Theorem 4cphipval2 25362

Description: Four times the inner product value cphipval2 25361. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipfval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphipfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphipfval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipval2.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
cphipval2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
4cphipval2	⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))))

Proof of Theorem 4cphipval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphipfval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		cphipfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		cphipfval.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		cphipfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
5		cphipfval.i	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6		cphipval2.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		cphipval2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		cphipval2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cphipval2 25361	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10	9	oveq2d 7416	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)))
11	7, 8	cphsubrg 25300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12		cnfldbas 21486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
13	12	subrgss 20648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
15	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	15	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐾 ⊆ ℂ)
17		simp1l 1214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
18		cphngp 25293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19		ngpgrp 24717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
21	20	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
22	1, 2	grpcl 18998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
23	21, 22	syl3an1 1179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
24	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 25316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
25	17, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
26	16, 25	sseldd 3940	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
27	26	sqcld 14171	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
28	1, 6	grpsubcl 19077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
29	21, 28	syl3an1 1179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋)
30	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 25316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ 𝐾)
31	17, 29, 30	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ 𝐾)
32	16, 31	sseldd 3940	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
33	32	sqcld 14171	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
34	27, 33	subcld 11557	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
35		ax-icn 11147	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ ℂ)
37	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
38		simp2 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
39		cphlmod 25294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
41	40	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
42		simp1r 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ 𝐾)
43		simp3 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
44	1, 7, 3, 8	lmodvscl 20968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
45	41, 42, 43, 44	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
46	1, 2	grpcl 18998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
47	37, 38, 45, 46	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
48	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 25316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
49	17, 47, 48	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
50	16, 49	sseldd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
51	50	sqcld 14171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52	1, 6	grpsubcl 19077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
53	37, 38, 45, 52	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
54	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 25316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
55	17, 53, 54	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
56	16, 55	sseldd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
57	56	sqcld 14171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
58	51, 57	subcld 11557	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
59	36, 58	mulcld 11217	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
60	34, 59	addcld 11216	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
61		4cn 12317	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
62	61	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 4 ∈ ℂ)
63		4ne0 12343	. . . 4 ⊢ 4 ≠ 0
64	63	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 4 ≠ 0)
65	60, 62, 64	divcan2d 11984	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))))
66	10, 65	eqtrd 2800	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  ici 11090   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429   / cdiv 11859  2c2 12286  4c4 12288  ↑cexp 14088  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  ·_𝑖cip 17305  Grpcgrp 18990  -_gcsg 18992  SubRingcsubrg 20645  LModclmod 20950  ℂ_fldccnfld 21482  normcnm 24694  NrmGrpcngp 24695  ℂPreHilccph 25286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13369  df-fz 13527  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-0g 17484  df-topgen 17486  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-rhm 20545  df-subrg 20646  df-drng 20806  df-staf 20911  df-srng 20912  df-lmod 20952  df-lmhm 21112  df-lvec 21193  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-cnfld 21483  df-phl 21736  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-xms 24438  df-ms 24439  df-nm 24700  df-ngp 24701  df-nlm 24704  df-clm 25183  df-cph 25288

This theorem is referenced by: (None)