MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem2 25174
Description: Lemma for minvec 25184. Any two points 𝐾 and 𝐿 in π‘Œ are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minveclem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
minveclem2.2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
minveclem2.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ π‘Œ)
minveclem2.4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
minveclem2.5 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
minveclem2.6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
Assertion
Ref Expression
minveclem2 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑋   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑦)
Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12300 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 minvec.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
4 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
5 minvec.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
6 minvec.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7 minvec.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
9 minvec.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
10 minvec.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
11 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 25173 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
1312resqcld 14094 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14 remulcl 11197 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
151, 13, 14sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16 cphngp 24921 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
18 ngpms 24329 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
20 minvec.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
212, 20msmet 24183 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
23 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
242, 23lssss 20691 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
256, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ π‘Œ)
2725, 26sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
2925, 28sseldd 3982 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑋)
30 metcl 24058 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3122, 27, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3231resqcld 14094 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
3315, 32readdcld 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34 cphlmod 24922 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
36 cphclm 24937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ β„‚Mod)
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚Mod)
38 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
39 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
4038, 39clmzss 24825 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ β„‚Mod β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
42 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„€
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
4441, 43sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
45 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
4738, 39cphreccl 24929 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ β„‚PreHil ∧ 2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ 2 β‰  0) β†’ (1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
485, 44, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
49 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
5049, 23lssvacl 20709 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐾 ∈ π‘Œ ∧ 𝐿 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 835 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)
52 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
5338, 52, 39, 23lssvscl 20710 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)) β†’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ)
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ)
5525, 54sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ 𝑋)
562, 3lmodvsubcl 20661 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋)
5735, 8, 55, 56syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋)
582, 4nmcl 24345 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ)
5917, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ)
6059resqcld 14094 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61 remulcl 11197 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
621, 60, 61sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
6362, 32readdcld 11247 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64 minveclem2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6513, 64readdcld 11247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ)
66 remulcl 11197 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
671, 65, 66sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 25172 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
6968simp3d 1142 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
7068simp1d 1140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
7168simp2d 1141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
72 0re 11220 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
73 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
7473ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
7574rspcev 3611 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
7672, 69, 75sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 12202 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
8069, 79mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 11breqtrrdi 5189 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
82 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
83 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
8483fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
8584rspceeqv 3632 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
8654, 82, 85sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
87 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
88 fvex 6903 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
8987, 88elrnmpti 5958 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
9086, 89sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
9190, 10eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92 infrelb 12203 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
9370, 76, 91, 92syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
9411, 93eqbrtrid 5182 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
95 le2sq2 14104 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑆) ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))) β†’ (𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
9612, 81, 59, 94, 95syl22anc 835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
97 4pos 12323 . . . . . . . . 9 0 < 4
981, 97pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99 lemul2 12071 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10098, 99mp3an3 1448 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10113, 60, 100syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10296, 101mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
10315, 62, 32, 102leadd1dd 11832 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104 metcl 24058 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10522, 8, 27, 104syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106105resqcld 14094 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107 metcl 24058 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10822, 8, 29, 107syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109108resqcld 14094 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110 minveclem2.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
111 minveclem2.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
112106, 109, 65, 65, 110, 111le2addd 11837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (((𝑆↑2) + 𝐡) + ((𝑆↑2) + 𝐡)))
11365recnd 11246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ β„‚)
1141132timesd 12459 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (((𝑆↑2) + 𝐡) + ((𝑆↑2) + 𝐡)))
115112, 114breqtrrd 5175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
116106, 109readdcld 11247 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117 2re 12290 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
118 remulcl 11197 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
119117, 65, 118sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
120 2pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 2
