Theorem minveclem2 25740

Description: Lemma for minvec 25750. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minveclem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
minveclem2.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minveclem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑌)
minveclem2.4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)
minveclem2.5	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minveclem2.6	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
minveclem2	⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem minveclem2

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12420	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		minvec.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		minvec.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		minvec.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
5		minvec.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
6		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		minvec.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
8		minvec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minvec.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10		minvec.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11		minvec.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 25739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
13	12	resqcld 14261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14		remulcl 11278	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
15	1, 13, 14	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16		cphngp 25487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17	5, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmGrp)
18		ngpms 24912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)
20		minvec.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
21	2, 20	msmet 24769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
24	2, 23	lssss 21204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
25	6, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
26		minveclem2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑌)
27	25, 26	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
28		minveclem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)
29	25, 28	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑋)
30		metcl 24644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
32	31	resqcld 14261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
33	15, 32	readdcld 11331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34		cphlmod 25488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
35	5, 34	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36		cphclm 25503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ ℂMod)
37	5, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂMod)
38		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
39		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
40	38, 39	clmzss 25392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
41	37, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42		2z 12721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
44	41, 43	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
45		2ne0 12442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
47	38, 39	cphreccl 25495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 2 ≠ 0) → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
48	5, 44, 46, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
49		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
50	49, 23	lssvacl 21211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝐿 ∈ 𝑌)) → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
51	35, 6, 26, 28, 50	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
52		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
53	38, 52, 39, 23	lssvscl 21223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
54	35, 6, 48, 51, 53	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
55	25, 54	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
56	2, 3	lmodvsubcl 21175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
57	35, 8, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
58	2, 4	nmcl 24928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
59	17, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
60	59	resqcld 14261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61		remulcl 11278	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
62	1, 60, 61	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
63	62, 32	readdcld 11331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64		minveclem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
65	13, 64	readdcld 11331	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
66		remulcl 11278	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
67	1, 65, 66	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
68	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 25738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
69	68	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
70	68	simp1d 1160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
71	68	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
72		0re 11303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
73		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
74	73	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
75	74	rspcev 3577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
76	72, 69, 75	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
77	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78		infregelb 12294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
79	70, 71, 76, 77, 78	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
80	69, 79	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
81	80, 11	breqtrrdi 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
83		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
84	83	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
85	84	rspceeqv 3599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
86	54, 82, 85	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
87		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
88		fvex 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
89	87, 88	elrnmpti 5944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
90	86, 89	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
91	90, 10	eleqtrrdi 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92		infrelb 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
93	70, 76, 91, 92	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
94	11, 93	eqbrtrid 5140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
95		le2sq2 14271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
96	12, 81, 59, 94, 95	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
97		4pos 12446	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
98	1, 97	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99		lemul2 12163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
100	98, 99	mp3an3 1479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
101	13, 60, 100	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
102	96, 101	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
103	15, 62, 32, 102	leadd1dd 11923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104		metcl 24644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
105	22, 8, 27, 104	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106	105	resqcld 14261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107		metcl 24644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
108	22, 8, 29, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109	108	resqcld 14261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110		minveclem2.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
111		minveclem2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112	106, 109, 65, 65, 110, 111	le2addd 11928	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
113	65	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
114	113	2timesd 12582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
115	112, 114	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116	106, 109	readdcld 11331	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117		2re 12410	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
118		remulcl 11278	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
119	117, 65, 118	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120		2pos 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
121	117, 120	pm3.2i 476	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122		lemul2 12163	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
123	121, 122	mp3an3 1479	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124	116, 119, 123	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125	115, 124	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
126	2, 3	lmodvsubcl 21175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋)
127	35, 8, 27, 126	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋)
128	2, 3	lmodvsubcl 21175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋)
129	35, 8, 29, 128	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋)
130	2, 49, 3, 4	nmpar 25554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
131	5, 127, 129, 130	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
132		2cn 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
133	59	recnd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
134		sqmul 14255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
135	132, 133, 134	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
136		sq2 14333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
137	136	oveq1i 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
138	135, 137	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
139	2, 4, 52, 38, 39	cphnmvs 25504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
140	5, 44, 57, 139	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
141		0le2 12438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
142		absid 15456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
143	117, 141, 142	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
144	143	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
145	140, 144	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
146	2, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55	lmodsubdi 21187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴) − (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
147		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.g‘𝑈) = (.g‘𝑈)
148	2, 147, 49	mulg2 19286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (𝐴(+g‘𝑈)𝐴))
149	8, 148	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (𝐴(+g‘𝑈)𝐴))
150	2, 147, 52	clmmulg 25415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
151	37, 43, 8, 150	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
152	149, 151	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(+g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
153	2, 49	lmodvacl 21143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
154	35, 27, 29, 153	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
155	2, 52	clmvs1 25407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
156	37, 154, 155	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
157		2thalfe1 12443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
158	157	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
159	2, 38, 52, 39	clmvsass 25403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
160	37, 44, 48, 154, 159	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
161	158, 160	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
162	156, 161	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
163	152, 162	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴) − (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
164		lmodabl 21177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
165	35, 164	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Abel)
166	2, 49, 3	ablsub4 20017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
167	165, 8, 8, 27, 29, 166	syl122anc 1406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
168	146, 163, 167	3eqtr2d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
169	168	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿))))
170	145, 169	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿))))
171	170	oveq1d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2))
172	138, 171	eqtr3d 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2))
173		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
174	4, 2, 3, 173	ngpdsr 24917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
175	17, 27, 29, 174	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
176	20	oveqi 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
177	27, 29	ovresd 7585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
178	176, 177	eqtrid 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
179	2, 3, 165, 8, 27, 29	ablnnncan1 20030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)) = (𝐿 − 𝐾))
180	179	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿))) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
181	175, 178, 180	3eqtr4d 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿))))
182	181	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2))
183	172, 182	oveq12d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)))
184	20	oveqi 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾)
185	8, 27	ovresd 7585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
186	184, 185	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
187	4, 2, 3, 173	ngpds 24916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
188	17, 8, 27, 187	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
189	186, 188	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
190	189	oveq1d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2))
191	20	oveqi 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
192	8, 29	ovresd 7585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
193	191, 192	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
194	4, 2, 3, 173	ngpds 24916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
195	17, 8, 29, 194	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
196	193, 195	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
197	196	oveq1d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))
198	190, 197	oveq12d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2)))
199	198	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
200	131, 183, 199	3eqtr4d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
201		2t2e4 12499	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
202	201	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
203		2cnd 12414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
204	203, 203, 113	mulassd 11325	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
205	202, 204	eqtr3id 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
206	125, 200, 205	3brtr4d 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
207	33, 63, 67, 103, 206	letrd 11460	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
208		4cn 12421	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
209	208	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
210	13	recnd 11330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
211	64	recnd 11330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
212	209, 210, 211	adddid 11326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
213	207, 212	breqtrd 5131	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
214		remulcl 11278	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
215	1, 64, 214	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
216	32, 215, 15	leadd2d 11904	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
217	213, 216	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  infcinf 9426  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337   / cdiv 11966  2c2 12390  4c4 12392  ℤcz 12686  ↑cexp 14197  abscabs 15394  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  +_gcplusg 17421  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  distcds 17430  TopOpenctopn 17585  -_gcsg 19139  ._gcmg 19270  Abelcabl 19988  LModclmod 21128  LSubSpclss 21199  Metcmet 21657  MetSpcms 24630  normcnm 24888  NrmGrpcngp 24889  ℂModcclm 25376  ℂPreHilccph 25480  CMetSpccms 25646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272  ax-mulf 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-0g 17605  df-topgen 17607  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-rhm 20695  df-subrg 20815  df-drng 20975  df-staf 21089  df-srng 21090  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lmhm 21290  df-lvec 21371  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-phl 21925  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-xms 24632  df-ms 24633  df-nm 24894  df-ngp 24895  df-nlm 24898  df-clm 25377  df-cph 25482

This theorem is used by:  minveclem3  25743  minveclem7  25749