Proof of Theorem 4cphipval2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | cphipfval.x | . . . 4
⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊) | 
| 2 |  | cphipfval.p | . . . 4
⊢  + =
(+g‘𝑊) | 
| 3 |  | cphipfval.s | . . . 4
⊢  · = (
·𝑠 ‘𝑊) | 
| 4 |  | cphipfval.n | . . . 4
⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊) | 
| 5 |  | cphipfval.i | . . . 4
⊢  , =
(·𝑖‘𝑊) | 
| 6 |  | cphipval2.m | . . . 4
⊢  − =
(-g‘𝑊) | 
| 7 |  | cphipval2.f | . . . 4
⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊) | 
| 8 |  | cphipval2.k | . . . 4
⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹) | 
| 9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | cphipval2 25275 | . . 3
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) /
4)) | 
| 10 | 9 | oveq2d 7447 | . 2
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) /
4))) | 
| 11 | 7, 8 | cphsubrg 25214 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil →
𝐾 ∈
(SubRing‘ℂfld)) | 
| 12 |  | cnfldbas 21368 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ℂ =
(Base‘ℂfld) | 
| 13 | 12 | subrgss 20572 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈
(SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ) | 
| 14 | 11, 13 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil →
𝐾 ⊆
ℂ) | 
| 15 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) → 𝐾 ⊆
ℂ) | 
| 16 | 15 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐾 ⊆ ℂ) | 
| 17 |  | simp1l 1198 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil) | 
| 18 |  | cphngp 25207 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil →
𝑊 ∈
NrmGrp) | 
| 19 |  | ngpgrp 24612 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp) | 
| 20 | 18, 19 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil →
𝑊 ∈
Grp) | 
| 21 | 20 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp) | 
| 22 | 1, 2 | grpcl 18959 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) | 
| 23 | 21, 22 | syl3an1 1164 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) | 
| 24 | 1, 5, 4, 7, 8 | cphnmcl 25230 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧
(𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾) | 
| 25 | 17, 23, 24 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾) | 
| 26 | 16, 25 | sseldd 3984 | . . . . . 6
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ) | 
| 27 | 26 | sqcld 14184 | . . . . 5
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ) | 
| 28 | 1, 6 | grpsubcl 19038 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋) | 
| 29 | 21, 28 | syl3an1 1164 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋) | 
| 30 | 1, 5, 4, 7, 8 | cphnmcl 25230 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧
(𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ 𝐾) | 
| 31 | 17, 29, 30 | syl2anc 584 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ 𝐾) | 
| 32 | 16, 31 | sseldd 3984 | . . . . . 6
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ) | 
| 33 | 32 | sqcld 14184 | . . . . 5
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) ∈ ℂ) | 
| 34 | 27, 33 | subcld 11620 | . . . 4
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) ∈ ℂ) | 
| 35 |  | ax-icn 11214 | . . . . . 6
⊢ i ∈
ℂ | 
| 36 | 35 | a1i 11 | . . . . 5
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ ℂ) | 
| 37 | 17, 20 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Grp) | 
| 38 |  | simp2 1138 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋) | 
| 39 |  | cphlmod 25208 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil →
𝑊 ∈
LMod) | 
| 40 | 39 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod) | 
| 41 | 40 | 3ad2ant1 1134 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod) | 
| 42 |  | simp1r 1199 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ 𝐾) | 
| 43 |  | simp3 1139 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋) | 
| 44 | 1, 7, 3, 8 | lmodvscl 20876 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈
𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋) | 
| 45 | 41, 42, 43, 44 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋) | 
| 46 | 1, 2 | grpcl 18959 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) | 
| 47 | 37, 38, 45, 46 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) | 
| 48 | 1, 5, 4, 7, 8 | cphnmcl 25230 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧
(𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾) | 
| 49 | 17, 47, 48 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾) | 
| 50 | 16, 49 | sseldd 3984 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ) | 
| 51 | 50 | sqcld 14184 | . . . . . 6
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) | 
| 52 | 1, 6 | grpsubcl 19038 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) | 
| 53 | 37, 38, 45, 52 | syl3anc 1373 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) | 
| 54 | 1, 5, 4, 7, 8 | cphnmcl 25230 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧
(𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ 𝐾) | 
| 55 | 17, 53, 54 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈ 𝐾) | 
| 56 | 16, 55 | sseldd 3984 | . . . . . . 7
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵))) ∈
ℂ) | 
| 57 | 56 | sqcld 14184 | . . . . . 6
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2) ∈
ℂ) | 
| 58 | 51, 57 | subcld 11620 | . . . . 5
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)) ∈
ℂ) | 
| 59 | 36, 58 | mulcld 11281 | . . . 4
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2))) ∈
ℂ) | 
| 60 | 34, 59 | addcld 11280 | . . 3
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) ∈
ℂ) | 
| 61 |  | 4cn 12351 | . . . 4
⊢ 4 ∈
ℂ | 
| 62 | 61 | a1i 11 | . . 3
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 4 ∈ ℂ) | 
| 63 |  | 4ne0 12374 | . . . 4
⊢ 4 ≠
0 | 
| 64 | 63 | a1i 11 | . . 3
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 4 ≠ 0) | 
| 65 | 60, 62, 64 | divcan2d 12045 | . 2
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2))))) | 
| 66 | 10, 65 | eqtrd 2777 | 1
⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i
∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 − (i · 𝐵)))↑2))))) |