MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem6 25282
Description: Lemma for minvec 25284. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
21oveqi 7425 . . . . . . 7 (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥)
3 minvec.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑋)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐴𝑋)
5 minvec.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
86, 7lssss 20779 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑋)
109sselda 3982 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
114, 10ovresd 7578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
122, 11eqtrid 2783 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
13 minvec.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
14 cphngp 25021 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑈)
18 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
19 eqid 2731 . . . . . . . 8 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
2017, 6, 18, 19ngpds 24433 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2116, 4, 10, 20syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2212, 21eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2322oveq1d 7427 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2))
24 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 25272 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3029simp1d 1141 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3129simp2d 1142 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
32 0red 11224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ∈ ℝ)
3329simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
34 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
3534ralbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3635rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
3732, 33, 36syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
38 infrecl 12203 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3930, 31, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4024, 39eqeltrid 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
4140resqcld 14097 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
4241recnd 11249 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
4342addridd 11421 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
4423, 43breq12d 5161 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
45 cphlmod 25022 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
4613, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4746adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
486, 18lmodvsubcl 20749 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋)
4947, 4, 10, 48syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋)
506, 17nmcl 24445 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ)
5116, 49, 50syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ)
526, 17nmge0 24446 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
5316, 49, 52syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
54 infregelb 12205 . . . . . . 7 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5633, 55mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
5756, 24breqtrrdi 5190 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
5851, 40, 53, 57le2sqd 14227 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
5924breq2i 5156 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
60 infregelb 12205 . . . . 5 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6259, 61bitrid 283 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6344, 58, 623bitr2d 307 . 2 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6427raleqi 3322 . . 3 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤)
65 fvex 6904 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
6665rgenw 3064 . . . 4 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
67 eqid 2731 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
68 breq2 5152 . . . . 5 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
6967, 68ralrnmptw 7095 . . . 4 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7066, 69ax-mp 5 . . 3 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
7164, 70bitri 275 . 2 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
7263, 71bitrdi 287 1 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  ran crn 5677  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9442  cr 11115  0cc0 11116   + caddc 11119   < clt 11255  cle 11256  2c2 12274  cexp 14034  Basecbs 17151  s cress 17180  distcds 17213  TopOpenctopn 17374  -gcsg 18863  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  normcnm 24405  NrmGrpcngp 24406  ℂPreHilccph 25014  CMetSpccms 25180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-seq 13974  df-exp 14035  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-xms 24146  df-ms 24147  df-nm 24411  df-ngp 24412  df-nlm 24415  df-cph 25016
This theorem is referenced by:  minveclem7  25283
  Copyright terms: Public domain W3C validator