MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2ass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cph2ass 25061
Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. See his35 30775. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
cphipcj.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
cphass.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphass.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cph2ass ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢) , (𝐡 Β· 𝐷)) = ((𝐴 Β· (βˆ—β€˜π΅)) Β· (𝐢 , 𝐷)))
Proof of Theorem cph2ass
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 simp2r 1199 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
3 simp3l 1200 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
4 simp3r 1201 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
5 cphipcj.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
6 cphipcj.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 cphass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 cphass.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
9 cphass.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
105, 6, 7, 8, 9cphassr 25060 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 , (𝐡 Β· 𝐷)) = ((βˆ—β€˜π΅) Β· (𝐢 , 𝐷)))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 , (𝐡 Β· 𝐷)) = ((βˆ—β€˜π΅) Β· (𝐢 , 𝐷)))
1211oveq2d 7428 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· (𝐢 , (𝐡 Β· 𝐷))) = (𝐴 Β· ((βˆ—β€˜π΅) Β· (𝐢 , 𝐷))))
13 simp2l 1198 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
14 cphlmod 25022 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
15143ad2ant1 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
166, 7, 9, 8lmodvscl 20720 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝐷) ∈ 𝑉)
1715, 2, 4, 16syl3anc 1370 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 Β· 𝐷) ∈ 𝑉)
185, 6, 7, 8, 9cphass 25059 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝐷) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢) , (𝐡 Β· 𝐷)) = (𝐴 Β· (𝐢 , (𝐡 Β· 𝐷))))
191, 13, 3, 17, 18syl13anc 1371 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢) , (𝐡 Β· 𝐷)) = (𝐴 Β· (𝐢 , (𝐡 Β· 𝐷))))
20 cphclm 25037 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
21203ad2ant1 1132 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
227, 8clmsscn 24926 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
2423, 13sseldd 3983 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2523, 2sseldd 3983 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2625cjcld 15150 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (βˆ—β€˜π΅) ∈ β„‚)
276, 5cphipcl 25039 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 , 𝐷) ∈ β„‚)
28273expb 1119 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 , 𝐷) ∈ β„‚)
29283adant2 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐢 , 𝐷) ∈ β„‚)
3024, 26, 29mulassd 11244 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· (βˆ—β€˜π΅)) Β· (𝐢 , 𝐷)) = (𝐴 Β· ((βˆ—β€˜π΅) Β· (𝐢 , 𝐷))))
3112, 19, 303eqtr4d 2781 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) ∧ (𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 Β· 𝐢) , (𝐡 Β· 𝐷)) = ((𝐴 Β· (βˆ—β€˜π΅)) Β· (𝐢 , 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114   Β· cmul 11121  βˆ—ccj 15050  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Β·π‘–cip 17209  LModclmod 20702  β„‚Modcclm 24909  β„‚PreHilccph 25014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-rhm 20370  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21234  df-phl 21489  df-nlm 24415  df-clm 24910  df-cph 25016
This theorem is referenced by:  pjthlem1  25285
  Copyright terms: Public domain W3C validator