MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4cphipval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4cphipval2 24759
Description: Four times the inner product value cphipval2 24758. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphipfval.p + = (+gβ€˜π‘Š)
cphipfval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
cphipfval.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
cphipfval.i , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipval2.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
cphipval2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphipval2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
4cphipval2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
Proof of Theorem 4cphipval2
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 cphipfval.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 cphipfval.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 cphipfval.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
5 cphipfval.i . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
6 cphipval2.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 cphipval2.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 cphipval2.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 24758 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4))
109oveq2d 7425 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4)))
117, 8cphsubrg 24697 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
12 cnfldbas 20948 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1312subrgss 20320 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1514adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
16153ad2ant1 1134 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 simp1l 1198 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
18 cphngp 24690 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
19 ngpgrp 24108 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ Grp)
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Grp)
221, 2grpcl 18827 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
2321, 22syl3an1 1164 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
241, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24713 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ 𝐾)
2517, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ 𝐾)
2616, 25sseldd 3984 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ β„‚)
2726sqcld 14109 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) ∈ β„‚)
281, 6grpsubcl 18903 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
2921, 28syl3an1 1164 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
301, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24713 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ 𝐾)
3117, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3984 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
3332sqcld 14109 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) ∈ β„‚)
3427, 33subcld 11571 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) ∈ β„‚)
35 ax-icn 11169 . . . . . 6 i ∈ β„‚
3635a1i 11 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ β„‚)
3717, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ Grp)
38 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
39 cphlmod 24691 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
41403ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
42 simp1r 1199 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ 𝐾)
43 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
441, 7, 3, 8lmodvscl 20489 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
461, 2grpcl 18827 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
4737, 38, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
481, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24713 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
4917, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5016, 49sseldd 3984 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
5150sqcld 14109 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
521, 6grpsubcl 18903 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
5337, 38, 45, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
541, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24713 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5517, 53, 54syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5616, 55sseldd 3984 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
5756sqcld 14109 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
5851, 57subcld 11571 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
5936, 58mulcld 11234 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
6034, 59addcld 11233 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚)
61 4cn 12297 . . . 4 4 ∈ β„‚
6261a1i 11 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 ∈ β„‚)
63 4ne0 12320 . . . 4 4 β‰  0
6463a1i 11 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 β‰  0)
6560, 62, 64divcan2d 11992 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
6610, 65eqtrd 2773 1 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  ici 11112   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  4c4 12269  β†‘cexp 14027  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Β·π‘–cip 17202  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  SubRingcsubrg 20315  LModclmod 20471  β„‚fldccnfld 20944  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086  β„‚PreHilccph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-phl 21179  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nlm 24095  df-clm 24579  df-cph 24685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator