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Theorem pjthlem1 25484
Description: Lemma for pjth 25486. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.5 (𝜑𝐵𝑈)
pjthlem.7 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
pjthlem.8 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjthlem1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   + (𝑥)   , (𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
2 hlcph 25411 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
4 pjthlem.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
6 pjthlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 pjthlem.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssss 20951 . . . . 5 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
10 pjthlem.5 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
119, 10sseldd 3995 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
12 pjthlem.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
136, 12cphipcl 25238 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
143, 4, 11, 13syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
1514abscld 15471 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℝ)
1615recnd 11286 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
1715resqcld 14161 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1817renegcld 11687 . . . . . 6 (𝜑 → -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
196, 12reipcl 25244 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
203, 11, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
21 2re 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
22 readdcl 11235 . . . . . . . 8 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
24 0red 11261 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 peano2re 11431 . . . . . . . . 9 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
2620, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
276, 12ipge0 25245 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
283, 11, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
2920ltp1d 12195 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3024, 20, 26, 28, 29lelttrd 11416 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3126ltp1d 12195 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
32 df-2 12326 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3332oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 , 𝐵) + 2) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1))
3420recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
35 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
36 addass 11239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3735, 35, 36mp3an23 1452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3933, 38eqtr4id 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
4031, 39breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
4124, 26, 23, 30, 40lttrd 11419 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
4223, 41elrpd 13071 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ+)
43 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
4443fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
4544breq2d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ↔ (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
46 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
47 cphlmod 25221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
49 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
50 hlphl 25412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
52 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
53 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5452, 12, 6, 53ipcl 21668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5551, 4, 11, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5652, 53hlress 25415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
571, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5857, 26sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5920, 28ge0p1rpd 13104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
6059rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)
6152, 53cphdivcl 25229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)) → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
623, 55, 58, 60, 61syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6349, 62eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
64 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
6552, 64, 53, 7lssvscl 20970 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑈)) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
6648, 5, 63, 10, 65syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
6745, 46, 66rspcdva 3622 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
68 cphngp 25220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
70 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (norm‘𝑊)
716, 70nmcl 24644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7269, 4, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
736, 52, 64, 53lmodvscl 20892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7448, 63, 11, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
75 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = (-g𝑊)
766, 75lmodvsubcl 20921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
7748, 4, 74, 76syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
786, 70nmcl 24644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
7969, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
806, 70nmge0 24645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8169, 4, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
826, 70nmge0 24645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8369, 77, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8472, 79, 81, 83le2sqd 14292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8567, 84mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2))
8679resqcld 14161 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
8772resqcld 14161 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8886, 87subge0d 11850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8985, 88mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
90 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9259, 90, 91sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9317, 92rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
9493, 23remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
9594recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
9695negcld 11604 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
976, 12cphipcl 25238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
983, 4, 4, 97syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
9996, 98pncand 11618 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
1006, 12, 70nmsq 25241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1013, 77, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
10212, 6, 75cphsubdir 25255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1033, 4, 74, 77, 102syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
10412, 6, 75cphsubdi 25256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1053, 4, 4, 74, 104syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
106105oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1076, 12cphipcl 25238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1083, 4, 74, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
10912, 6, 75cphsubdi 25256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1103, 74, 4, 74, 109syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1116, 12cphipcl 25238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1123, 74, 4, 111syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1136, 12cphipcl 25238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1143, 74, 74, 113syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
115112, 114subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
116110, 115eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
11798, 108, 116subsub4d 11648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))))
11893recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
11926recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℂ)
120 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
121118, 119, 120adddid 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
12239oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)))
12312, 6, 52, 53, 64cphassr 25259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
1243, 63, 4, 11, 123syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
12514, 119, 60divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℂ)
12649, 125eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
127126cjcld 15231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
128127, 14mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)))
12914cjcld 15231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
13014, 129, 119, 60divassd 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13114absvalsqd 15477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))))
132131oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13349fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘𝑇) = (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13414, 119, 60cjdivd 15258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13526cjred 15261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
136135oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
137134, 136eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
138133, 137eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
139138oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
140130, 132, 1393eqtr4rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
141124, 128, 1403eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
14217recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
143142, 119mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
144119sqvald 14179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
145143, 144oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
146142, 119, 119, 60, 60divcan5d 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
147145, 146eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
14892rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14992rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ≠ 0)
150142, 119, 148, 149div23d 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
151141, 147, 1503eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15293, 26remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
153151, 152eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
154153cjred 15261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
15512, 6cphipcj 25246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
1563, 4, 74, 155syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
157154, 156, 1513eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15812, 6, 52, 53, 64cph2ass 25260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝐵𝑉𝐵𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
1593, 63, 63, 11, 11, 158syl122anc 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
16049fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (abs‘𝑇) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
16114, 119, 60absdivd 15490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
16259rpge0d 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐵 , 𝐵) + 1))
16326, 162absidd 15457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
164163oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
165161, 164eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
166160, 165eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
167166oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2))
168126absvalsqd 15477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
16916, 119, 60sqdivd 14195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
170167, 168, 1693eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
171170oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
172159, 171eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
173157, 172oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
174 pncan2 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
17534, 35, 174sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
176175oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
177118, 119, 34subdid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
178176, 177eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
179173, 110, 1783eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
180151, 179oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
181121, 122, 1803eqtr4rd 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
182181oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
183106, 117, 1823eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
184101, 103, 1833eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18598, 95negsubd 11623 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18698, 96addcomd 11460 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
187184, 185, 1863eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
1886, 12, 70nmsq 25241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
1893, 4, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
190187, 189oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) = ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)))
19123renegcld 11687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
192191recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
193142, 192, 148, 149div23d 12077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19423recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
195118, 194mulneg2d 11714 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
196193, 195eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19799, 190, 1963eqtr4rd 2785 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
19889, 197breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
19917, 191remulcld 11288 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
200199, 92ge0divd 13112 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2))))
201198, 200mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
202 mulneg12 11698 . . . . . . . 8 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
203142, 194, 202syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
204201, 203breqtrrd 5175 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
20518, 42, 204prodge0ld 13140 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
20617le0neg1d 11831 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
207205, 206mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0)
20815sqge0d 14173 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
209 0re 11260 . . . . 5 0 ∈ ℝ
210 letri3 11343 . . . . 5 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
21117, 209, 210sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
212207, 208, 211mpbir2and 713 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0)
21316, 212sqeq0d 14181 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) = 0)
21414, 213abs00d 15481 1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  +crp 13031  cexp 14098  ccj 15131  abscabs 15269  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  ·𝑖cip 17302  -gcsg 18965  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  PreHilcphl 21659  normcnm 24604  NrmGrpcngp 24605  ℂPreHilccph 25213  ℂHilchl 25381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-staf 20856  df-srng 20857  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lmhm 21038  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-phl 21661  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-flim 23962  df-fcls 23964  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-nlm 24614  df-cncf 24917  df-clm 25109  df-cph 25215  df-cfil 25302  df-cmet 25304  df-cms 25382  df-bn 25383  df-hl 25384
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