MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphipval 24505
Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p + = (+g𝑊)
cphipfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphipfval.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i , = (·𝑖𝑊)
cphipval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphipval (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐾   𝑘,𝑊   + ,𝑘   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   , (𝑘)

Proof of Theorem cphipval
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑊)
2 cphipfval.p . . 3 + = (+g𝑊)
3 cphipfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
4 cphipfval.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 cphipfval.i . . 3 , = (·𝑖𝑊)
6 eqid 2736 . . 3 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7 cphipval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphipval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 24503 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10 ax-icn 11023 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ ℂ)
12 simp1l 1196 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
13 cphngp 24435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14 ngpgrp 23853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
17163ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
18 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
19 cphlmod 24436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
20193anim1i 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
21203expa 1117 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
221, 7, 3, 8lmodvscl 20238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
251, 2grpcl 18673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
2617, 18, 24, 25syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
271, 5, 4nmsq 24456 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
2812, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
291, 5reipcl 24459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3012, 26, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3130recnd 11096 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
3228, 31eqeltrd 2837 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
3311, 32mulcld 11088 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
3419adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
35343ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
36 cphclm 24451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
377, 8clmneg1 24343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ 𝐾)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → -1 ∈ 𝐾)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → -1 ∈ 𝐾)
40393ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -1 ∈ 𝐾)
41 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
421, 7, 3, 8lmodvscl 20238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ -1 ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
4335, 40, 41, 42syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
441, 2grpcl 18673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
4517, 18, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
461, 5, 4nmsq 24456 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
4712, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
481, 5reipcl 24459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
4912, 45, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
5047, 49eqeltrd 2837 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
5150recnd 11096 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52 addneg1mul 11510 . . . . . . . 8 (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5333, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5436adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
551, 2, 6, 7, 3clmvsubval 24370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5655eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5754, 56syl3an1 1162 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5857fveq2d 6823 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵)))
5958oveq1d 7344 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))
6059oveq2d 7345 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
6153, 60eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
62 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑊) = (invg𝑊)
63543ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂMod)
64 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ 𝐾)
651, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64clmvsneg 24361 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)) = (-i · 𝐵))
6665eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · 𝐵) = ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)))
6766oveq2d 7345 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
681, 2, 62, 6grpsubval 18713 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
6918, 24, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
7067, 69eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))
7170fveq2d 6823 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
7271oveq1d 7344 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))
7372oveq2d 7345 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
7461, 73oveq12d 7347 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
7554anim1i 615 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
76753adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
771, 3clmvs1 24354 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7978oveq2d 7345 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
8079fveq2d 6823 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
8180oveq1d 7344 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
8281oveq2d 7345 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
831, 2grpcl 18673 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
8416, 83syl3an1 1162 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
851, 5, 4nmsq 24456 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
8612, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
871, 5reipcl 24459 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8812, 84, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8986, 88eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
9089recnd 11096 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
9190mulid2d 11086 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9282, 91eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9374, 92oveq12d 7347 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
94 nnuz 12714 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
95 df-4 12131 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
96 oveq2 7337 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = (i↑4))
97 i4 14014 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
9896, 97eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = 1)
9998oveq1d 7344 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
10099oveq2d 7345 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 4 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (1 · 𝐵)))
101100fveq2d 6823 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))))
102101oveq1d 7344 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))
10398, 102oveq12d 7347 . . . . . 6 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))
10410a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → i ∈ ℂ)
105 nnnn0 12333 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
106104, 105expcld 13957 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
107106adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
10812adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
10917adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
11018adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
11135adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ LMod)
11236anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1131123ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1147, 8cmodscexp 24382 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
115113, 114sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
11641adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵𝑋)
1171, 7, 3, 8lmodvscl 20238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑘) ∈ 𝐾𝐵𝑋) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
118111, 115, 116, 117syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
1191, 2grpcl 18673 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
