MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem6 25468
Description: Lemma for minvec 25470. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
21oveqi 7444 . . . . . . 7 (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥)
3 minvec.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑋)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐴𝑋)
5 minvec.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
86, 7lssss 20934 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑋)
109sselda 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
114, 10ovresd 7600 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
122, 11eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
13 minvec.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
14 cphngp 25207 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑈)
18 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
19 eqid 2737 . . . . . . . 8 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
2017, 6, 18, 19ngpds 24617 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2116, 4, 10, 20syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2212, 21eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2322oveq1d 7446 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2))
24 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 25458 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3029simp1d 1143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3129simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
32 0red 11264 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ∈ ℝ)
3329simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
34 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
3534ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3635rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
3732, 33, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
38 infrecl 12250 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3930, 31, 37, 38syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4024, 39eqeltrid 2845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
4140resqcld 14165 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
4241recnd 11289 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
4342addridd 11461 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
4423, 43breq12d 5156 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
45 cphlmod 25208 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
4613, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
486, 18lmodvsubcl 20905 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋)
4947, 4, 10, 48syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋)
506, 17nmcl 24629 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ)
5116, 49, 50syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ)
526, 17nmge0 24630 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
5316, 49, 52syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
54 infregelb 12252 . . . . . . 7 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1375 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5633, 55mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
5756, 24breqtrrdi 5185 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
5851, 40, 53, 57le2sqd 14296 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
5924breq2i 5151 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
60 infregelb 12252 . . . . 5 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1375 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6259, 61bitrid 283 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6344, 58, 623bitr2d 307 . 2 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6427raleqi 3324 . . 3 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤)
65 fvex 6919 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
6665rgenw 3065 . . . 4 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
67 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
68 breq2 5147 . . . . 5 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
6967, 68ralrnmptw 7114 . . . 4 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7066, 69ax-mp 5 . . 3 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
7164, 70bitri 275 . 2 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
7263, 71bitrdi 287 1 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  cexp 14102  Basecbs 17247  s cress 17274  distcds 17306  TopOpenctopn 17466  -gcsg 18953  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  ℂPreHilccph 25200  CMetSpccms 25366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-seq 14043  df-exp 14103  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599  df-cph 25202
This theorem is referenced by:  minveclem7  25469
  Copyright terms: Public domain W3C validator