MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem1 24188
Description: Lemma for minvec 24200. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minveclem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐽,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑋,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2 minvec.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 23937 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
5 cphlmod 23938 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
62, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
76adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
98adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
10 minvec.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
11 minvec.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑈)
12 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1311, 12lssss 19839 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
1410, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1514sselda 3887 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
16 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1711, 16lmodvsubcl 19810 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
187, 9, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
19 minvec.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑈)
2011, 19nmcl 23381 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
214, 18, 20syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
2221fmpttd 6901 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ)
2322frnd 6522 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
241, 23eqsstrid 3935 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2512lssn0 19843 . . . 4 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ≠ ∅)
2610, 25syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
271eqeq1i 2744 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
28 dm0rn0 5778 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
29 fvex 6699 . . . . . . 7 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
30 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
3129, 30dmmpti 6491 . . . . . 6 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = 𝑌
3231eqeq1i 2744 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3327, 28, 323bitr2i 302 . . . 4 (𝑅 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3433necon3bii 2987 . . 3 (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅)
3526, 34sylibr 237 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
3611, 19nmge0 23382 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
374, 18, 36syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
3837ralrimiva 3097 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
3929rgenw 3066 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
40 breq2 5044 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4130, 40ralrnmptw 6882 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4239, 41ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4338, 42sylibr 237 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
441raleqi 3315 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
4543, 44sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
4624, 35, 453jca 1129 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  Vcvv 3400  wss 3853  c0 4221   class class class wbr 5040  cmpt 5120  dom cdm 5535  ran crn 5536  cfv 6349  (class class class)co 7182  cr 10626  0cc0 10627  cle 10766  Basecbs 16598  s cress 16599  TopOpenctopn 16810  -gcsg 18233  LModclmod 19765  LSubSpclss 19834  normcnm 23341  NrmGrpcngp 23342  ℂPreHilccph 23930  CMetSpccms 24096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-0g 16830  df-topgen 16832  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-xms 23085  df-ms 23086  df-nm 23347  df-ngp 23348  df-nlm 23351  df-cph 23932
This theorem is referenced by:  minveclem4c  24189  minveclem2  24190  minveclem3b  24192  minveclem4  24196  minveclem6  24198
  Copyright terms: Public domain W3C validator