MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjthlem1 24838
Description: Lemma for pjth 24840. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjthlem.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
pjthlem.p + = (+gβ€˜π‘Š)
pjthlem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
pjthlem.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjthlem.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Hil)
pjthlem.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
pjthlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
pjthlem.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
pjthlem.7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜π΄) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)))
pjthlem.8 𝑇 = ((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjthlem1 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) = 0)
Distinct variable groups:   π‘₯, βˆ’   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑁   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   + (π‘₯)   , (π‘₯)   𝐿(π‘₯)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Hil)
2 hlcph 24765 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
4 pjthlem.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 pjthlem.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
6 pjthlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 pjthlem.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
86, 7lssss 20454 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
95, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
10 pjthlem.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
119, 10sseldd 3948 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
12 pjthlem.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
136, 12cphipcl 24592 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
143, 4, 11, 13syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ β„‚)
1514abscld 15333 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) ∈ ℝ)
1615recnd 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) ∈ β„‚)
1715resqcld 14040 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ∈ ℝ)
1817renegcld 11591 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ∈ ℝ)
196, 12reipcl 24598 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ ℝ)
203, 11, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ ℝ)
21 2re 12236 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
22 readdcl 11143 . . . . . . . 8 (((𝐡 , 𝐡) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 2) ∈ ℝ)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 2) ∈ ℝ)
24 0red 11167 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
25 peano2re 11337 . . . . . . . . 9 ((𝐡 , 𝐡) ∈ ℝ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) ∈ ℝ)
2620, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) ∈ ℝ)
276, 12ipge0 24599 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (𝐡 , 𝐡))
283, 11, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐡 , 𝐡))
2920ltp1d 12094 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) < ((𝐡 , 𝐡) + 1))
3024, 20, 26, 28, 29lelttrd 11322 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 , 𝐡) + 1))
3126ltp1d 12094 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) < (((𝐡 , 𝐡) + 1) + 1))
32 df-2 12225 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3332oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 , 𝐡) + 2) = ((𝐡 , 𝐡) + (1 + 1))
3420recnd 11192 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚)
35 ax-1cn 11118 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
36 addass 11147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1) + 1) = ((𝐡 , 𝐡) + (1 + 1)))
3735, 35, 36mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚ β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1) + 1) = ((𝐡 , 𝐡) + (1 + 1)))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1) + 1) = ((𝐡 , 𝐡) + (1 + 1)))
3933, 38eqtr4id 2790 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 2) = (((𝐡 , 𝐡) + 1) + 1))
4031, 39breqtrrd 5138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) < ((𝐡 , 𝐡) + 2))
4124, 26, 23, 30, 40lttrd 11325 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 , 𝐡) + 2))
4223, 41elrpd 12963 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 2) ∈ ℝ+)
43 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) = (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))
4443fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
4544breq2d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) β†’ ((π‘β€˜π΄) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ↔ (π‘β€˜π΄) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))))
46 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜π΄) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)))
47 cphlmod 24575 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
49 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = ((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))
50 hlphl 24766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
52 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
53 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
5452, 12, 6, 53ipcl 21074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5551, 4, 11, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5652, 53hlress 24769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ ℝ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
571, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5857, 26sseldd 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5920, 28ge0p1rpd 12996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) ∈ ℝ+)
6059rpne0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) β‰  0)
6152, 53cphdivcl 24583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ ((𝐴 , 𝐡) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐡 , 𝐡) + 1) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝐡 , 𝐡) + 1) β‰  0)) β†’ ((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
623, 55, 58, 60, 61syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
6349, 62eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
64 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6552, 64, 53, 7lssvscl 20473 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ (𝑇 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘ˆ)
