Theorem minveclem6 25622

Description: Lemma for minvec 25624. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
minveclem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, −   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem6

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
2	1	oveqi 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥)
3		minvec.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5		minvec.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6		minvec.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
7		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
8	6, 7	lssss 21086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9	5, 8	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
10	9	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ 𝑋)
11	4, 10	ovresd 7583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
12	2, 11	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
13		minvec.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
14		cphngp 25361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmGrp)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17		minvec.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
18		minvec.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
19		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
20	17, 6, 18, 19	ngpds 24790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
21	16, 4, 10, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
22	12, 21	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
23	22	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2))
24		minvec.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
25		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
26		minvec.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
27		minvec.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
28	6, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27	minveclem1 25612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
30	29	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
31	29	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
32		0red 11222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ∈ ℝ)
33	29	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
34		breq1 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
35	34	ralbidv 3190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
36	35	rspcev 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
37	32, 33, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
38		infrecl 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
39	30, 31, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
40	24, 39	eqeltrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
41	40	resqcld 14174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
43	42	addridd 11421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
44	23, 43	breq12d 5124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
45		cphlmod 25362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
46	13, 45	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
48	6, 18	lmodvsubcl 21057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋)
49	47, 4, 10, 48	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋)
50	6, 17	nmcl 24802	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)
51	16, 49, 50	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)
52	6, 17	nmge0 24803	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
53	16, 49, 52	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)))
54		infregelb 12210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
55	30, 31, 37, 32, 54	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
56	33, 55	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
57	56, 24	breqtrrdi 5155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
58	51, 40, 53, 57	le2sqd 14306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
59	24	breq2i 5119	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
60		infregelb 12210	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
61	30, 31, 37, 51, 60	syl31anc 1400	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
62	59, 61	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
63	44, 58, 62	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤))
64	27	raleqi 3323	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤)
65		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
66	65	rgenw 3085	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
67		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
68		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
69	67, 68	ralrnmptw 7093	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
70	66, 69	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
71	64, 70	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
72	63, 71	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  infcinf 9404  ℝcr 11110  0cc0 11111   + caddc 11114   < clt 11254   ≤ cle 11255  2c2 12306  ↑cexp 14110  Basecbs 17286   ↾_s cress 17307  distcds 17336  TopOpenctopn 17491  -_gcsg 19025  LModclmod 21010  LSubSpclss 21081  normcnm 24762  NrmGrpcngp 24763  ℂPreHilccph 25354  CMetSpccms 25520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-seq 14051  df-exp 14111  df-0g 17511  df-topgen 17513  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-xms 24506  df-ms 24507  df-nm 24768  df-ngp 24769  df-nlm 24772  df-cph 25356

This theorem is used by:  minveclem7  25623