Theorem minveclem6 25371

Description: Lemma for minvec 25373. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
minveclem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
2	1	oveqi 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥)
3		minvec.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		minvec.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		minvec.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
8	6, 7	lssss 20878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10	9	sselda 3956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
11	4, 10	ovresd 7568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
12	2, 11	eqtrid 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
13		minvec.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
14		cphngp 25110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmGrp)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17		minvec.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
18		minvec.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
19		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
20	17, 6, 18, 19	ngpds 24528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
21	16, 4, 10, 20	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
22	12, 21	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
23	22	oveq1d 7414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2))
24		minvec.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
25		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
26		minvec.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
27		minvec.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
28	6, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27	minveclem1 25361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
30	29	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
31	29	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
32		0red 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
33	29	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
34		breq1 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
35	34	ralbidv 3161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
36	35	rspcev 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
37	32, 33, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
38		infrecl 12216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
39	30, 31, 37, 38	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	24, 39	eqeltrid 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
43	42	addridd 11427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
44	23, 43	breq12d 5129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
45		cphlmod 25111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
46	13, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
48	6, 18	lmodvsubcl 20849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋)
49	47, 4, 10, 48	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋)
50	6, 17	nmcl 24540	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)
51	16, 49, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)
52	6, 17	nmge0 24541	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
53	16, 49, 52	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
54		infregelb 12218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
55	30, 31, 37, 32, 54	syl31anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
56	33, 55	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
57	56, 24	breqtrrdi 5158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
58	51, 40, 53, 57	le2sqd 14263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
59	24	breq2i 5124	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
60		infregelb 12218	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
61	30, 31, 37, 51, 60	syl31anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
62	59, 61	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
63	44, 58, 62	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
64	27	raleqi 3301	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤)
65		fvex 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
66	65	rgenw 3054	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
67		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
68		breq2 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
69	67, 68	ralrnmptw 7080	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
70	66, 69	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
71	64, 70	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
72	63, 71	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3457   ⊆ wss 3924  ∅c0 4306   class class class wbr 5116   ↦ cmpt 5198   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  infcinf 9447  ℝcr 11120  0cc0 11121   + caddc 11124   < clt 11261   ≤ cle 11262  2c2 12287  ↑cexp 14068  Basecbs 17213   ↾_s cress 17236  distcds 17265  TopOpenctopn 17420  -_gcsg 18903  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  normcnm 24500  NrmGrpcngp 24501  ℂPreHilccph 25103  CMetSpccms 25269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-seq 14009  df-exp 14069  df-0g 17440  df-topgen 17442  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-xms 24244  df-ms 24245  df-nm 24506  df-ngp 24507  df-nlm 24510  df-cph 25105

This theorem is referenced by:  minveclem7  25372