Theorem minveclem6 24798

Description: Lemma for minvec 24800. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
minveclem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
2	1	oveqi 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥)
3		minvec.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		minvec.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		minvec.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
8	6, 7	lssss 20397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10	9	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
11	4, 10	ovresd 7521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
12	2, 11	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
13		minvec.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
14		cphngp 24537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmGrp)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17		minvec.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
18		minvec.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
19		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
20	17, 6, 18, 19	ngpds 23960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
21	16, 4, 10, 20	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
22	12, 21	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
23	22	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2))
24		minvec.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
25		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
26		minvec.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
27		minvec.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
28	6, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27	minveclem1 24788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
30	29	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
31	29	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
32		0red 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
33	29	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
34		breq1 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
35	34	ralbidv 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
36	35	rspcev 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
37	32, 33, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
38		infrecl 12137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
39	30, 31, 37, 38	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	24, 39	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
43	42	addid1d 11355	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
44	23, 43	breq12d 5118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
45		cphlmod 24538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
46	13, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
47	46	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
48	6, 18	lmodvsubcl 20367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋)
49	47, 4, 10, 48	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋)
50	6, 17	nmcl 23972	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)
51	16, 49, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)
52	6, 17	nmge0 23973	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
53	16, 49, 52	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
54		infregelb 12139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
55	30, 31, 37, 32, 54	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
56	33, 55	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
57	56, 24	breqtrrdi 5147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
58	51, 40, 53, 57	le2sqd 14160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
59	24	breq2i 5113	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
60		infregelb 12139	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
61	30, 31, 37, 51, 60	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
62	59, 61	bitrid 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
63	44, 58, 62	3bitr2d 306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
64	27	raleqi 3311	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤)
65		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
66	65	rgenw 3068	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
67		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
68		breq2 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
69	67, 68	ralrnmptw 7044	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
70	66, 69	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
71	64, 70	bitri 274	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
72	63, 71	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190  2c2 12208  ↑cexp 13967  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  distcds 17142  TopOpenctopn 17303  -_gcsg 18750  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  ℂPreHilccph 24530  CMetSpccms 24696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-seq 13907  df-exp 13968  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nlm 23942  df-cph 24532

This theorem is referenced by:  minveclem7  24799