6648, 5, 63, 10, 65syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ π‘ˆ)
6745, 46, 66rspcdva 3583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
68 cphngp 24574 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
70 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
716, 70nmcl 24009 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
7269, 4, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
736, 52, 64, 53lmodvscl 20396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉)
7448, 63, 11, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉)
75 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
766, 75lmodvsubcl 20424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ 𝑉)
7748, 4, 74, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ 𝑉)
786, 70nmcl 24009 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) ∈ ℝ)
7969, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) ∈ ℝ)
806, 70nmge0 24010 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
8169, 4, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π΄))
826, 70nmge0 24010 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
8369, 77, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
8472, 79, 81, 83le2sqd 14170 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) ↔ ((π‘β€˜π΄)↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2)))
8567, 84mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2))
8679resqcld 14040 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
8772resqcld 14040 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) ∈ ℝ)
8886, 87subge0d 11754 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜π΄)↑2)) ↔ ((π‘β€˜π΄)↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2)))
8985, 88mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜π΄)↑2)))
90 2z 12544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ β„€
91 rpexpcl 13996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐡 , 𝐡) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9259, 90, 91sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9317, 92rerpdivcld 12997 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
9493, 23remulcld 11194 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) ∈ ℝ)
9594recnd 11192 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) ∈ β„‚)
9695negcld 11508 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) ∈ β„‚)
976, 12cphipcl 24592 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ β„‚)
983, 4, 4, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ β„‚)
9996, 98pncand 11522 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((-((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) βˆ’ (𝐴 , 𝐴)) = -((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)))
1006, 12, 70nmsq 24595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) = ((𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
1013, 77, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) = ((𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
10212, 6, 75cphsubdir 24609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = ((𝐴 , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))))
1033, 4, 74, 77, 102syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = ((𝐴 , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))))
10412, 6, 75cphsubdi 24610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
1053, 4, 4, 74, 104syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
106105oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))) = (((𝐴 , 𝐴) βˆ’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))))
1076, 12cphipcl 24592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ β„‚)
1083, 4, 74, 107syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ β„‚)
10912, 6, 75cphsubdi 24610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = (((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
1103, 74, 4, 74, 109syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = (((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))
1116, 12cphipcl 24592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) ∈ β„‚)
1123, 74, 4, 111syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) ∈ β„‚)
1136, 12cphipcl 24592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ β„‚)
1143, 74, 74, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ β„‚)
115112, 114subcld 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) ∈ β„‚)
116110, 115eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) ∈ β„‚)
11798, 108, 116subsub4d 11552 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐴) βˆ’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))) = ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) + ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))))
11893recnd 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) ∈ β„‚)
11926recnd 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 1) ∈ β„‚)
120 1cnd 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
121118, 119, 120adddid 11188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (((𝐡 , 𝐡) + 1) + 1)) = (((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) + ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· 1)))
12239oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (((𝐡 , 𝐡) + 1) + 1)))
12312, 6, 52, 53, 64cphassr 24613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝑇 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) = ((βˆ—β€˜π‘‡) Β· (𝐴 , 𝐡)))
1243, 63, 4, 11, 123syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) = ((βˆ—β€˜π‘‡) Β· (𝐴 , 𝐡)))
12514, 119, 60divcld 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)) ∈ β„‚)
12649, 125eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
127126cjcld 15093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‡) ∈ β„‚)
128127, 14mulcomd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((βˆ—β€˜π‘‡) Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Β· (βˆ—β€˜π‘‡)))
12914cjcld 15093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) ∈ β„‚)
13014, 129, 119, 60divassd 11975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡))) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)) = ((𝐴 , 𝐡) Β· ((βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))))
