Theorem pjthlem2 25666

Description: Lemma for pjth 25667. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjthlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
pjthlem.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
pjthlem.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
pjthlem.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
pjthlem.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
pjthlem.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjthlem.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
pjthlem.o	⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjthlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pjthlem2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))

Proof of Theorem pjthlem2

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		pjthlem.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
3		pjthlem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4		pjthlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂHil)
5		hlcph 25592	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
7		pjthlem.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐿)
8		pjthlem.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
9	7, 8	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		pjthlem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
11		hlcms 25594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ CMetSp)
12	4, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMetSp)
13	1, 8	lssss 21120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
14	7, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑈) = (𝑊 ↾s 𝑈)
16		pjthlem.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
17	15, 1, 16	cmsss 25579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
18	12, 14, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑊 ↾s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
19	10, 18	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑈) ∈ CMetSp)
20		pjthlem.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
21	1, 2, 3, 6, 9, 19, 20	minvec 25664	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
22		reurex 3369	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
23	21, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
24	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
25		cphlmod 25402	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
26	24, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑊 ∈ LMod)
27		lmodabl 21093	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
28	26, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Abel)
29	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑈 ∈ 𝐿)
30	29, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
31		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
32	30, 31	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
33	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝐴 ∈ 𝑉)
34		pjthlem.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
35	1, 34, 2	ablpncan3 19943	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) = 𝐴)
36	28, 32, 33, 35	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) = 𝐴)
37	8	lsssssubg 21142	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
38	26, 37	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
39	38, 29	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40		cphphl 25399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
41	24, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑊 ∈ PreHil)
42		pjthlem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (ocv‘𝑊)
43	1, 42, 8	ocvlss 21885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
44	41, 30, 43	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → (𝑂‘𝑈) ∈ 𝐿)
45	38, 44	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → (𝑂‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
46	1, 2	lmodvsubcl 21091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑉)
47	26, 33, 32, 46	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑉)
48		pjthlem.h	. . . . . . . 8 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
49	4	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ ℂHil)
50	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐿)
51	47	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑉)
52		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑧 ∈ 𝑈)
53		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐴 − (𝑤 + 𝑥)))
54	53	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 − (𝑤 + 𝑥))))
55	54	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − (𝑤 + 𝑥)))))
56		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
57	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
58	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐿)
59		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝑤 ∈ 𝑈)
60	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
61	34, 8	lssvacl 21127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑤 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝑈)) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
62	57, 58, 59, 60, 61	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
63	55, 56, 62	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − (𝑤 + 𝑥))))
64		lmodgrp 21051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
65	26, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Grp)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
67	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝐴 ∈ 𝑉)
68	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑉)
69	30	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → 𝑤 ∈ 𝑉)
70	1, 34, 2	grpsubsub4 19156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 − 𝑥) − 𝑤) = (𝐴 − (𝑤 + 𝑥)))
71	66, 67, 68, 69, 70	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → ((𝐴 − 𝑥) − 𝑤) = (𝐴 − (𝑤 + 𝑥)))
72	71	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → (𝑁‘((𝐴 − 𝑥) − 𝑤)) = (𝑁‘(𝐴 − (𝑤 + 𝑥))))
73	63, 72	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑤 ∈ 𝑈) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 − 𝑥) − 𝑤)))
74	73	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → ∀𝑤 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 − 𝑥) − 𝑤)))
75	74	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ∀𝑤 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 − 𝑥) − 𝑤)))
76		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1)) = (((𝐴 − 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1))
77	1, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 75, 76	pjthlem1 25665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝐴 − 𝑥) , 𝑧) = 0)
78	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
79		cphclm 25417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ ℂMod)
81		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
82	81	clm0 25300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
83	80, 82	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
84	77, 83	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑈) → ((𝐴 − 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
85	84	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → ∀𝑧 ∈ 𝑈 ((𝐴 − 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
86		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
87	1, 48, 81, 86, 42	elocv 21881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝑥) ∈ (𝑂‘𝑈) ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑈 ((𝐴 − 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
88	30, 47, 85, 87	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → (𝐴 − 𝑥) ∈ (𝑂‘𝑈))
89		pjthlem.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
90	34, 89	lsmelvali 19777	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑂‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (𝐴 − 𝑥) ∈ (𝑂‘𝑈))) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
91	39, 45, 31, 88, 90	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 − 𝑥)) ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
92	36, 91	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑁‘(𝐴 − 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))) → 𝐴 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))
93	23, 92	rexlimddv 3169	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑈 ⊕ (𝑂‘𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ≤ cle 11268   / cdiv 11895  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342  Scalarcsca 17345  ·_𝑖cip 17347  TopOpenctopn 17506  0_gc0g 17524  Grpcgrp 19057  -_gcsg 19059  SubGrpcsubg 19243  LSSumclsm 19761  Abelcabl 19908  LModclmod 21044  LSubSpclss 21115  PreHilcphl 21837  ocvcocv 21873  Clsdccld 23241  normcnm 24802  ℂModcclm 25290  ℂPreHilccph 25394  CMetSpccms 25560  ℂHilchl 25562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-lsm 19763  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-drng 20892  df-staf 21005  df-srng 21006  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lmhm 21206  df-lvec 21287  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-phl 21839  df-ocv 21876  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-flim 24165  df-fcls 24167  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-nm 24808  df-ngp 24809  df-nlm 24812  df-cncf 25106  df-clm 25291  df-cph 25396  df-cfil 25483  df-cmet 25485  df-cms 25563  df-bn 25564  df-hl 25565

This theorem is used by:  pjth  25667