Theorem cphipval 24407

Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipfval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphipfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphipfval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphipval	⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐾   𝑘,𝑊   + ,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   , (𝑘)

Proof of Theorem cphipval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphipfval.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		cphipfval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		cphipfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		cphipfval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
5		cphipfval.i	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
7		cphipval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		cphipval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cphipval2 24405	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10		ax-icn 10930	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ ℂ)
12		simp1l 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
13		cphngp 24337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14		ngpgrp 23755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
17	16	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
18		simp2 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
19		cphlmod 24338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	3anim1i 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
21	20	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
22	1, 7, 3, 8	lmodvscl 20140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
24	23	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
25	1, 2	grpcl 18585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
26	17, 18, 24, 25	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
27	1, 5, 4	nmsq 24358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
28	12, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
29	1, 5	reipcl 24361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
30	12, 26, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
32	28, 31	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
33	11, 32	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
34	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
35	34	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
36		cphclm 24353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
37	7, 8	clmneg1 24245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ 𝐾)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → -1 ∈ 𝐾)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → -1 ∈ 𝐾)
40	39	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -1 ∈ 𝐾)
41		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
42	1, 7, 3, 8	lmodvscl 20140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ -1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
43	35, 40, 41, 42	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
44	1, 2	grpcl 18585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
45	17, 18, 43, 44	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
46	1, 5, 4	nmsq 24358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
47	12, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
48	1, 5	reipcl 24361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
49	12, 45, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
50	47, 49	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52		addneg1mul 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
53	33, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
54	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
55	1, 2, 6, 7, 3	clmvsubval 24272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
56	55	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
57	54, 56	syl3an1 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
58	57	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
59	58	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))
60	59	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
61	53, 60	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
62		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
63	54	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂMod)
64		simp1r 1197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ 𝐾)
65	1, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64	clmvsneg 24263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵)) = (-i · 𝐵))
66	65	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵)))
67	66	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
68	1, 2, 62, 6	grpsubval 18625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
69	18, 24, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
70	67, 69	eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))
71	70	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
72	71	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))
73	72	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
74	61, 73	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
75	54	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
76	75	3adant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
77	1, 3	clmvs1 24256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
79	78	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
80	79	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
81	80	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
82	81	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
83	1, 2	grpcl 18585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
84	16, 83	syl3an1 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
85	1, 5, 4	nmsq 24358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
86	12, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
87	1, 5	reipcl 24361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
88	12, 84, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
89	86, 88	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
90	89	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
91	90	mulid2d 10993	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
92	82, 91	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
93	74, 92	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
94		nnuz 12621	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
95		df-4 12038	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
96		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = (i↑4))
97		i4 13921	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
98	96, 97	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = 1)
99	98	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
100	99	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (1 · 𝐵)))
101	100	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))))
102	101	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))
103	98, 102	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))
104	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → i ∈ ℂ)
105		nnnn0 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
106	104, 105	expcld 13864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
107	106	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
108	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
109	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
110	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
111	35	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ LMod)
112	36	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
113	112	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
114	7, 8	cmodscexp 24284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
115	113, 114	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
116	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝑋)
117	1, 7, 3, 8	lmodvscl 20140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑘) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
118	111, 115, 116, 117	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
119	1, 2	grpcl 18585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
120	109, 110, 118, 119	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
121	1, 5, 4	nmsq 24358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
122	108, 120, 121	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
123	1, 5	reipcl 24361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
124	108, 120, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
125	124	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
126	122, 125	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
127	107, 126	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
128		df-3 12037	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
129		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
130		i3 13920	. . . . . . . . 9 ⊢ (i↑3) = -i
131	129, 130	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
132	131	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-i · 𝐵))
133	132	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-i · 𝐵)))
134	133	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))))
135	134	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))
136	131, 135	oveq12d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))
137	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
138	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139	137, 138	expcld 13864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
140	123	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
141	108, 120, 140	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
142	122, 141	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
143	139, 142	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
144		df-2 12036	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
145		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
146		i2 13919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
147	145, 146	eqtrdi 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
148	147	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
149	148	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
150	149	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
151	150	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))
152	147, 151	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
153	139, 126	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
154		1z 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
155		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
156		exp1 13788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
157	10, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i↑1) = i
158	155, 157	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
159	158	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (i · 𝐵))
160	159	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
161	160	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
162	161	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))
163	158, 162	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
164	163	fsum1 15459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
165	154, 33, 164	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
166		1nn 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
167	165, 166	jctil 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))))
168		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))))
169	94, 144, 152, 153, 167, 168	fsump1i 15481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...2)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))))
170		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))))
171	94, 128, 136, 143, 169, 170	fsump1i 15481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (3 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...3)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))))
172		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
173	94, 95, 103, 127, 171, 172	fsump1i 15481	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))))
174	173	simprd 496	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
175	1, 6	grpsubcl 18655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
176	16, 175	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
177	1, 5, 4	nmsq 24358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
178	12, 176, 177	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
179	1, 5	reipcl 24361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
180	12, 176, 179	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
181	178, 180	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
182	181	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
183	90, 182	subcld 11332	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
184	1, 6	grpsubcl 18655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
185	17, 18, 24, 184	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
186	1, 5, 4	nmsq 24358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
187	12, 185, 186	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
188	1, 5	reipcl 24361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
189	12, 185, 188	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
190	187, 189	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
191	190	recnd 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
192	32, 191	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
193	11, 192	mulcld 10995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
194	183, 193	addcomd 11177	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))))
195	193, 182, 90	subadd23d 11354	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))))
196	11, 32, 191	subdid 11431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
197	196	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
198	11, 191	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
199	33, 198, 182	sub32d 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
200	197, 199	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
201	200	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
202	194, 195, 201	3eqtr2d 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
203	33, 182	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
204	203, 198	negsubd 11338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
205	11, 191	mulneg1d 11428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
206	205	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
207	206	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
208	204, 207	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
209	208	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
210	202, 209	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
211	93, 174, 210	3eqtr4rd 2789	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)))
212	211	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
213	9, 212	eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Σcsu 15397  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  ·_𝑖cip 16967  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  LModclmod 20123  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733  ℂModcclm 24225  ℂPreHilccph 24330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-phl 20831  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nlm 23742  df-clm 24226  df-cph 24332

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