MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphclm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphclm 23711
Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cphclm (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)

Proof of Theorem cphclm
StepHypRef Expression
1 cphlmod 23696 . 2 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2826 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2826 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
42, 3cphsca 23701 . 2 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))))
52, 3cphsubrg 23702 . 2 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld))
62, 3isclm 23586 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂflds (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (SubRing‘ℂfld)))
71, 4, 5, 6syl3anbrc 1337 1 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  s cress 16474  Scalarcsca 16558  SubRingcsubrg 19451  LModclmod 19554  fldccnfld 20464  ℂModcclm 23584  ℂPreHilccph 23688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-subg 18206  df-cmn 18828  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-drng 19424  df-subrg 19453  df-lvec 19795  df-cnfld 20465  df-phl 20689  df-nlm 23114  df-clm 23585  df-cph 23690
This theorem is referenced by:  cphnmvs  23712  cphipcj  23721  cphorthcom  23723  cphip0l  23724  cphip0r  23725  cphipeq0  23726  cphdir  23727  cphdi  23728  cph2di  23729  cphsubdir  23730  cphsubdi  23731  cph2subdi  23732  cphass  23733  cphassr  23734  cph2ass  23735  nmparlem  23760  cphipval  23764  ipcn  23767  csscld  23770  clsocv  23771  minveclem2  23947  pjthlem2  23959
  Copyright terms: Public domain W3C validator