13114absvalsqd 15339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) = ((𝐴 , 𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡))))
132131oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)) = (((𝐴 , 𝐡) Β· (βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡))) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
13349fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ—β€˜π‘‡) = (βˆ—β€˜((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
13414, 119, 60cjdivd 15120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))) = ((βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) / (βˆ—β€˜((𝐡 , 𝐡) + 1))))
13526cjred 15123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((𝐡 , 𝐡) + 1)) = ((𝐡 , 𝐡) + 1))
136135oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) / (βˆ—β€˜((𝐡 , 𝐡) + 1))) = ((βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
137134, 136eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))) = ((βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
138133, 137eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜π‘‡) = ((βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
139138oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) Β· (βˆ—β€˜π‘‡)) = ((𝐴 , 𝐡) Β· ((βˆ—β€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))))
140130, 132, 1393eqtr4rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) Β· (βˆ—β€˜π‘‡)) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
141124, 128, 1403eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
14217recnd 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ∈ β„‚)
143142, 119mulcomd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) = (((𝐡 , 𝐡) + 1) Β· ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2)))
144119sqvald 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2) = (((𝐡 , 𝐡) + 1) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
145143, 144oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) = ((((𝐡 , 𝐡) + 1) Β· ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1))))
146142, 119, 119, 60, 60divcan5d 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((((𝐡 , 𝐡) + 1) Β· ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1))) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
147145, 146eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)))
14892rpcnd 12968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2) ∈ β„‚)
14992rpne0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2) β‰  0)
150142, 119, 148, 149div23d 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
151141, 147, 1503eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
15293, 26remulcld 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) ∈ ℝ)
153151, 152eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) ∈ ℝ)
154153cjred 15123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = (𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))
15512, 6cphipcj 24600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) ∈ 𝑉) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴))
1563, 4, 74, 155syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (βˆ—β€˜(𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴))
157154, 156, 1513eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
15812, 6, 52, 53, 64cph2ass 24614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝑇 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) = ((𝑇 Β· (βˆ—β€˜π‘‡)) Β· (𝐡 , 𝐡)))
1593, 63, 63, 11, 11, 158syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) = ((𝑇 Β· (βˆ—β€˜π‘‡)) Β· (𝐡 , 𝐡)))
16049fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (absβ€˜π‘‡) = (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
16114, 119, 60absdivd 15352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))) = ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) / (absβ€˜((𝐡 , 𝐡) + 1))))
16259rpge0d 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((𝐡 , 𝐡) + 1))
16326, 162absidd 15319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐡 , 𝐡) + 1)) = ((𝐡 , 𝐡) + 1))
164163oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) / (absβ€˜((𝐡 , 𝐡) + 1))) = ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
165161, 164eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((𝐴 , 𝐡) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))) = ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
166160, 165eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‡) = ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1)))
167166oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‡)↑2) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))↑2))
168126absvalsqd 15339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‡)↑2) = (𝑇 Β· (βˆ—β€˜π‘‡)))
16916, 119, 60sqdivd 14074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) / ((𝐡 , 𝐡) + 1))↑2) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)))
170167, 168, 1693eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑇 Β· (βˆ—β€˜π‘‡)) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)))
171170oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑇 Β· (βˆ—β€˜π‘‡)) Β· (𝐡 , 𝐡)) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (𝐡 , 𝐡)))
172159, 171eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (𝐡 , 𝐡)))
173157, 172oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , 𝐴) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = (((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) βˆ’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (𝐡 , 𝐡))))
174 pncan2 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐡 , 𝐡) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1) βˆ’ (𝐡 , 𝐡)) = 1)
17534, 35, 174sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (((𝐡 , 𝐡) + 1) βˆ’ (𝐡 , 𝐡)) = 1)
176175oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (((𝐡 , 𝐡) + 1) βˆ’ (𝐡 , 𝐡))) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· 1))
177118, 119, 34subdid 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (((𝐡 , 𝐡) + 1) βˆ’ (𝐡 , 𝐡))) = (((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) βˆ’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (𝐡 , 𝐡))))