120109, 110, 118, 119syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1211, 5, 4nmsq 24456 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
122108, 120, 121syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
1231, 5reipcl 24459 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
124108, 120, 123syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
125124recnd 11096 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
126122, 125eqeltrd 2837 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
127107, 126mulcld 11088 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
128 df-3 12130 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
129 oveq2 7337 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
130 i3 14013 . . . . . . . . 9 (i↑3) = -i
131129, 130eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
132131oveq1d 7344 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-i · 𝐵))
133132oveq2d 7345 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 3 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-i · 𝐵)))
134133fveq2d 6823 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))))
135134oveq1d 7344 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))
136131, 135oveq12d 7347 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))
13710a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
138105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139137, 138expcld 13957 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
140123recnd 11096 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
141108, 120, 140syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
142122, 141eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
143139, 142mulcld 11088 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
144 df-2 12129 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
145 oveq2 7337 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
146 i2 14012 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
147145, 146eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
148147oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
149148oveq2d 7345 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
150149fveq2d 6823 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
151150oveq1d 7344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))
152147, 151oveq12d 7347 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
153139, 126mulcld 11088 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
154 1z 12443 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
155 oveq2 7337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
156 exp1 13881 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
15710, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑1) = i
158155, 157eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
159158oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (i · 𝐵))
160159oveq2d 7345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
161160fveq2d 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
162161oveq1d 7344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))
163158, 162oveq12d 7347 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
164163fsum1 15550 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
165154, 33, 164sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
166 1nn 12077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
167165, 166jctil 520 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))))
168 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))))
16994, 144, 152, 153, 167, 168fsump1i 15572 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...2)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))))
170 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))))
17194, 128, 136, 143, 169, 170fsump1i 15572 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (3 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...3)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))))
172 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
17394, 95, 103, 127, 171, 172fsump1i 15572 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))))
174173simprd 496 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
1751, 6grpsubcl 18743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
17616, 175syl3an1 1162 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
1771, 5, 4nmsq 24456 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
17812, 176, 177syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
1791, 5reipcl 24459 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
18012, 176, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
181178, 180eqeltrd 2837 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
182181recnd 11096 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
18390, 182subcld 11425 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
1841, 6grpsubcl 18743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
18517, 18, 24, 184syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1861, 5, 4nmsq 24456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
18712, 185, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
1881, 5reipcl 24459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
18912, 185, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
190187, 189eqeltrd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
191190recnd 11096 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19232, 191subcld 11425 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19311, 192mulcld 11088 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
194183, 193addcomd 11270 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
195193, 182, 90subadd23d 11447 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
19611, 32, 191subdid 11524 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
197196oveq1d 7344 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
19811, 191mulcld 11088 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19933, 198, 182sub32d 11457 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
200197, 199eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
201200oveq1d 7344 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
202194, 195, 2013eqtr2d 2782 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
20333, 182subcld 11425 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
204203, 198negsubd 11431 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
20511, 191mulneg1d 11521 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
206205eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
207206oveq2d 7345 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
208204, 207eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
209208oveq1d 7344 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
210202, 209eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
21193, 174, 2103eqtr4rd 2787 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)))
212211oveq1d 7344 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
2139, 212eqtrd 2776 1 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6473  (class class class)co 7329  cc 10962  cr 10963  1c1 10965  ici 10966   + caddc 10967   · cmul 10969  cmin 11298  -cneg 11299   / cdiv 11725  cn 12066  2c2 12121  3c3 12122  4c4 12123  0cn0 12326  cz 12412  ...cfz 13332  cexp 13875  Σcsu 15488  Basecbs 17001  +gcplusg 17051  Scalarcsca 17054   ·𝑠 cvsca 17055  ·𝑖cip 17056  Grpcgrp 18665  invgcminusg 18666  -gcsg 18667  LModclmod 20221  normcnm 23830  NrmGrpcngp 23831  ℂModcclm 24323  ℂPreHilccph 24428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042  ax-addf 11043  ax-mulf 11044
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-q 12782  df-rp 12824  df-xneg 12941  df-xadd 12942  df-xmul 12943  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-starv 17066  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-unif 17074  df-0g 17241  df-topgen 17243  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-cring 19873  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-rnghom 20046  df-drng 20087  df-subrg 20119  df-staf 20203  df-srng 20204  df-lmod 20223  df-lmhm 20382  df-lvec 20463  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-psmet 20687  df-xmet 20688  df-met 20689  df-bl 20690  df-mopn 20691  df-cnfld 20696  df-phl 20929  df-top 22141  df-topon 22158  df-topsp 22180  df-bases 22194  df-xms 23571  df-ms 23572  df-nm 23836  df-ngp 23837  df-nlm 23840  df-clm 24324  df-cph 24430
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator