MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem1 24804
Description: Lemma for minvec 24816. The set of all distances from points of π‘Œ to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minveclem1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑀, βˆ’   𝑀,𝐴,𝑦   𝑀,𝐽,𝑦   𝑀,𝑁,𝑦   πœ‘,𝑀,𝑦   𝑀,𝑅,𝑦   𝑀,π‘ˆ,𝑦   𝑀,𝑋,𝑦   𝑀,π‘Œ,𝑦

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
2 minvec.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
3 cphngp 24553 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
5 cphlmod 24554 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
62, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
10 minvec.y . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
11 minvec.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
1311, 12lssss 20413 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
1410, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
1514sselda 3949 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
16 minvec.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
1711, 16lmodvsubcl 20383 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∈ 𝑋)
187, 9, 15, 17syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∈ 𝑋)
19 minvec.n . . . . . . 7 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
2011, 19nmcl 23988 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
214, 18, 20syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
2221fmpttd 7068 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))):π‘ŒβŸΆβ„)
2322frnd 6681 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) βŠ† ℝ)
241, 23eqsstrid 3997 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
2512lssn0 20417 . . . 4 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
2610, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  βˆ…)
271eqeq1i 2742 . . . . 5 (𝑅 = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = βˆ…)
28 dm0rn0 5885 . . . . 5 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = βˆ… ↔ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = βˆ…)
29 fvex 6860 . . . . . . 7 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
30 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
3129, 30dmmpti 6650 . . . . . 6 dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = π‘Œ
3231eqeq1i 2742 . . . . 5 (dom (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = βˆ… ↔ π‘Œ = βˆ…)
3327, 28, 323bitr2i 299 . . . 4 (𝑅 = βˆ… ↔ π‘Œ = βˆ…)
3433necon3bii 2997 . . 3 (𝑅 β‰  βˆ… ↔ π‘Œ β‰  βˆ…)
3526, 34sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
3611, 19nmge0 23989 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ 𝑦) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
374, 18, 36syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
3837ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
3929rgenw 3069 . . . . 5 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
40 breq2 5114 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
4130, 40ralrnmptw 7049 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
4239, 41ax-mp 5 . . . 4 (βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 0 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
4338, 42sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))0 ≀ 𝑀)
441raleqi 3314 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))0 ≀ 𝑀)
4543, 44sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
4624, 35, 453jca 1129 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   ≀ cle 11197  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  TopOpenctopn 17310  -gcsg 18757  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949  β„‚PreHilccph 24546  CMetSpccms 24712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-0g 17330  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nlm 23958  df-cph 24548
This theorem is referenced by:  minveclem4c  24805  minveclem2  24806  minveclem3b  24808  minveclem4  24812  minveclem6  24814
  Copyright terms: Public domain W3C validator