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Theorem cphipval 24607
Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p + = (+g𝑊)
cphipfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphipfval.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i , = (·𝑖𝑊)
cphipval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphipval (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐾   𝑘,𝑊   + ,𝑘   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   , (𝑘)

Proof of Theorem cphipval
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑊)
2 cphipfval.p . . 3 + = (+g𝑊)
3 cphipfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
4 cphipfval.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 cphipfval.i . . 3 , = (·𝑖𝑊)
6 eqid 2736 . . 3 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7 cphipval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphipval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 24605 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10 ax-icn 11110 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ ℂ)
12 simp1l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
13 cphngp 24537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14 ngpgrp 23955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
17163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
18 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
19 cphlmod 24538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
20193anim1i 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
21203expa 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
221, 7, 3, 8lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
251, 2grpcl 18756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
2617, 18, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
271, 5, 4nmsq 24558 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
2812, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
291, 5reipcl 24561 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3012, 26, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3130recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
3228, 31eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
3311, 32mulcld 11175 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
3419adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
35343ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
36 cphclm 24553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
377, 8clmneg1 24445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ 𝐾)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → -1 ∈ 𝐾)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → -1 ∈ 𝐾)
40393ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -1 ∈ 𝐾)
41 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
421, 7, 3, 8lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ -1 ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
4335, 40, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
441, 2grpcl 18756 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
4517, 18, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
461, 5, 4nmsq 24558 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
4712, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
481, 5reipcl 24561 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
4912, 45, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
5047, 49eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
5150recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52 addneg1mul 11597 . . . . . . . 8 (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5333, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5436adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
551, 2, 6, 7, 3clmvsubval 24472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5655eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5754, 56syl3an1 1163 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5857fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵)))
5958oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))
6059oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
6153, 60eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
62 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑊) = (invg𝑊)
63543ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂMod)
64 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ 𝐾)
651, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64clmvsneg 24463 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)) = (-i · 𝐵))
6665eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · 𝐵) = ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)))
6766oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
681, 2, 62, 6grpsubval 18796 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
6918, 24, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
7067, 69eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))
7170fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
7271oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))
7372oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
7461, 73oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
7554anim1i 615 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
76753adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
771, 3clmvs1 24456 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7978oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
8079fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
8180oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
8281oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
831, 2grpcl 18756 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
8416, 83syl3an1 1163 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
851, 5, 4nmsq 24558 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
8612, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
871, 5reipcl 24561 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8812, 84, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8986, 88eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
9089recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
9190mulid2d 11173 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9282, 91eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9374, 92oveq12d 7375 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
94 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
95 df-4 12218 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
96 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = (i↑4))
97 i4 14108 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
9896, 97eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = 1)
9998oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
10099oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 4 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (1 · 𝐵)))
101100fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))))
102101oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))
10398, 102oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))
10410a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → i ∈ ℂ)
105 nnnn0 12420 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
106104, 105expcld 14051 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
107106adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
10812adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
10917adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
11018adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
11135adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ LMod)
11236anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1131123ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1147, 8cmodscexp 24484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
115113, 114sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
11641adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵𝑋)
1171, 7, 3, 8lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑘) ∈ 𝐾𝐵𝑋) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
118111, 115, 116, 117syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
1191, 2grpcl 18756 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
120109, 110, 118, 119syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1211, 5, 4nmsq 24558 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
122108, 120, 121syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
1231, 5reipcl 24561 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
124108, 120, 123syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
125124recnd 11183 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
126122, 125eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
127107, 126mulcld 11175 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
128 df-3 12217 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
129 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
130 i3 14107 . . . . . . . . 9 (i↑3) = -i
131129, 130eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
132131oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-i · 𝐵))
133132oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 3 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-i · 𝐵)))
134133fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))))
135134oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))
136131, 135oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))
13710a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
138105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139137, 138expcld 14051 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
140123recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
141108, 120, 140syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
142122, 141eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
143139, 142mulcld 11175 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
144 df-2 12216 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
145 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
146 i2 14106 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
147145, 146eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
148147oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
149148oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
150149fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
151150oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))
152147, 151oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
153139, 126mulcld 11175 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
154 1z 12533 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
155 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
156 exp1 13973 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
15710, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑1) = i
158155, 157eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
159158oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (i · 𝐵))
160159oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
161160fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
162161oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))
163158, 162oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
164163fsum1 15632 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
165154, 33, 164sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
166 1nn 12164 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
167165, 166jctil 520 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))))
168 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))))
16994, 144, 152, 153, 167, 168fsump1i 15654 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...2)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))))
170 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))))
17194, 128, 136, 143, 169, 170fsump1i 15654 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (3 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...3)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))))
172 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
17394, 95, 103, 127, 171, 172fsump1i 15654 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))))
174173simprd 496 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
1751, 6grpsubcl 18827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
17616, 175syl3an1 1163 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
1771, 5, 4nmsq 24558 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
17812, 176, 177syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
1791, 5reipcl 24561 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
18012, 176, 179syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
181178, 180eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
182181recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
18390, 182subcld 11512 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
1841, 6grpsubcl 18827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
18517, 18, 24, 184syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1861, 5, 4nmsq 24558 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
18712, 185, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
1881, 5reipcl 24561 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
18912, 185, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
190187, 189eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
191190recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19232, 191subcld 11512 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19311, 192mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
194183, 193addcomd 11357 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
195193, 182, 90subadd23d 11534 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
19611, 32, 191subdid 11611 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
197196oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
19811, 191mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19933, 198, 182sub32d 11544 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
200197, 199eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
201200oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
202194, 195, 2013eqtr2d 2782 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
20333, 182subcld 11512 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
204203, 198negsubd 11518 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
20511, 191mulneg1d 11608 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
206205eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
207206oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
208204, 207eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
209208oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
210202, 209eqtrd 2776 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
21193, 174, 2103eqtr4rd 2787 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)))
212211oveq1d 7372 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
2139, 212eqtrd 2776 1 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  cexp 13967  Σcsu 15570  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  ·𝑖cip 17138  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  LModclmod 20322  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  ℂModcclm 24425  ℂPreHilccph 24530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lmhm 20483  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-phl 21030  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-clm 24426  df-cph 24532
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