MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem1 24588
Description: Lemma for minvec 24600. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minveclem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐽,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑋,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2 minvec.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 24337 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
5 cphlmod 24338 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
62, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
10 minvec.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
11 minvec.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑈)
12 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1311, 12lssss 20198 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
1410, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1514sselda 3921 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
16 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1711, 16lmodvsubcl 20168 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
187, 9, 15, 17syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
19 minvec.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑈)
2011, 19nmcl 23772 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
214, 18, 20syl2an2r 682 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
2221fmpttd 6989 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ)
2322frnd 6608 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
241, 23eqsstrid 3969 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2512lssn0 20202 . . . 4 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ≠ ∅)
2610, 25syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
271eqeq1i 2743 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
28 dm0rn0 5834 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
29 fvex 6787 . . . . . . 7 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
30 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
3129, 30dmmpti 6577 . . . . . 6 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = 𝑌
3231eqeq1i 2743 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3327, 28, 323bitr2i 299 . . . 4 (𝑅 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3433necon3bii 2996 . . 3 (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅)
3526, 34sylibr 233 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
3611, 19nmge0 23773 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
374, 18, 36syl2an2r 682 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
3837ralrimiva 3103 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
3929rgenw 3076 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
40 breq2 5078 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4130, 40ralrnmptw 6970 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4239, 41ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4338, 42sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
441raleqi 3346 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
4543, 44sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
4624, 35, 453jca 1127 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3432  wss 3887  c0 4256   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  cle 11010  Basecbs 16912  s cress 16941  TopOpenctopn 17132  -gcsg 18579  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  normcnm 23732  NrmGrpcngp 23733  ℂPreHilccph 24330  CMetSpccms 24496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-0g 17152  df-topgen 17154  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-nm 23738  df-ngp 23739  df-nlm 23742  df-cph 24332
This theorem is referenced by:  minveclem4c  24589  minveclem2  24590  minveclem3b  24592  minveclem4  24596  minveclem6  24598
  Copyright terms: Public domain W3C validator