MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4cphipval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4cphipval2 24990
Description: Four times the inner product value cphipval2 24989. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphipfval.p + = (+gβ€˜π‘Š)
cphipfval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
cphipfval.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
cphipfval.i , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipval2.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
cphipval2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphipval2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
4cphipval2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
Proof of Theorem 4cphipval2
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 cphipfval.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 cphipfval.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4 cphipfval.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
5 cphipfval.i . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
6 cphipval2.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 cphipval2.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 cphipval2.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 24989 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 , 𝐡) = (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4))
109oveq2d 7427 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4)))
117, 8cphsubrg 24928 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
12 cnfldbas 21148 . . . . . . . . . . 11 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1312subrgss 20462 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1514adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
16153ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 simp1l 1195 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
18 cphngp 24921 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmGrp)
19 ngpgrp 24328 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ NrmGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ Grp)
2120adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Grp)
221, 2grpcl 18863 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
2321, 22syl3an1 1161 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋)
241, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24944 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ 𝐾)
2517, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ 𝐾)
2616, 25sseldd 3982 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + 𝐡)) ∈ β„‚)
2726sqcld 14113 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) ∈ β„‚)
281, 6grpsubcl 18939 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
2921, 28syl3an1 1161 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋)
301, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24944 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ 𝐾)
3117, 29, 30syl2anc 582 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3982 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
3332sqcld 14113 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) ∈ β„‚)
3427, 33subcld 11575 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) ∈ β„‚)
35 ax-icn 11171 . . . . . 6 i ∈ β„‚
3635a1i 11 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ β„‚)
3717, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ Grp)
38 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
39 cphlmod 24922 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
4039adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
41403ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ LMod)
42 simp1r 1196 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ i ∈ 𝐾)
43 simp3 1136 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
441, 7, 3, 8lmodvscl 20632 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋)
461, 2grpcl 18863 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
4737, 38, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
481, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24944 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
4917, 47, 48syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5016, 49sseldd 3982 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
5150sqcld 14113 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
521, 6grpsubcl 18939 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i Β· 𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
5337, 38, 45, 52syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋)
541, 5, 4, 7, 8cphnmcl 24944 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5517, 53, 54syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ 𝐾)
5616, 55sseldd 3982 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡))) ∈ β„‚)
5756sqcld 14113 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
5851, 57subcld 11575 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
5936, 58mulcld 11238 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
6034, 59addcld 11237 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚)
61 4cn 12301 . . . 4 4 ∈ β„‚
6261a1i 11 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 ∈ β„‚)
63 4ne0 12324 . . . 4 4 β‰  0
6463a1i 11 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 4 β‰  0)
6560, 62, 64divcan2d 11996 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
6610, 65eqtrd 2770 1 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴 , 𝐡)) = ((((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴 + (i Β· 𝐡)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (i Β· 𝐡)))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  β†‘cexp 14031  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Β·π‘–cip 17206  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  SubRingcsubrg 20457  LModclmod 20614  β„‚fldccnfld 21144  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306  β„‚PreHilccph 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-rhm 20363  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nlm 24315  df-clm 24810  df-cph 24916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator