Theorem minveclem2 25348

Description: Lemma for minvec 25358. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minveclem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
minveclem2.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minveclem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑌)
minveclem2.4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)
minveclem2.5	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minveclem2.6	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
minveclem2	⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem minveclem2

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12204	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		minvec.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		minvec.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		minvec.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
5		minvec.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
6		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		minvec.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
8		minvec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minvec.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10		minvec.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11		minvec.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 25347	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
13	12	resqcld 14027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14		remulcl 11086	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
15	1, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16		cphngp 25095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17	5, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmGrp)
18		ngpms 24510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)
20		minvec.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
21	2, 20	msmet 24367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
24	2, 23	lssss 20864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
25	6, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
26		minveclem2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑌)
27	25, 26	sseldd 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
28		minveclem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)
29	25, 28	sseldd 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑋)
30		metcl 24242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
32	31	resqcld 14027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
33	15, 32	readdcld 11136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34		cphlmod 25096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36		cphclm 25111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ ℂMod)
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂMod)
38		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
39		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
40	38, 39	clmzss 25000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42		2z 12499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
44	41, 43	sseldd 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
45		2ne0 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
47	38, 39	cphreccl 25103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 2 ≠ 0) → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
48	5, 44, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
49		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
50	49, 23	lssvacl 20871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝐿 ∈ 𝑌)) → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
51	35, 6, 26, 28, 50	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
52		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
53	38, 52, 39, 23	lssvscl 20883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
54	35, 6, 48, 51, 53	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
55	25, 54	sseldd 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
56	2, 3	lmodvsubcl 20835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
57	35, 8, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
58	2, 4	nmcl 24526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
59	17, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
60	59	resqcld 14027	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61		remulcl 11086	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
62	1, 60, 61	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
63	62, 32	readdcld 11136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64		minveclem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
65	13, 64	readdcld 11136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
66		remulcl 11086	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
67	1, 65, 66	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
68	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 25346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
69	68	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
70	68	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
71	68	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
72		0re 11109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
73		breq1 5089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
74	73	ralbidv 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
75	74	rspcev 3572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
76	72, 69, 75	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
77	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78		infregelb 12101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
79	70, 71, 76, 77, 78	syl31anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
80	69, 79	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
81	80, 11	breqtrrdi 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
83		oveq2 7349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
84	83	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
85	84	rspceeqv 3595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
86	54, 82, 85	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
87		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
88		fvex 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
89	87, 88	elrnmpti 5897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
90	86, 89	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
91	90, 10	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92		infrelb 12102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
93	70, 76, 91, 92	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
94	11, 93	eqbrtrid 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
95		le2sq2 14037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
96	12, 81, 59, 94, 95	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
97		4pos 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
98	1, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99		lemul2 11969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
100	98, 99	mp3an3 1452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
101	13, 60, 100	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
102	96, 101	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
103	15, 62, 32, 102	leadd1dd 11726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104		metcl 24242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
105	22, 8, 27, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106	105	resqcld 14027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107		metcl 24242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
108	22, 8, 29, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109	108	resqcld 14027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110		minveclem2.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
111		minveclem2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112	106, 109, 65, 65, 110, 111	le2addd 11731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
113	65	recnd 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
114	113	2timesd 12359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
115	112, 114	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116	106, 109	readdcld 11136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117		2re 12194	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
118		remulcl 11086	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
119	117, 65, 118	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120		2pos 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
121	117, 120	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122		lemul2 11969	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
