Theorem minveclem1 25273

Description: Lemma for minvec 25285. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
minveclem1	⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑤, −   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐽,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑋,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minveclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
2		minvec.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
3		cphngp 25022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmGrp)
5		cphlmod 25023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
8		minvec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10		minvec.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
11		minvec.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
12		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13	11, 12	lssss 20772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
15	14	sselda 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑋)
16		minvec.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17	11, 16	lmodvsubcl 20742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝑦) ∈ 𝑋)
18	7, 9, 15, 17	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴 − 𝑦) ∈ 𝑋)
19		minvec.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
20	11, 19	nmcl 24446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)
21	4, 18, 20	syl2an2r 682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ ℝ)
22	21	fmpttd 7106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))):𝑌⟶ℝ)
23	22	frnd 6715	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) ⊆ ℝ)
24	1, 23	eqsstrid 4022	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
25	12	lssn0 20776	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ≠ ∅)
26	10, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
27	1	eqeq1i 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = ∅)
28		dm0rn0 5914	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = ∅)
29		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
30		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
31	29, 30	dmmpti 6684	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = 𝑌
32	31	eqeq1i 2729	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
33	27, 28, 32	3bitr2i 299	. . . 4 ⊢ (𝑅 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
34	33	necon3bii 2985	. . 3 ⊢ (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅)
35	26, 34	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
36	11, 19	nmge0 24447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − 𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
37	4, 18, 36	syl2an2r 682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
38	37	ralrimiva 3138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
39	29	rgenw 3057	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
40		breq2 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
41	30, 40	ralrnmptw 7085	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
42	39, 41	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
43	38, 42	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
44	1	raleqi 3315	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
45	43, 44	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
46	24, 35, 45	3jca 1125	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  ran crn 5667  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  0cc0 11105   ≤ cle 11245  Basecbs 17142   ↾_s cress 17171  TopOpenctopn 17365  -_gcsg 18854  LModclmod 20695  LSubSpclss 20767  normcnm 24406  NrmGrpcngp 24407  ℂPreHilccph 25015  CMetSpccms 25181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-0g 17385  df-topgen 17387  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-xms 24147  df-ms 24148  df-nm 24412  df-ngp 24413  df-nlm 24416  df-cph 25017

This theorem is referenced by:  minveclem4c  25274  minveclem2  25275  minveclem3b  25277  minveclem4  25281  minveclem6  25283