MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjthlem2 25287
Description: Lemma for pjth 25288. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
pjthlem.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
pjthlem.p + = (+gβ€˜π‘Š)
pjthlem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
pjthlem.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
pjthlem.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Hil)
pjthlem.2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
pjthlem.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
pjthlem.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
pjthlem.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
pjthlem.o 𝑂 = (ocvβ€˜π‘Š)
pjthlem.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½))
Assertion
Ref Expression
pjthlem2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 pjthlem.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
3 pjthlem.n . . . 4 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
4 pjthlem.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Hil)
5 hlcph 25213 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
64, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
7 pjthlem.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
8 pjthlem.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
97, 8eleqtrdi 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10 pjthlem.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½))
11 hlcms 25215 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ CMetSp)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ CMetSp)
131, 8lssss 20779 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
147, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
15 eqid 2731 . . . . . . 7 (π‘Š β†Ύs π‘ˆ) = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
16 pjthlem.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
1715, 1, 16cmsss 25200 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ ((π‘Š β†Ύs π‘ˆ) ∈ CMetSp ↔ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1812, 14, 17syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Š β†Ύs π‘ˆ) ∈ CMetSp ↔ π‘ˆ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
1910, 18mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs π‘ˆ) ∈ CMetSp)
20 pjthlem.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 25285 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
22 reurex 3379 . . 3 (βˆƒ!π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
2321, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
246adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
25 cphlmod 25023 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
27 lmodabl 20751 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘Š ∈ Abel)
297adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
3029, 13syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
31 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3230, 31sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
3320adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
34 pjthlem.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
351, 34, 2ablpncan3 19732 . . . 4 ((π‘Š ∈ Abel ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ + (𝐴 βˆ’ π‘₯)) = 𝐴)
3628, 32, 33, 35syl12anc 834 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ (π‘₯ + (𝐴 βˆ’ π‘₯)) = 𝐴)
378lsssssubg 20801 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3826, 37syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ 𝐿 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
3938, 29sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
40 cphphl 25020 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
4124, 40syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
42 pjthlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (ocvβ€˜π‘Š)
431, 42, 8ocvlss 21536 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐿)
4441, 30, 43syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ∈ 𝐿)
4538, 44sseldd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
461, 2lmodvsubcl 20749 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑉)
4726, 33, 32, 46syl3anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑉)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
494ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ β„‚Hil)
5029adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
5147adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑉)
52 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
53 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑀 + π‘₯) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ (𝑀 + π‘₯)))
5453fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑀 + π‘₯) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑀 + π‘₯))))
5554breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑀 + π‘₯) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ↔ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑀 + π‘₯)))))
56 simplrr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
5726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5829adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐿)
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
6031adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
6134, 8lssvacl 20786 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿) ∧ (𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑀 + π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6257, 58, 59, 60, 61syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑀 + π‘₯) ∈ π‘ˆ)
6355, 56, 62rspcdva 3613 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑀 + π‘₯))))
64 lmodgrp 20709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
6526, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ π‘Š ∈ Grp)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ Grp)
6733adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6832adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
6930sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
701, 34, 2grpsubsub4 18959 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 𝑀) = (𝐴 βˆ’ (𝑀 + π‘₯)))
7166, 67, 68, 69, 70syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 𝑀) = (𝐴 βˆ’ (𝑀 + π‘₯)))
7271fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 𝑀)) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ (𝑀 + π‘₯))))
7363, 72breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑀 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 𝑀)))
7473ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 𝑀)))
7574adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 𝑀)))
76 eqid 2731 . . . . . . . 8 (((𝐴 βˆ’ π‘₯) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1)) = (((𝐴 βˆ’ π‘₯) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1))
771, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 75, 76pjthlem1 25286 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) , 𝑧) = 0)
7824adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
79 cphclm 25038 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
81 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
8281clm0 24920 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8380, 82syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 0 = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8477, 83eqtrd 2771 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) , 𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
8584ralrimiva 3145 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) , 𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
86 eqid 2731 . . . . . 6 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
871, 48, 81, 86, 42elocv 21532 . . . . 5 ((𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ ((𝐴 βˆ’ π‘₯) , 𝑧) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
8830, 47, 85, 87syl3anbrc 1342 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ (π‘‚β€˜π‘ˆ))
89 pjthlem.s . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
9034, 89lsmelvali 19566 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘‚β€˜π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ (π‘‚β€˜π‘ˆ))) β†’ (π‘₯ + (𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)))
9139, 45, 31, 88, 90syl22anc 836 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ (π‘₯ + (𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)))
9236, 91eqeltrrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))) β†’ 𝐴 ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)))
9323, 92rexlimddv 3160 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (π‘ˆ βŠ• (π‘‚β€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  βˆƒ!wreu 3373   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ≀ cle 11256   / cdiv 11878  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  +gcplusg 17204  Scalarcsca 17207  Β·π‘–cip 17209  TopOpenctopn 17374  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  -gcsg 18863  SubGrpcsubg 19043  LSSumclsm 19550  Abelcabl 19697  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  PreHilcphl 21488  ocvcocv 21524  Clsdccld 22841  normcnm 24406  β„‚Modcclm 24910  β„‚PreHilccph 25015  CMetSpccms 25181  β„‚Hilchl 25183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-staf 20684  df-srng 20685  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lmhm 20866  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-phl 21490  df-ocv 21527  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-cmp 23212  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-flim 23764  df-fcls 23766  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-nm 24412  df-ngp 24413  df-nlm 24416  df-cncf 24719  df-clm 24911  df-cph 25017  df-cfil 25104  df-cmet 25106  df-cms 25184  df-bn 25185  df-hl 25186
This theorem is referenced by:  pjth  25288
  Copyright terms: Public domain W3C validator