123	121, 122	mp3an3 1452	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124	116, 119, 123	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125	115, 124	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
126	2, 3	lmodvsubcl 20835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋)
127	35, 8, 27, 126	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋)
128	2, 3	lmodvsubcl 20835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋)
129	35, 8, 29, 128	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋)
130	2, 49, 3, 4	nmpar 25162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
131	5, 127, 129, 130	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
132		2cn 12195	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
133	59	recnd 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
134		sqmul 14021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
135	132, 133, 134	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
136		sq2 14099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
137	136	oveq1i 7351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
138	135, 137	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
139	2, 4, 52, 38, 39	cphnmvs 25112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
140	5, 44, 57, 139	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
141		0le2 12222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
142		absid 15198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
143	117, 141, 142	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
144	143	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
145	140, 144	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
146	2, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55	lmodsubdi 20847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴) − (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
147		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.g‘𝑈) = (.g‘𝑈)
148	2, 147, 49	mulg2 18991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (𝐴(+g‘𝑈)𝐴))
149	8, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (𝐴(+g‘𝑈)𝐴))
150	2, 147, 52	clmmulg 25023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
151	37, 43, 8, 150	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
152	149, 151	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(+g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
153	2, 49	lmodvacl 20803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
154	35, 27, 29, 153	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
155	2, 52	clmvs1 25015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
156	37, 154, 155	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
157	132, 45	recidi 11847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
158	157	oveq1i 7351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
159	2, 38, 52, 39	clmvsass 25011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
160	37, 44, 48, 154, 159	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
161	158, 160	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
162	156, 161	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
163	152, 162	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴) − (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
164		lmodabl 20837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
165	35, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Abel)
166	2, 49, 3	ablsub4 19717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
167	165, 8, 8, 27, 29, 166	syl122anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
168	146, 163, 167	3eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
169	168	fveq2d 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿))))
170	145, 169	eqtr3d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿))))
171	170	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2))
172	138, 171	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2))
173		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
174	4, 2, 3, 173	ngpdsr 24515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
175	17, 27, 29, 174	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
176	20	oveqi 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
177	27, 29	ovresd 7508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
178	176, 177	eqtrid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
179	2, 3, 165, 8, 27, 29	ablnnncan1 19730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)) = (𝐿 − 𝐾))
180	179	fveq2d 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿))) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
181	175, 178, 180	3eqtr4d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿))))
182	181	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2))
183	172, 182	oveq12d 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)))
184	20	oveqi 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾)
185	8, 27	ovresd 7508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
186	184, 185	eqtrid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
187	4, 2, 3, 173	ngpds 24514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
188	17, 8, 27, 187	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
189	186, 188	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
190	189	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2))
191	20	oveqi 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
192	8, 29	ovresd 7508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
193	191, 192	eqtrid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
194	4, 2, 3, 173	ngpds 24514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
195	17, 8, 29, 194	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
196	193, 195	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
197	196	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))
198	190, 197	oveq12d 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2)))
199	198	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
200	131, 183, 199	3eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
201		2t2e4 12279	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
202	201	oveq1i 7351	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
203		2cnd 12198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
204	203, 203, 113	mulassd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
205	202, 204	eqtr3id 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
206	125, 200, 205	3brtr4d 5118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
207	33, 63, 67, 103, 206	letrd 11265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
208		4cn 12205	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
209	208	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
210	13	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
211	64	recnd 11135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
212	209, 210, 211	adddid 11131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
213	207, 212	breqtrd 5112	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
214		remulcl 11086	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
215	1, 64, 214	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
216	32, 215, 15	leadd2d 11707	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
217	213, 216	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609  ran crn 5612   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  infcinf 9320  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142   / cdiv 11769  2c2 12175  4c4 12177  ℤcz 12463  ↑cexp 13963  abscabs 15136  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  +_gcplusg 17156  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  distcds 17165  TopOpenctopn 17320  -_gcsg 18843  ._gcmg 18975  Abelcabl 19688  LModclmod 20788  LSubSpclss 20859  Metcmet 21272  MetSpcms 24228  normcnm 24486  NrmGrpcngp 24487  ℂModcclm 24984  ℂPreHilccph 25088  CMetSpccms 25254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-fz 13403  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-topgen 17342  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-rhm 20385  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-staf 20749  df-srng 20750  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lmhm 20951  df-lvec 21032  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-phl 21558  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-xms 24230  df-ms 24231  df-nm 24492  df-ngp 24493  df-nlm 24496  df-clm 24985  df-cph 25090

This theorem is referenced by:  minveclem3  25351  minveclem7  25357