Theorem cphclm 25162

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphclm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem cphclm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphlmod 25147	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4	2, 3	cphsca 25152	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))))
5	2, 3	cphsubrg 25153	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	2, 3	isclm 25037	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
7	1, 4, 5, 6	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  Scalarcsca 17194  SubRingcsubrg 20519  LModclmod 20828  ℂ_fldccnfld 21326  ℂModcclm 25035  ℂPreHilccph 25139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-addf 11119  ax-mulf 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-seq 13939  df-exp 13999  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-subg 19070  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-subrg 20520  df-drng 20681  df-lvec 21072  df-cnfld 21327  df-phl 21598  df-nlm 24547  df-clm 25036  df-cph 25141

This theorem is referenced by:  cphnmvs  25163  cphipcj  25172  cphorthcom  25174  cphip0l  25175  cphip0r  25176  cphipeq0  25177  cphdir  25178  cphdi  25179  cph2di  25180  cphsubdir  25181  cphsubdi  25182  cph2subdi  25183  cphass  25184  cphassr  25185  cph2ass  25186  nmparlem  25212  cphipval  25216  ipcn  25219  csscld  25222  clsocv  25223  minveclem2  25399  pjthlem2  25411