Theorem cphipval 25526

Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipfval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphipfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphipfval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphipval	⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐾   𝑘,𝑊   + ,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   , (𝑘)

Proof of Theorem cphipval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphipfval.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		cphipfval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		cphipfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		cphipfval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
5		cphipfval.i	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
7		cphipval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		cphipval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cphipval2 25524	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10		ax-icn 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ ℂ)
12		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
13		cphngp 25456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14		ngpgrp 24880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
18		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
19		cphlmod 25457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	3anim1i 1170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
21	20	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
22	1, 7, 3, 8	lmodvscl 21115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
24	23	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
25	1, 2	grpcl 19114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
26	17, 18, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
27	1, 5, 4	nmsq 25477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
28	12, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
29	1, 5	reipcl 25480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
30	12, 26, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
32	28, 31	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
33	11, 32	mulcld 11301	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
34	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
35	34	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
36		cphclm 25472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
37	7, 8	clmneg1 25365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ 𝐾)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → -1 ∈ 𝐾)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → -1 ∈ 𝐾)
40	39	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -1 ∈ 𝐾)
41		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
42	1, 7, 3, 8	lmodvscl 21115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ -1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
43	35, 40, 41, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
44	1, 2	grpcl 19114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
45	17, 18, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
46	1, 5, 4	nmsq 25477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
47	12, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
48	1, 5	reipcl 25480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
49	12, 45, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
50	47, 49	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52		addneg1mul 11728	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
53	33, 51, 52	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
54	36	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
55	1, 2, 6, 7, 3	clmvsubval 25392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
56	55	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
57	54, 56	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
58	57	fveq2d 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
59	58	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))
60	59	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
61	53, 60	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
62		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
63	54	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂMod)
64		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ 𝐾)
65	1, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64	clmvsneg 25383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵)) = (-i · 𝐵))
66	65	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵)))
67	66	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
68	1, 2, 62, 6	grpsubval 19158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
69	18, 24, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
70	67, 69	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))
71	70	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
72	71	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))
73	72	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
74	61, 73	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
75	54	anim1i 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
76	75	3adant2 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
77	1, 3	clmvs1 25376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
78	76, 77	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
79	78	oveq2d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
80	79	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
81	80	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
82	81	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
83	1, 2	grpcl 19114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
84	16, 83	syl3an1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
85	1, 5, 4	nmsq 25477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
86	12, 84, 85	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
87	1, 5	reipcl 25480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
88	12, 84, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
89	86, 88	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
90	89	recnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
91	90	mullidd 11299	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
92	82, 91	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
93	74, 92	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
94		nnuz 12974	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
95		df-4 12377	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
96		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = (i↑4))
97		i4 14316	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
98	96, 97	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = 1)
99	98	oveq1d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
100	99	oveq2d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (1 · 𝐵)))
101	100	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))))
102	101	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))
103	98, 102	oveq12d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))
104	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → i ∈ ℂ)
105		nnnn0 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
106	104, 105	expcld 14258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
107	106	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
108	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
109	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
110	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
111	35	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ LMod)
112	36	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
113	112	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
114	7, 8	cmodscexp 25404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
115	113, 114	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
116	41	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝑋)
117	1, 7, 3, 8	lmodvscl 21115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑘) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
118	111, 115, 116, 117	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
119	1, 2	grpcl 19114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
120	109, 110, 118, 119	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
121	1, 5, 4	nmsq 25477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
122	108, 120, 121	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
123	1, 5	reipcl 25480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
124	108, 120, 123	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
125	124	recnd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
126	122, 125	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
127	107, 126	mulcld 11301	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
128		df-3 12376	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
129		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
130		i3 14315	. . . . . . . . 9 ⊢ (i↑3) = -i
131	129, 130	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
132	131	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-i · 𝐵))
133	132	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-i · 𝐵)))
134	133	fveq2d 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))))
135	134	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))
136	131, 135	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))
137	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
138	105	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139	137, 138	expcld 14258	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
140	123	recnd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
141	108, 120, 140	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
142	122, 141	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
143	139, 142	mulcld 11301	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
144		df-2 12375	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
145		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
146		i2 14314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
147	145, 146	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
148	147	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
149	148	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
150	149	fveq2d 6877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
151	150	oveq1d 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))
152	147, 151	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
153	139, 126	mulcld 11301	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
154		1z 12696	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
155		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
156		exp1 14179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
157	10, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i↑1) = i
158	155, 157	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
159	158	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (i · 𝐵))
160	159	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
161	160	fveq2d 6877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
162	161	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))
163	158, 162	oveq12d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
164	163	fsum1 15881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
165	154, 33, 164	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
166		1nn 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
167	165, 166	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))))
168		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))))
169	94, 144, 152, 153, 167, 168	fsump1i 15903	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...2)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))))
170		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))))
171	94, 128, 136, 143, 169, 170	fsump1i 15903	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (3 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...3)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))))
172		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
173	94, 95, 103, 127, 171, 172	fsump1i 15903	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))))
174	173	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
175	1, 6	grpsubcl 19192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
176	16, 175	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
177	1, 5, 4	nmsq 25477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
178	12, 176, 177	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
179	1, 5	reipcl 25480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
180	12, 176, 179	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
181	178, 180	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
182	181	recnd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
183	90, 182	subcld 11641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
184	1, 6	grpsubcl 19192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
185	17, 18, 24, 184	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
186	1, 5, 4	nmsq 25477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
187	12, 185, 186	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
188	1, 5	reipcl 25480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
189	12, 185, 188	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
190	187, 189	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
191	190	recnd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
192	32, 191	subcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
193	11, 192	mulcld 11301	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
194	183, 193	addcomd 11484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))))
195	193, 182, 90	subadd23d 11663	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))))
196	11, 32, 191	subdid 11742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
197	196	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
198	11, 191	mulcld 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
199	33, 198, 182	sub32d 11673	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
200	197, 199	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
201	200	oveq1d 7423	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
202	194, 195, 201	3eqtr2d 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
203	33, 182	subcld 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
204	203, 198	negsubd 11647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
205	11, 191	mulneg1d 11739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
206	205	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
207	206	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
208	204, 207	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
209	208	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
210	202, 209	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
211	93, 174, 210	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)))
212	211	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
213	9, 212	eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  1c1 11173  ici 11174   + caddc 11175   · cmul 11177   − cmin 11513  -cneg 11514   / cdiv 11943  ℕcn 12305  2c2 12367  3c3 12368  4c4 12369  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ...cfz 13609  ↑cexp 14173  Σcsu 15821  Basecbs 17349  +_gcplusg 17390  Scalarcsca 17393   ·_𝑠 cvsca 17394  ·_𝑖cip 17395  Grpcgrp 19106  inv_gcminusg 19107  -_gcsg 19108  LModclmod 21097  normcnm 24857  NrmGrpcngp 24858  ℂModcclm 25345  ℂPreHilccph 25449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251  ax-mulf 11252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-exp 14174  df-hash 14443  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-clim 15623  df-sum 15822  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-0g 17574  df-topgen 17576  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-ghm 19390  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-rhm 20664  df-subrg 20784  df-drng 20944  df-staf 21058  df-srng 21059  df-lmod 21099  df-lmhm 21259  df-lvec 21340  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-cnfld 21641  df-phl 21894  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-xms 24601  df-ms 24602  df-nm 24863  df-ngp 24864  df-nlm 24867  df-clm 25346  df-cph 25451

This theorem is used by: (None)