178176, 177eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· 1) = (((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) βˆ’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· (𝐡 , 𝐡))))
179173, 110, 1783eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· 1))
180151, 179oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) + ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))) = (((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 1)) + ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· 1)))
181121, 122, 1803eqtr4rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) + ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)))
182181oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)) + ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))))) = ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2))))
183106, 117, 1823eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡))) βˆ’ ((𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡) , (𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))) = ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2))))
184101, 103, 1833eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) = ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2))))
18598, 95negsubd 11527 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + -((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2))) = ((𝐴 , 𝐴) βˆ’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2))))
18698, 96addcomd 11366 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + -((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2))) = (-((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
187184, 185, 1863eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) = (-((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
1886, 12, 70nmsq 24595 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
1893, 4, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
190187, 189oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜π΄)↑2)) = ((-((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) βˆ’ (𝐴 , 𝐴)))
19123renegcld 11591 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ -((𝐡 , 𝐡) + 2) ∈ ℝ)
192191recnd 11192 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -((𝐡 , 𝐡) + 2) ∈ β„‚)
193142, 192, 148, 149div23d 11977 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) = ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)))
19423recnd 11192 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐡) + 2) ∈ β„‚)
195118, 194mulneg2d 11618 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) = -((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)))
196193, 195eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) = -((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)))
19799, 190, 1963eqtr4rd 2782 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑇( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜π΄)↑2)))
19889, 197breqtrrd 5138 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2)))
19917, 191remulcld 11194 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) ∈ ℝ)
200199, 92ge0divd 13004 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) ↔ 0 ≀ ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)) / (((𝐡 , 𝐡) + 1)↑2))))
201198, 200mpbird 256 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)))
202 mulneg12 11602 . . . . . . . 8 ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ∈ β„‚ ∧ ((𝐡 , 𝐡) + 2) ∈ β„‚) β†’ (-((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)))
203142, 194, 202syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (-((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)) = (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· -((𝐡 , 𝐡) + 2)))
204201, 203breqtrrd 5138 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (-((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) Β· ((𝐡 , 𝐡) + 2)))
20518, 42, 204prodge0ld 13032 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ -((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2))
20617le0neg1d 11735 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2)))
207205, 206mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ≀ 0)
20815sqge0d 14052 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2))
209 0re 11166 . . . . 5 0 ∈ ℝ
210 letri3 11249 . . . . 5 ((((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) = 0 ↔ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2))))
21117, 209, 210sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) = 0 ↔ (((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2))))
212207, 208, 211mpbir2and 711 . . 3 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(𝐴 , 𝐡))↑2) = 0)
21316, 212sqeq0d 14060 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(𝐴 , 𝐡)) = 0)
21414, 213abs00d 15343 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3913   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11058  β„cr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   Β· cmul 11065   < clt 11198   ≀ cle 11199   βˆ’ cmin 11394  -cneg 11395   / cdiv 11821  2c2 12217  β„€cz 12508  β„+crp 12924  β†‘cexp 13977  βˆ—ccj 14993  abscabs 15131  Basecbs 17094  +gcplusg 17147  Scalarcsca 17150   ·𝑠 cvsca 17151  Β·π‘–cip 17152  -gcsg 18764  LModclmod 20378  LSubSpclss 20449  PreHilcphl 21065  normcnm 23969  NrmGrpcngp 23970  β„‚PreHilccph 24567  β„‚Hilchl 24735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-ghm 19020  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-cring 19981  df-oppr 20063  df-dvdsr 20084  df-unit 20085  df-invr 20115  df-dvr 20126  df-rnghom 20162  df-drng 20227  df-subrg 20268  df-staf 20360  df-srng 20361  df-lmod 20380  df-lss 20450  df-lmhm 20540  df-lvec 20621  df-sra 20692  df-rgmod 20693  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-phl 21067  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-cmp 22775  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-flim 23327  df-fcls 23329  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-nm 23975  df-ngp 23976  df-nlm 23979  df-cncf 24278  df-clm 24463  df-cph 24569  df-cfil 24656  df-cmet 24658  df-cms 24736  df-bn 24737  df-hl 24738
This theorem is referenced by:  pjthlem2  24839
  Copyright terms: Public domain W3C validator