MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4cphipval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4cphipval2 23319
Description: Four times the inner product value cphipval2 23318. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p + = (+g𝑊)
cphipfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphipfval.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i , = (·𝑖𝑊)
cphipval2.m = (-g𝑊)
cphipval2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
4cphipval2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))))

Proof of Theorem 4cphipval2
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑊)
2 cphipfval.p . . . 4 + = (+g𝑊)
3 cphipfval.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
4 cphipfval.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 cphipfval.i . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
6 cphipval2.m . . . 4 = (-g𝑊)
7 cphipval2.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphipval2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 23318 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
109oveq2d 6858 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)))
117, 8cphsubrg 23258 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12 cnfldbas 20023 . . . . . . . . . . 11 ℂ = (Base‘ℂfld)
1312subrgss 19050 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ⊆ ℂ)
1514adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16153ad2ant1 1163 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐾 ⊆ ℂ)
17 simp1l 1254 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
18 cphngp 23251 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
19 ngpgrp 22682 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
2120adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
221, 2grpcl 17697 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
2321, 22syl3an1 1202 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
241, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23274 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
2517, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝐾)
2616, 25sseldd 3762 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
2726sqcld 13213 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
281, 6grpsubcl 17762 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
2921, 28syl3an1 1202 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋)
301, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23274 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ 𝐾)
3117, 29, 30syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3762 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
3332sqcld 13213 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
3427, 33subcld 10646 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
35 ax-icn 10248 . . . . . 6 i ∈ ℂ
3635a1i 11 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ ℂ)
3717, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
38 simp2 1167 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
39 cphlmod 23252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
41403ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
42 simp1r 1255 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ 𝐾)
43 simp3 1168 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
441, 7, 3, 8lmodvscl 19149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
461, 2grpcl 17697 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
4737, 38, 45, 46syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
481, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23274 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
4917, 47, 48syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
5016, 49sseldd 3762 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
5150sqcld 13213 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
521, 6grpsubcl 17762 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
5337, 38, 45, 52syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
541, 5, 4, 7, 8cphnmcl 23274 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
5517, 53, 54syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ 𝐾)
5616, 55sseldd 3762 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
5756sqcld 13213 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
5851, 57subcld 10646 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
5936, 58mulcld 10314 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
6034, 59addcld 10313 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
61 4cn 11358 . . . 4 4 ∈ ℂ
6261a1i 11 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 4 ∈ ℂ)
63 4ne0 11387 . . . 4 4 ≠ 0
6463a1i 11 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 4 ≠ 0)
6560, 62, 64divcan2d 11057 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))))
6610, 65eqtrd 2799 1 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 · (𝐴 , 𝐵)) = ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520   / cdiv 10938  2c2 11327  4c4 11329  cexp 13067  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  Scalarcsca 16217   ·𝑠 cvsca 16218  ·𝑖cip 16219  Grpcgrp 17689  -gcsg 17691  SubRingcsubrg 19045  LModclmod 19132  fldccnfld 20019  normcnm 22660  NrmGrpcngp 22661  ℂPreHilccph 23244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ico 12383  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-topgen 16370  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-staf 19114  df-srng 19115  df-lmod 19134  df-lmhm 19294  df-lvec 19375  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-phl 20246  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-xms 22404  df-ms 22405  df-nm 22666  df-ngp 22667  df-nlm 22670  df-clm 23141  df-cph 23246
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator