Theorem minveclem2 23735

Description: Lemma for minvec 23745. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minveclem2.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
minveclem2.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minveclem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑌)
minveclem2.4	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)
minveclem2.5	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minveclem2.6	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
minveclem2	⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem minveclem2

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 11528	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		minvec.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
3		minvec.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
4		minvec.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
5		minvec.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
6		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7		minvec.w	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
8		minvec.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
9		minvec.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10		minvec.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
11		minvec.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 23734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
13	12	resqcld 13429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14		remulcl 10422	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
15	1, 13, 14	sylancr 578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16		cphngp 23483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17	5, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ NrmGrp)
18		ngpms 22915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)
20		minvec.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
21	2, 20	msmet 22773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23		eqid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
24	2, 23	lssss 19433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
25	6, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
26		minveclem2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑌)
27	25, 26	sseldd 3861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
28		minveclem2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑌)
29	25, 28	sseldd 3861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑋)
30		metcl 22648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
32	31	resqcld 13429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
33	15, 32	readdcld 10471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34		cphlmod 23484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36		cphclm 23499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ ℂMod)
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂMod)
38		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
39		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
40	38, 39	clmzss 23388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42		2z 11830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
44	41, 43	sseldd 3861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
45		2ne0 11554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
47	38, 39	cphreccl 23491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 2 ≠ 0) → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
48	5, 44, 46, 47	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
49		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
50	49, 23	lssvacl 19451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑌 ∧ 𝐿 ∈ 𝑌)) → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
51	35, 6, 26, 28, 50	syl22anc 826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
52		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑈) = ( ·𝑠 ‘𝑈)
53	38, 52, 39, 23	lssvscl 19452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
54	35, 6, 48, 51, 53	syl22anc 826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
55	25, 54	sseldd 3861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
56	2, 3	lmodvsubcl 19404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
57	35, 8, 55, 56	syl3anc 1351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
58	2, 4	nmcl 22931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
59	17, 57, 58	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
60	59	resqcld 13429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61		remulcl 10422	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
62	1, 60, 61	sylancr 578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
63	62, 32	readdcld 10471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64		minveclem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
65	13, 64	readdcld 10471	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
66		remulcl 10422	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
67	1, 65, 66	sylancr 578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
68	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 23733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
69	68	simp3d 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤)
70	68	simp1d 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ℝ)
71	68	simp2d 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ ∅)
72		0re 10443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
73		breq1 4933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
74	73	ralbidv 3147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
75	74	rspcev 3535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
76	72, 69, 75	sylancr 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤)
77	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78		infregelb 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
79	70, 71, 76, 77, 78	syl31anc 1353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑅 0 ≤ 𝑤))
80	69, 79	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
81	80, 11	syl6breqr 4972	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
83		oveq2 6986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) → (𝐴 − 𝑦) = (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
84	83	fveq2d 6505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
85	84	rspceeqv 3553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
86	54, 82, 85	sylancl 577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
87		eqid 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
88		fvex 6514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)) ∈ V
89	87, 88	elrnmpti 5676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑌 (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
90	86, 89	sylibr 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦))))
91	90, 10	syl6eleqr 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92		infrelb 11429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ 𝑅 𝑥 ≤ 𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
93	70, 76, 91, 92	syl3anc 1351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
94	11, 93	syl5eqbr 4965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
95		le2sq2 13318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
96	12, 81, 59, 94, 95	syl22anc 826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
97		4pos 11557	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
98	1, 97	pm3.2i 463	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99		lemul2 11296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
100	98, 99	mp3an3 1429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
101	13, 60, 100	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))))
102	96, 101	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
103	15, 62, 32, 102	leadd1dd 11057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104		metcl 22648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
105	22, 8, 27, 104	syl3anc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106	105	resqcld 13429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107		metcl 22648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
108	22, 8, 29, 107	syl3anc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109	108	resqcld 13429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110		minveclem2.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
111		minveclem2.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112	106, 109, 65, 65, 110, 111	le2addd 11062	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
113	65	recnd 10470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
114	113	2timesd 11693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
115	112, 114	breqtrrd 4958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116	106, 109	readdcld 10471	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117		2re 11517	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
118		remulcl 10422	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
119	117, 65, 118	sylancr 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120		2pos 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
121	117, 120	pm3.2i 463	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122		lemul2 11296	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
123	121, 122	mp3an3 1429	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124	116, 119, 123	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125	115, 124	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
126	2, 3	lmodvsubcl 19404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋)
127	35, 8, 27, 126	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋)
128	2, 3	lmodvsubcl 19404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋)
129	35, 8, 29, 128	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋)
130	2, 49, 3, 4	nmpar 23549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 − 𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
131	5, 127, 129, 130	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
132		2cn 11518	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
133	59	recnd 10470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
134		sqmul 13303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
135	132, 133, 134	sylancr 578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
136		sq2 13378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
137	136	oveq1i 6988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2))
138	135, 137	syl6eq 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)))
139	2, 4, 52, 38, 39	cphnmvs 23500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
140	5, 44, 57, 139	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
141		0le2 11552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 2
142		absid 14520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
143	117, 141, 142	mp2an 679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘2) = 2
144	143	oveq1i 6988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
145	140, 144	syl6eq 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))))
146	2, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55	lmodsubdi 19416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴) − (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
147		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.g‘𝑈) = (.g‘𝑈)
148	2, 147, 49	mulg2 18025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (𝐴(+g‘𝑈)𝐴))
149	8, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (𝐴(+g‘𝑈)𝐴))
150	2, 147, 52	clmmulg 23411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
151	37, 43, 8, 150	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2(.g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
152	149, 151	eqtr3d 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(+g‘𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴))
153	2, 49	lmodvacl 19373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
154	35, 27, 29, 153	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
155	2, 52	clmvs1 23403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
156	37, 154, 155	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
157	132, 45	recidi 11174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
158	157	oveq1i 6988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))
159	2, 38, 52, 39	clmvsass 23399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
160	37, 44, 48, 154, 159	syl13anc 1352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
161	158, 160	syl5eqr 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
162	156, 161	eqtr3d 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾(+g‘𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))
163	152, 162	oveq12d 6996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠 ‘𝑈)𝐴) − (2( ·𝑠 ‘𝑈)((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))
164		lmodabl 19406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
165	35, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Abel)
166	2, 49, 3	ablsub4 18694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
167	165, 8, 8, 27, 29, 166	syl122anc 1359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝑈)𝐴) − (𝐾(+g‘𝑈)𝐿)) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
168	146, 163, 167	3eqtr2d 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))) = ((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))
169	168	fveq2d 6505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿))))
170	145, 169	eqtr3d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿))))
171	170	oveq1d 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2))
172	138, 171	eqtr3d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2))
173		eqid 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
174	4, 2, 3, 173	ngpdsr 22920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
175	17, 27, 29, 174	syl3anc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
176	20	oveqi 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
177	27, 29	ovresd 7133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
178	176, 177	syl5eq 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
179	2, 3, 165, 8, 27, 29	ablnnncan1 18705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)) = (𝐿 − 𝐾))
180	179	fveq2d 6505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿))) = (𝑁‘(𝐿 − 𝐾)))
181	175, 178, 180	3eqtr4d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿))))
182	181	oveq1d 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2))
183	172, 182	oveq12d 6996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴 − 𝐾)(+g‘𝑈)(𝐴 − 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 − 𝐾) − (𝐴 − 𝐿)))↑2)))
184	20	oveqi 6991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾)
185	8, 27	ovresd 7133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
186	184, 185	syl5eq 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
187	4, 2, 3, 173	ngpds 22919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
188	17, 8, 27, 187	syl3anc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
189	186, 188	eqtrd 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐾)))
190	189	oveq1d 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2))
191	20	oveqi 6991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
192	8, 29	ovresd 7133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
193	191, 192	syl5eq 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
194	4, 2, 3, 173	ngpds 22919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
195	17, 8, 29, 194	syl3anc 1351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
196	193, 195	eqtrd 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴 − 𝐿)))
197	196	oveq1d 6993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))
198	190, 197	oveq12d 6996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2)))
199	198	oveq2d 6994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 − 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐿))↑2))))
200	131, 183, 199	3eqtr4d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
201		2t2e4 11614	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = 4
202	201	oveq1i 6988	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
203		2cnd 11521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
204	203, 203, 113	mulassd 10465	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
205	202, 204	syl5eqr 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
206	125, 200, 205	3brtr4d 4962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 − ((1 / 2)( ·𝑠 ‘𝑈)(𝐾(+g‘𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
207	33, 63, 67, 103, 206	letrd 10599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
208		4cn 11529	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
209	208	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
210	13	recnd 10470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
211	64	recnd 10470	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
212	209, 210, 211	adddid 10466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
213	207, 212	breqtrd 4956	. 2 ⊢ (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
214		remulcl 10422	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
215	1, 64, 214	sylancr 578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
216	32, 215, 15	leadd2d 11038	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
217	213, 216	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3831  ∅c0 4180   class class class wbr 4930   ↦ cmpt 5009   × cxp 5406  ran crn 5409   ↾ cres 5410  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  infcinf 8702  ℂcc 10335  ℝcr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342   < clt 10476   ≤ cle 10477   / cdiv 11100  2c2 11498  4c4 11500  ℤcz 11796  ↑cexp 13247  abscabs 14457  Basecbs 16342   ↾_s cress 16343  +_gcplusg 16424  Scalarcsca 16427   ·_𝑠 cvsca 16428  distcds 16433  TopOpenctopn 16554  -_gcsg 17896  ._gcmg 18014  Abelcabl 18670  LModclmod 19359  LSubSpclss 19428  Metcmet 20236  MetSpcms 22634  normcnm 22892  NrmGrpcngp 22893  ℂModcclm 23372  ℂPreHilccph 23476  CMetSpccms 23641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-tpos 7697  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-q 12166  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-fz 12712  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-0g 16574  df-topgen 16576  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-mulg 18015  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-rnghom 19193  df-drng 19230  df-subrg 19259  df-staf 19341  df-srng 19342  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-lmhm 19519  df-lvec 19600  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-psmet 20242  df-xmet 20243  df-met 20244  df-bl 20245  df-mopn 20246  df-cnfld 20251  df-phl 20475  df-top 21209  df-topon 21226  df-topsp 21248  df-bases 21261  df-xms 22636  df-ms 22637  df-nm 22898  df-ngp 22899  df-nlm 22902  df-clm 23373  df-cph 23478

This theorem is referenced by:  minveclem3  23738  minveclem7  23744