Theorem 4cphipval2 23846

Description: Four times the inner product value cphipval2 23845. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipfval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphipfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphipfval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipval2.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
cphipval2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
4cphipval2	⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))))

Proof of Theorem 4cphipval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphipfval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		cphipfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		cphipfval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		cphipfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
5		cphipfval.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6		cphipval2.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		cphipval2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		cphipval2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cphipval2 23845	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10	9	oveq2d 7151	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)))
11	7, 8	cphsubrg 23785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12		cnfldbas 20095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	12	subrgss 19529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
15	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	15	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐾 ⊆ ℂ)
17		simp1l 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
18		cphngp 23778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19		ngpgrp 23205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
21	20	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
22	1, 2	grpcl 18103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
23	21, 22	syl3an1 1160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
24	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 23801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
25	17, 23, 24	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
26	16, 25	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 13504	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
28	1, 6	grpsubcl 18171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
29	21, 28	syl3an1 1160	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
30	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 23801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ 𝐾)
31	17, 29, 30	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ 𝐾)
32	16, 31	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32	sqcld 13504	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
34	27, 33	subcld 10986	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
35		ax-icn 10585	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ ℂ)
37	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
38		simp2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
39		cphlmod 23779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
41	40	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
42		simp1r 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ 𝐾)
43		simp3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
44	1, 7, 3, 8	lmodvscl 19644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
45	41, 42, 43, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
46	1, 2	grpcl 18103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
47	37, 38, 45, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
48	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 23801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
49	17, 47, 48	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
50	16, 49	sseldd 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
51	50	sqcld 13504	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52	1, 6	grpsubcl 18171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
53	37, 38, 45, 52	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
54	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 23801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
55	17, 53, 54	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
56	16, 55	sseldd 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
57	56	sqcld 13504	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
58	51, 57	subcld 10986	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
59	36, 58	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
60	34, 59	addcld 10649	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
61		4cn 11710	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 4 ∈ ℂ)
63		4ne0 11733	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
64	63	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 4 ≠ 0)
65	60, 62, 64	divcan2d 11407	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))))
66	10, 65	eqtrd 2833	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11680  4c4 11682  ↑cexp 13425  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  ·_𝑖cip 16562  Grpcgrp 18095  -_gcsg 18097  SubRingcsubrg 19524  LModclmod 19627  ℂ_fldccnfld 20091  normcnm 23183  NrmGrpcngp 23184  ℂPreHilccph 23771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-staf 19609  df-srng 19610  df-lmod 19629  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-phl 20315  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-xms 22927  df-ms 22928  df-nm 23189  df-ngp 23190  df-nlm 23193  df-clm 23668  df-cph 23773

This theorem is referenced by: (None)