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Theorem pjthlem1 24801
Description: Lemma for pjth 24803. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.5 (𝜑𝐵𝑈)
pjthlem.7 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
pjthlem.8 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjthlem1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   + (𝑥)   , (𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
2 hlcph 24728 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
4 pjthlem.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
6 pjthlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 pjthlem.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssss 20397 . . . . 5 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
10 pjthlem.5 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
119, 10sseldd 3945 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
12 pjthlem.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
136, 12cphipcl 24555 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
143, 4, 11, 13syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
1514abscld 15321 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℝ)
1615recnd 11183 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
1715resqcld 14030 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1817renegcld 11582 . . . . . 6 (𝜑 → -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
196, 12reipcl 24561 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
203, 11, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
21 2re 12227 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
22 readdcl 11134 . . . . . . . 8 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
24 0red 11158 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 peano2re 11328 . . . . . . . . 9 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
2620, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
276, 12ipge0 24562 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
283, 11, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
2920ltp1d 12085 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3024, 20, 26, 28, 29lelttrd 11313 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3126ltp1d 12085 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
32 df-2 12216 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3332oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 , 𝐵) + 2) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1))
3420recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
35 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
36 addass 11138 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3735, 35, 36mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3933, 38eqtr4id 2795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
4031, 39breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
4124, 26, 23, 30, 40lttrd 11316 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
4223, 41elrpd 12954 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ+)
43 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
4443fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
4544breq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ↔ (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
46 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
47 cphlmod 24538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
49 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
50 hlphl 24729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
52 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
53 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5452, 12, 6, 53ipcl 21037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5551, 4, 11, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5652, 53hlress 24732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
571, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5857, 26sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5920, 28ge0p1rpd 12987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
6059rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)
6152, 53cphdivcl 24546 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)) → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
623, 55, 58, 60, 61syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6349, 62eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
64 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
6552, 64, 53, 7lssvscl 20416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑈)) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
6648, 5, 63, 10, 65syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
6745, 46, 66rspcdva 3582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
68 cphngp 24537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
70 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (norm‘𝑊)
716, 70nmcl 23972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7269, 4, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
736, 52, 64, 53lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7448, 63, 11, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
75 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = (-g𝑊)
766, 75lmodvsubcl 20367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
7748, 4, 74, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
786, 70nmcl 23972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
7969, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
806, 70nmge0 23973 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8169, 4, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
826, 70nmge0 23973 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8369, 77, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8472, 79, 81, 83le2sqd 14160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8567, 84mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2))
8679resqcld 14030 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
8772resqcld 14030 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8886, 87subge0d 11745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8985, 88mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
90 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9259, 90, 91sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9317, 92rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
9493, 23remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
9594recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
9695negcld 11499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
976, 12cphipcl 24555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
983, 4, 4, 97syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
9996, 98pncand 11513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
1006, 12, 70nmsq 24558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1013, 77, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
10212, 6, 75cphsubdir 24572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1033, 4, 74, 77, 102syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
10412, 6, 75cphsubdi 24573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1053, 4, 4, 74, 104syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
106105oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1076, 12cphipcl 24555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1083, 4, 74, 107syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
10912, 6, 75cphsubdi 24573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1103, 74, 4, 74, 109syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1116, 12cphipcl 24555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1123, 74, 4, 111syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1136, 12cphipcl 24555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1143, 74, 74, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
115112, 114subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
116110, 115eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
11798, 108, 116subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))))
11893recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
11926recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℂ)
120 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
121118, 119, 120adddid 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
12239oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)))
12312, 6, 52, 53, 64cphassr 24576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
1243, 63, 4, 11, 123syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
12514, 119, 60divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℂ)
12649, 125eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
127126cjcld 15081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
128127, 14mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)))
12914cjcld 15081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
13014, 129, 119, 60divassd 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13114absvalsqd 15327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))))
132131oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13349fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘𝑇) = (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13414, 119, 60cjdivd 15108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13526cjred 15111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
136135oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
137134, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
138133, 137eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
139138oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
140130, 132, 1393eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
141124, 128, 1403eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
14217recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
143142, 119mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
144119sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
145143, 144oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
146142, 119, 119, 60, 60divcan5d 11957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
147145, 146eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
14892rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14992rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ≠ 0)
150142, 119, 148, 149div23d 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
151141, 147, 1503eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15293, 26remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
153151, 152eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
154153cjred 15111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
15512, 6cphipcj 24563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
1563, 4, 74, 155syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
157154, 156, 1513eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15812, 6, 52, 53, 64cph2ass 24577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝐵𝑉𝐵𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
1593, 63, 63, 11, 11, 158syl122anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
16049fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (abs‘𝑇) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
16114, 119, 60absdivd 15340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
16259rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐵 , 𝐵) + 1))
16326, 162absidd 15307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
164163oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
165161, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
166160, 165eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
167166oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2))
168126absvalsqd 15327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
16916, 119, 60sqdivd 14064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
170167, 168, 1693eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
171170oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
172159, 171eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
173157, 172oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
174 pncan2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
17534, 35, 174sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
176175oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
177118, 119, 34subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
178176, 177eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
179173, 110, 1783eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
180151, 179oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
181121, 122, 1803eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
182181oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
183106, 117, 1823eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
184101, 103, 1833eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18598, 95negsubd 11518 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18698, 96addcomd 11357 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
187184, 185, 1863eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
1886, 12, 70nmsq 24558 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
1893, 4, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
190187, 189oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) = ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)))
19123renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
192191recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
193142, 192, 148, 149div23d 11968 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19423recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
195118, 194mulneg2d 11609 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
196193, 195eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19799, 190, 1963eqtr4rd 2787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
19889, 197breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
19917, 191remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
200199, 92ge0divd 12995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2))))
201198, 200mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
202 mulneg12 11593 . . . . . . . 8 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
203142, 194, 202syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
204201, 203breqtrrd 5133 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
20518, 42, 204prodge0ld 13023 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
20617le0neg1d 11726 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
207205, 206mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0)
20815sqge0d 14042 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
209 0re 11157 . . . . 5 0 ∈ ℝ
210 letri3 11240 . . . . 5 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
21117, 209, 210sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
212207, 208, 211mpbir2and 711 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0)
21316, 212sqeq0d 14050 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) = 0)
21414, 213abs00d 15331 1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  cz 12499  +crp 12915  cexp 13967  ccj 14981  abscabs 15119  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  ·𝑖cip 17138  -gcsg 18750  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  PreHilcphl 21028  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  ℂPreHilccph 24530  ℂHilchl 24698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-flim 23290  df-fcls 23292  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-cncf 24241  df-clm 24426  df-cph 24532  df-cfil 24619  df-cmet 24621  df-cms 24699  df-bn 24700  df-hl 24701
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