121117, 120pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122 lemul2 12071 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
123121, 122mp3an3 1448 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ) β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
124116, 119, 123syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
125115, 124mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
1262, 3lmodvsubcl 20661 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑋)
12735, 8, 27, 126syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑋)
1282, 3lmodvsubcl 20661 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐿) ∈ 𝑋)
12935, 8, 29, 128syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐿) ∈ 𝑋)
1302, 49, 3, 4nmpar 24988 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐿) ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))))
1315, 127, 129, 130syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))))
132 2cn 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„‚
13359recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ β„‚)
134 sqmul 14088 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
135132, 133, 134sylancr 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
136 sq2 14165 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
137136oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) = (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
138135, 137eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
1392, 4, 52, 38, 39cphnmvs 24938 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ β„‚PreHil ∧ 2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))))
1405, 44, 57, 139syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))))
141 0le2 12318 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ 2
142 absid 15247 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 2) β†’ (absβ€˜2) = 2)
143117, 141, 142mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (absβ€˜2) = 2
144143oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
145140, 144eqtrdi 2786 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))))
1462, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 20673 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = ((2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
147 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.gβ€˜π‘ˆ) = (.gβ€˜π‘ˆ)
1482, 147, 49mulg2 18999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴))
1498, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴))
1502, 147, 52clmmulg 24848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ β„‚Mod ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴))
15137, 43, 8, 150syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴))
152149, 151eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴))
1532, 49lmodvacl 20629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)
15435, 27, 29, 153syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)
1552, 52clmvs1 24840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ β„‚Mod ∧ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))
15637, 154, 155syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))
157132, 45recidi 11949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· (1 / 2)) = 1
158157oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))
1592, 38, 52, 39clmvsass 24836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ β„‚Mod ∧ (2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)) β†’ ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
16037, 44, 48, 154, 159syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
161158, 160eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
162156, 161eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
163152, 162oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
164 lmodabl 20663 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
16535, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
1662, 49, 3ablsub4 19719 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
167165, 8, 8, 27, 29, 166syl122anc 1377 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
168146, 163, 1673eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
169168fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿))))
170145, 169eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿))))
171170oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2))
172138, 171eqtr3d 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) = ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2))
173 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜π‘ˆ)
1744, 2, 3, 173ngpdsr 24334 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐿 βˆ’ 𝐾)))
17517, 27, 29, 174syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐿 βˆ’ 𝐾)))
17620oveqi 7424 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿)
17727, 29ovresd 7576 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿) = (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
178176, 177eqtrid 2782 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
1792, 3, 165, 8, 27, 29ablnnncan1 19732 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)) = (𝐿 βˆ’ 𝐾))
180179fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿))) = (π‘β€˜(𝐿 βˆ’ 𝐾)))
181175, 178, 1803eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) = (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿))))
182181oveq1d 7426 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2))
183172, 182oveq12d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2)))
18420oveqi 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐾)
1858, 27ovresd 7576 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐾) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾))
186184, 185eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾))
1874, 2, 3, 173ngpds 24333 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾)))
18817, 8, 27, 187syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾)))
189186, 188eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾)))
190189oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2))
19120oveqi 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿)
1928, 29ovresd 7576 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
193191, 192eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
1944, 2, 3, 173ngpds 24333 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
19517, 8, 29, 194syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
196193, 195eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
197196oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))
198190, 197oveq12d 7429 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2)))
199198oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))))
200131, 183, 1993eqtr4d 2780 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
201 2t2e4 12380 . . . . . . 7 (2 Β· 2) = 4
202201oveq1i 7421 . . . . . 6 ((2 Β· 2) Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))
203 2cnd 12294 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
204203, 203, 113mulassd 11241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
205202, 204eqtr3id 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
206125, 200, 2053brtr4d 5179 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
20733, 63, 67, 103, 206letrd 11375 . . 3 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
208 4cn 12301 . . . . 5 4 ∈ β„‚
209208a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
21013recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ β„‚)
21164recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
212209, 210, 211adddid 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡)))
213207, 212breqtrd 5173 . 2 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡)))
214 remulcl 11197 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (4 Β· 𝐡) ∈ ℝ)
2151, 64, 214sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐡) ∈ ℝ)
21632, 215, 15leadd2d 11813 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡) ↔ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡))))
217213, 216mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  2c2 12271  4c4 12273  β„€cz 12562  β†‘cexp 14031  abscabs 15185  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  distcds 17210  TopOpenctopn 17371  -gcsg 18857  .gcmg 18986  Abelcabl 19690  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  Metcmet 21130  MetSpcms 24044  normcnm 24305  NrmGrpcngp 24306  β„‚Modcclm 24809  β„‚PreHilccph 24914  CMetSpccms 25080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-nlm 24315  df-clm 24810  df-cph 24916
This theorem is referenced by:  minveclem3  25177  minveclem7  25183
  Copyright terms: Public domain W3C validator