MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem2 25460
Description: Lemma for minvec 25470. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minveclem2.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
minveclem2.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minveclem2.3 (𝜑𝐾𝑌)
minveclem2.4 (𝜑𝐿𝑌)
minveclem2.5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minveclem2.6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
Assertion
Ref Expression
minveclem2 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12350 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
4 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑈)
5 minvec.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7 minvec.w . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
9 minvec.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
11 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 25459 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
1312resqcld 14165 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14 remulcl 11240 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
151, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16 cphngp 25207 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
18 ngpms 24613 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ MetSp)
20 minvec.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
212, 20msmet 24467 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
242, 23lssss 20934 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
256, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑌)
2725, 26sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿𝑌)
2925, 28sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑋)
30 metcl 24342 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3122, 27, 29, 30syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3231resqcld 14165 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
3315, 32readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34 cphlmod 25208 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
36 cphclm 25223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ ℂMod)
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℂMod)
38 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
39 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4038, 39clmzss 25111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4441, 43sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
45 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4738, 39cphreccl 25215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 2 ≠ 0) → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
485, 44, 46, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5049, 23lssvacl 20941 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾𝑌𝐿𝑌)) → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
5338, 52, 39, 23lssvscl 20953 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
5525, 54sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
562, 3lmodvsubcl 20905 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
5735, 8, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
582, 4nmcl 24629 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
5917, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
6059resqcld 14165 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61 remulcl 11240 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
621, 60, 61sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
6362, 32readdcld 11290 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64 minveclem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6513, 64readdcld 11290 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
66 remulcl 11240 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
671, 65, 66sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 25458 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6968simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
7068simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
7168simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
72 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
73 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
7473ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7574rspcev 3622 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
7672, 69, 75sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 12252 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8069, 79mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 11breqtrrdi 5185 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
83 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → (𝐴 𝑦) = (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
8483fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
8584rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8654, 82, 85sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
87 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
88 fvex 6919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
8987, 88elrnmpti 5973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
9086, 89sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
9190, 10eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92 infrelb 12253 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
9370, 76, 91, 92syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
9411, 93eqbrtrid 5178 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
95 le2sq2 14175 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
9612, 81, 59, 94, 95syl22anc 839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
97 4pos 12373 . . . . . . . . 9 0 < 4
981, 97pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99 lemul2 12120 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10098, 99mp3an3 1452 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10113, 60, 100syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10296, 101mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
10315, 62, 32, 102leadd1dd 11877 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104 metcl 24342 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10522, 8, 27, 104syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106105resqcld 14165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107 metcl 24342 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10822, 8, 29, 107syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109108resqcld 14165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110 minveclem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
111 minveclem2.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112106, 109, 65, 65, 110, 111le2addd 11882 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
11365recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
1141132timesd 12509 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
115112, 114breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116106, 109readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
118 remulcl 11240 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
119117, 65, 118sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120 2pos 12369 . . . . . . . . 9 0 < 2
121117, 120pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122 lemul2 12120 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
123121, 122mp3an3 1452 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124116, 119, 123syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125115, 124mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
1262, 3lmodvsubcl 20905 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋)
12735, 8, 27, 126syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋)
1282, 3lmodvsubcl 20905 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋)
12935, 8, 29, 128syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋)
1302, 49, 3, 4nmpar 25274 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
1315, 127, 129, 130syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
132 2cn 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
13359recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
134 sqmul 14159 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
135132, 133, 134sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
136 sq2 14236 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
137136oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
138135, 137eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
1392, 4, 52, 38, 39cphnmvs 25224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
1405, 44, 57, 139syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
141 0le2 12368 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
142 absid 15335 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
143117, 141, 142mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
144143oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
145140, 144eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
1462, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 20917 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠𝑈)𝐴) (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
147 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.g𝑈) = (.g𝑈)
1482, 147, 49mulg2 19101 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑋 → (2(.g𝑈)𝐴) = (𝐴(+g𝑈)𝐴))
1498, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2(.g𝑈)𝐴) = (𝐴(+g𝑈)𝐴))
1502, 147, 52clmmulg 25134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (2(.g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
15137, 43, 8, 150syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2(.g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
152149, 151eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(+g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
1532, 49lmodvacl 20873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
15435, 27, 29, 153syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
1552, 52clmvs1 25126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g𝑈)𝐿))
15637, 154, 155syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g𝑈)𝐿))
157132, 45recidi 11998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 2)) = 1
158157oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))
1592, 38, 52, 39clmvsass 25122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
16037, 44, 48, 154, 159syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
161158, 160eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
162156, 161eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
163152, 162oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠𝑈)𝐴) (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
164 lmodabl 20907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
16535, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
1662, 49, 3ablsub4 19828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐾𝑋𝐿𝑋)) → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
167165, 8, 8, 27, 29, 166syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
168146, 163, 1673eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
169168fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿))))
170145, 169eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿))))
171170oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2))
172138, 171eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2))
173 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
1744, 2, 3, 173ngpdsr 24618 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
17517, 27, 29, 174syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
17620oveqi 7444 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
17727, 29ovresd 7600 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
178176, 177eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
1792, 3, 165, 8, 27, 29ablnnncan1 19841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)) = (𝐿 𝐾))
180179fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿))) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
181175, 178, 1803eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿))))
182181oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2))
183172, 182oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)))
18420oveqi 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾)
1858, 27ovresd 7600 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
186184, 185eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
1874, 2, 3, 173ngpds 24617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
18817, 8, 27, 187syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
189186, 188eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
190189oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2))
19120oveqi 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
1928, 29ovresd 7600 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
193191, 192eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
1944, 2, 3, 173ngpds 24617 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
19517, 8, 29, 194syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
196193, 195eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
197196oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))
198190, 197oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2)))
199198oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
200131, 183, 1993eqtr4d 2787 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
201 2t2e4 12430 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
202201oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
203 2cnd 12344 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
204203, 203, 113mulassd 11284 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
205202, 204eqtr3id 2791 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
206125, 200, 2053brtr4d 5175 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
20733, 63, 67, 103, 206letrd 11418 . . 3 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
208 4cn 12351 . . . . 5 4 ∈ ℂ
209208a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21013recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
21164recnd 11289 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
212209, 210, 211adddid 11285 . . 3 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
213207, 212breqtrd 5169 . 2 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
214 remulcl 11240 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
2151, 64, 214sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
21632, 215, 15leadd2d 11858 . 2 (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
217213, 216mpbird 257 1 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  cz 12613  cexp 14102  abscabs 15273  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  distcds 17306  TopOpenctopn 17466  -gcsg 18953  .gcmg 19085  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  Metcmet 21350  MetSpcms 24328  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590  ℂModcclm 25095  ℂPreHilccph 25200  CMetSpccms 25366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-phl 21644  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nlm 24599  df-clm 25096  df-cph 25202
This theorem is referenced by:  minveclem3  25463  minveclem7  25469
  Copyright terms: Public domain W3C validator