MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem6 24814
Description: Lemma for minvec 24816. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦, βˆ’   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑁,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
21oveqi 7375 . . . . . . 7 (𝐴𝐷π‘₯) = (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘₯)
3 minvec.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
5 minvec.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
86, 7lssss 20413 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
109sselda 3949 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
114, 10ovresd 7526 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘₯) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
122, 11eqtrid 2789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)π‘₯))
13 minvec.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
14 cphngp 24553 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
17 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
18 minvec.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
19 eqid 2737 . . . . . . . 8 (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜π‘ˆ)
2017, 6, 18, 19ngpds 23976 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)π‘₯) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)))
2116, 4, 10, 20syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)π‘₯) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)))
2212, 21eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴𝐷π‘₯) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)))
2322oveq1d 7377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝐴𝐷π‘₯)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))↑2))
24 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 24804 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
2928adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
3029simp1d 1143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
3129simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
32 0red 11165 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 0 ∈ ℝ)
3329simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
34 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
3534ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
3635rspcev 3584 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
3732, 33, 36syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
38 infrecl 12144 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3930, 31, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4024, 39eqeltrid 2842 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
4140resqcld 14037 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
4241recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝑆↑2) ∈ β„‚)
4342addid1d 11362 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
4423, 43breq12d 5123 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))↑2) ≀ (𝑆↑2)))
45 cphlmod 24554 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
4613, 45syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
4746adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
486, 18lmodvsubcl 20383 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑋)
4947, 4, 10, 48syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑋)
506, 17nmcl 23988 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
5116, 49, 50syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
526, 17nmge0 23989 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)))
5316, 49, 52syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)))
54 infregelb 12146 . . . . . . 7 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1374 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
5633, 55mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
5756, 24breqtrrdi 5152 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ 𝑆)
5851, 40, 53, 57le2sqd 14167 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑆 ↔ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))↑2) ≀ (𝑆↑2)))
5924breq2i 5118 . . . 4 ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑆 ↔ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
60 infregelb 12146 . . . . 5 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀))
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1374 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀))
6259, 61bitrid 283 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑆 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀))
6344, 58, 623bitr2d 307 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀))
6427raleqi 3314 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))(π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀)
65 fvex 6860 . . . . 5 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
6665rgenw 3069 . . . 4 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
67 eqid 2737 . . . . 5 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
68 breq2 5114 . . . . 5 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀 ↔ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
6967, 68ralrnmptw 7049 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))(π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
7066, 69ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))(π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
7164, 70bitri 275 . 2 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
7263, 71bitrdi 287 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (((𝐴𝐷π‘₯)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 0) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197  2c2 12215  β†‘cexp 13974  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  distcds 17149  TopOpenctopn 17310  -gcsg 18757  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949  β„‚PreHilccph 24546  CMetSpccms 24712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-seq 13914  df-exp 13975  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nlm 23958  df-cph 24548
This theorem is referenced by:  minveclem7  24815
  Copyright terms: Public domain W3C validator