)))))
6968oveq2d 7417 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2))) = (i Β· ((((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))) βˆ’ (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) βˆ’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))))))
707, 11cphipcl 25040 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
712, 55, 55, 70syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
7230, 71addcld 11229 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
737, 11cphipcl 25040 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , (i Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
742, 15, 55, 73syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , (i Β· 𝐡)) ∈ β„‚)
757, 11cphipcl 25040 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· 𝐡) , 𝐴) ∈ β„‚)
762, 55, 15, 75syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· 𝐡) , 𝐴) ∈ β„‚)
7774, 76addcld 11229 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)) ∈ β„‚)
7872, 77, 77pnncand 11606 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))) βˆ’ (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) βˆ’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)))) = (((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))))
7978oveq2d 7417 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))) βˆ’ (((𝐴 , 𝐴) + ((i Β· 𝐡) , (i Β· 𝐡))) βˆ’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))))) = (i Β· (((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)))))
807, 51, 11, 50, 52cphassir 25064 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , (i Β· 𝐡)) = (-i Β· (𝐴 , 𝐡)))
817, 51, 11, 50, 52cphassi 25063 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· 𝐡) , 𝐴) = (i Β· (𝐡 , 𝐴)))
8280, 81oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)) = ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))))
8382, 82oveq12d 7419 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴))) = (((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))) + ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴)))))
8483oveq2d 7417 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)))) = (i Β· (((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))) + ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))))))
85 ax-icn 11164 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
8685a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ β„‚)
87 negicn 11457 . . . . . . . . . 10 -i ∈ β„‚
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -i ∈ β„‚)
8988, 37mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-i Β· (𝐴 , 𝐡)) ∈ β„‚)
9086, 40mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
9189, 90addcld 11229 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))) ∈ β„‚)
9286, 91, 91adddid 11234 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))) + ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))))) = ((i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴)))) + (i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))))))
9386, 89, 90adddid 11234 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴)))) = ((i Β· (-i Β· (𝐴 , 𝐡))) + (i Β· (i Β· (𝐡 , 𝐴)))))
9486, 88, 37mulassd 11233 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· -i) Β· (𝐴 , 𝐡)) = (i Β· (-i Β· (𝐴 , 𝐡))))
9585, 85mulneg2i 11657 . . . . . . . . . . . . 13 (i Β· -i) = -(i Β· i)
96 ixi 11839 . . . . . . . . . . . . . 14 (i Β· i) = -1
9796negeqi 11449 . . . . . . . . . . . . 13 -(i Β· i) = --1
98 negneg1e1 12326 . . . . . . . . . . . . 13 --1 = 1
9995, 97, 983eqtri 2756 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· -i) = 1
10099oveq1i 7411 . . . . . . . . . . 11 ((i Β· -i) Β· (𝐴 , 𝐡)) = (1 Β· (𝐴 , 𝐡))
10194, 100eqtr3di 2779 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (-i Β· (𝐴 , 𝐡))) = (1 Β· (𝐴 , 𝐡)))
10286, 86, 40mulassd 11233 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· i) Β· (𝐡 , 𝐴)) = (i Β· (i Β· (𝐡 , 𝐴))))
10396oveq1i 7411 . . . . . . . . . . 11 ((i Β· i) Β· (𝐡 , 𝐴)) = (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))
104102, 103eqtr3di 2779 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (i Β· (𝐡 , 𝐴))) = (-1 Β· (𝐡 , 𝐴)))
105101, 104oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· (-i Β· (𝐴 , 𝐡))) + (i Β· (i Β· (𝐡 , 𝐴)))) = ((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))))
10693, 105eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴)))) = ((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))))
107106, 106oveq12d 7419 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴)))) + (i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))))) = (((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))) + ((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴)))))
10837mullidd 11228 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (1 Β· (𝐴 , 𝐡)) = (𝐴 , 𝐡))
109108oveq1d 7416 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))))
110 addneg1mul 11652 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚ ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))
11137, 40, 110syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))
112109, 111eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))
113112, 112oveq12d 7419 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴))) + ((1 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (-1 Β· (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴))))
114107, 113eqtrd 2764 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴)))) + (i Β· ((-i Β· (𝐴 , 𝐡)) + (i Β· (𝐡 , 𝐴))))) = (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴))))
11584, 92, 1143eqtrd 2768 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)) + ((𝐴 , (i Β· 𝐡)) + ((i Β· 𝐡) , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴))))
11669, 79, 1153eqtrd 2768 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2))) = (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴))))
11743, 116oveq12d 7419 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) = ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))))
118117oveq1d 7416 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4) = (((((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))) / 4))
11937, 40subcld 11567 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
12041, 41, 119, 119add4d 11438 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))) = ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))))
12137, 40, 37ppncand 11607 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴))) = ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)))
122121, 121oveq12d 7419 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡))))
123120, 122eqtrd 2764 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡))))
124123oveq1d 7416 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)) + ((𝐴 , 𝐡) βˆ’ (𝐡 , 𝐴)))) / 4) = ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡))) / 4))
125372timesd 12451 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)))
126125eqcomd 2730 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) = (2 Β· (𝐴 , 𝐡)))
127126, 126oveq12d 7419 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡))) = ((2 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (2 Β· (𝐴 , 𝐡))))
128 2cnd 12286 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 2 ∈ β„‚)
129128, 128, 37adddird 11235 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((2 + 2) Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((2 Β· (𝐴 , 𝐡)) + (2 Β· (𝐴 , 𝐡))))
130 2p2e4 12343 . . . . . . 7 (2 + 2) = 4
131130a1i 11 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (2 + 2) = 4)
132131oveq1d 7416 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((2 + 2) Β· (𝐴 , 𝐡)) = (4 Β· (𝐴 , 𝐡)))
133127, 129, 1323eqtr2d 2770 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡))) = (4 Β· (𝐴 , 𝐡)))
134133oveq1d 7416 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡))) / 4) = ((4 Β· (𝐴 , 𝐡)) / 4))
135 4cn 12293 . . . . 5 4 ∈ β„‚
136135a1i 11 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 ∈ β„‚)
137 4ne0 12316 . . . . 5 4 β‰  0
138137a1i 11 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 β‰  0)
13937, 136, 138divcan3d 11991 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((4 Β· (𝐴 , 𝐡)) / 4) = (𝐴 , 𝐡))
140134, 139eqtrd 2764 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐴 , 𝐡))) / 4) = (𝐴 , 𝐡))
141118, 124, 1403eqtrrd 2769 1 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11103  β„cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106  ici 11107   + caddc 11108   Β· cmul 11110   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  β†‘cexp 14023  Basecbs 17142  +gcplusg 17195  Scalarcsca 17198   ·𝑠 cvsca 17199  Β·π‘–cip 17200  Grpcgrp 18852  -gcsg 18854  LModclmod 20695  normcnm 24406  NrmGrpcngp 24407  β„‚PreHilccph 25015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-0g 17385  df-topgen 17387  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-rhm 20363  df-subrg 20460  df-drng 20578  df-staf 20677  df-srng 20678  df-lmod 20697  df-lmhm 20859  df-lvec 20940  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-cnfld 21228  df-phl 21486  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-xms 24147  df-ms 24148  df-nm 24412  df-ngp 24413  df-nlm 24416  df-clm 24911  df-cph 25017
This theorem is referenced by:  4cphipval2  25091  cphipval  25092
  Copyright terms: Public domain W3C validator