MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjthlem2 24335
Description: Lemma for pjth 24336. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjthlem.s = (LSSum‘𝑊)
pjthlem.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjthlem.3 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
pjthlem2 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjthlem.m . . . 4 = (-g𝑊)
3 pjthlem.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
4 pjthlem.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
5 hlcph 24261 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
8 pjthlem.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8eleqtrdi 2848 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 pjthlem.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
11 hlcms 24263 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ CMetSp)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ CMetSp)
131, 8lssss 19973 . . . . . . 7 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
147, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑈) = (𝑊s 𝑈)
16 pjthlem.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
1715, 1, 16cmsss 24248 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1812, 14, 17syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1910, 18mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp)
20 pjthlem.4 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 24333 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
22 reurex 3338 . . 3 (∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2321, 22syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
246adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
25 cphlmod 24071 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ LMod)
27 lmodabl 19946 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Abel)
297adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝐿)
3029, 13syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝑉)
31 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑈)
3230, 31sseldd 3902 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑉)
3320adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴𝑉)
34 pjthlem.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
351, 34, 2ablpncan3 19202 . . . 4 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑥𝑉𝐴𝑉)) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
3628, 32, 33, 35syl12anc 837 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
378lsssssubg 19995 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3826, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3938, 29sseldd 3902 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40 cphphl 24068 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
4124, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ PreHil)
42 pjthlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (ocv‘𝑊)
431, 42, 8ocvlss 20634 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑉) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4441, 30, 43syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4538, 44sseldd 3902 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
461, 2lmodvsubcl 19944 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝑥𝑉) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
4726, 33, 32, 46syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
494ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂHil)
5029adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝐿)
5147adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
52 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
53 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝐴 𝑦) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
5453fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
5554breq2d 5065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥)))))
56 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
5726adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5829adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑈𝐿)
59 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑈)
6031adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑈)
6134, 8lssvacl 19991 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑤𝑈𝑥𝑈)) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
6257, 58, 59, 60, 61syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
6355, 56, 62rspcdva 3539 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
64 lmodgrp 19906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
6526, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Grp)
6665adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6733adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝐴𝑉)
6832adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑉)
6930sselda 3901 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑉)
701, 34, 2grpsubsub4 18456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐴𝑉𝑥𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7166, 67, 68, 69, 70syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7271fveq2d 6721 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
7363, 72breqtrrd 5081 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7473ralrimiva 3105 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7574adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
76 eqid 2737 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1)) = (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1))
771, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 75, 76pjthlem1 24334 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = 0)
7824adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
79 cphclm 24086 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂMod)
81 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8281clm0 23969 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8380, 82syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8477, 83eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8584ralrimiva 3105 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
86 eqid 2737 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
871, 48, 81, 86, 42elocv 20630 . . . . 5 ((𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈) ↔ (𝑈𝑉 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8830, 47, 85, 87syl3anbrc 1345 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))
89 pjthlem.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
9034, 89lsmelvali 19039 . . . 4 (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑈 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9139, 45, 31, 88, 90syl22anc 839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9236, 91eqeltrrd 2839 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9323, 92rexlimddv 3210 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  wss 3866   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732  cle 10868   / cdiv 11489  Basecbs 16760  s cress 16784  +gcplusg 16802  Scalarcsca 16805  ·𝑖cip 16807  TopOpenctopn 16926  0gc0g 16944  Grpcgrp 18365  -gcsg 18367  SubGrpcsubg 18537  LSSumclsm 19023  Abelcabl 19171  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968  PreHilcphl 20586  ocvcocv 20622  Clsdccld 21913  normcnm 23474  ℂModcclm 23959  ℂPreHilccph 24063  CMetSpccms 24229  ℂHilchl 24231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-staf 19881  df-srng 19882  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lmhm 20059  df-lvec 20140  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-phl 20588  df-ocv 20625  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-flim 22836  df-fcls 22838  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-nm 23480  df-ngp 23481  df-nlm 23484  df-cncf 23775  df-clm 23960  df-cph 24065  df-cfil 24152  df-cmet 24154  df-cms 24232  df-bn 24233  df-hl 24234
This theorem is referenced by:  pjth  24336
  Copyright terms: Public domain W3C validator