MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4cphipval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4cphipval2 24750
Description: Four times the inner product value cphipval2 24749. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphipfval.p + = (+gβ€˜π‘Š)
cphipfval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
cphipfval.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
cphipfval.i , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipval2.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
cphipval2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphipval2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
4cphipval2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
Proof of Theorem 4cphipval2
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 cphipfval.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 cphipfval.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 cphipfval.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
5 cphipfval.i . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
6 cphipval2.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 cphipval2.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 cphipval2.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 24749 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4))
109oveq2d 7421 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4)))
117, 8cphsubrg 24688 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
12 cnfldbas 20940 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1312subrgss 20356 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
16153ad2ant1 1133 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 simp1l 1197 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
18 cphngp 24681 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
19 ngpgrp 24099 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ Grp)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Grp)
221, 2grpcl 18823 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
2321, 22syl3an1 1163 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
241, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24704 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ 𝐾)
2517, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ 𝐾)
2616, 25sseldd 3982 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ β„‚)
2726sqcld 14105 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) ∈ β„‚)
281, 6grpsubcl 18899 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
2921, 28syl3an1 1163 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
301, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24704 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ 𝐾)
3117, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3982 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
3332sqcld 14105 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) ∈ β„‚)
3427, 33subcld 11567 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) ∈ β„‚)
35 ax-icn 11165 . . . . . 6 i ∈ β„‚
3635a1i 11 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ β„‚)
3717, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ Grp)
38 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
39 cphlmod 24682 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
42 simp1r 1198 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ 𝐾)
43 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
441, 7, 3, 8lmodvscl 20481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
461, 2grpcl 18823 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
4737, 38, 45, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
481, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24704 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
4917, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5016, 49sseldd 3982 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
5150sqcld 14105 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
521, 6grpsubcl 18899 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
5337, 38, 45, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
541, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24704 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5517, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5616, 55sseldd 3982 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
5756sqcld 14105 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
5851, 57subcld 11567 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
5936, 58mulcld 11230 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
6034, 59addcld 11229 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚)
61 4cn 12293 . . . 4 4 ∈ β„‚
6261a1i 11 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 ∈ β„‚)
63 4ne0 12316 . . . 4 4 β‰  0
6463a1i 11 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 β‰  0)
6560, 62, 64divcan2d 11988 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
6610, 65eqtrd 2772 1 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  β†‘cexp 14023  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Β·π‘–cip 17198  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  SubRingcsubrg 20351  LModclmod 20463  β„‚fldccnfld 20936  normcnm 24076  NrmGrpcngp 24077  β„‚PreHilccph 24674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-topgen 17385  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-phl 21170  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-xms 23817  df-ms 23818  df-nm 24082  df-ngp 24083  df-nlm 24086  df-clm 24570  df-cph 24676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator