MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem minveclem2 25372
Description: Lemma for minvec 25382. Any two points 𝐾 and 𝐿 in π‘Œ are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
minvec.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
minvec.n 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
minvec.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
minvec.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
minvec.w (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
minvec.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
minveclem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
minveclem2.2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
minveclem2.3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ π‘Œ)
minveclem2.4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
minveclem2.5 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
minveclem2.6 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
Assertion
Ref Expression
minveclem2 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ’   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑋   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿
Allowed substitution hint:   𝐡(𝑦)
Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables 𝑀 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 12326 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 minvec.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
4 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (normβ€˜π‘ˆ)
5 minvec.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚PreHil)
6 minvec.y . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
7 minvec.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β†Ύs π‘Œ) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
9 minvec.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
10 minvec.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
11 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 25371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
1312resqcld 14121 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14 remulcl 11223 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
151, 13, 14sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16 cphngp 25119 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ NrmGrp)
18 ngpms 24527 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ NrmGrp β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ MetSp)
20 minvec.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
212, 20msmet 24381 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ MetSp β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
23 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
242, 23lssss 20824 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
256, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ π‘Œ)
2725, 26sseldd 3973 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ π‘Œ)
2925, 28sseldd 3973 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑋)
30 metcl 24256 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3122, 27, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3231resqcld 14121 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
3315, 32readdcld 11273 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34 cphlmod 25120 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
36 cphclm 25135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ β„‚PreHil β†’ π‘ˆ ∈ β„‚Mod)
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚Mod)
38 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
39 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
4038, 39clmzss 25023 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ β„‚Mod β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„€ βŠ† (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
42 2z 12624 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„€
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
4441, 43sseldd 3973 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
45 2ne0 12346 . . . . . . . . . . . . 13 2 β‰  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
4738, 39cphreccl 25127 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ β„‚PreHil ∧ 2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ 2 β‰  0) β†’ (1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
485, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
49 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
5049, 23lssvacl 20831 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐾 ∈ π‘Œ ∧ 𝐿 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)
52 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
5338, 52, 39, 23lssvscl 20843 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ π‘Œ)) β†’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ)
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ)
5525, 54sseldd 3973 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ 𝑋)
562, 3lmodvsubcl 20794 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋)
5735, 8, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋)
582, 4nmcl 24543 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ)
5917, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ)
6059resqcld 14121 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61 remulcl 11223 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
621, 60, 61sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
6362, 32readdcld 11273 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64 minveclem2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
6513, 64readdcld 11273 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ)
66 remulcl 11223 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ) β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
671, 65, 66sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 25370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
6968simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀)
7068simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† ℝ)
7168simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 β‰  βˆ…)
72 0re 11246 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
73 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ 𝑀))
7473ralbidv 3168 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
7574rspcev 3601 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
7672, 69, 75sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀)
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 12228 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 βŠ† ℝ ∧ 𝑅 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 0 ≀ 𝑀))
8069, 79mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 11breqtrrdi 5185 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑆)
82 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
83 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
8483fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
8584rspceeqv 3623 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) ∈ π‘Œ ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
8654, 82, 85sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
87 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
88 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)) ∈ V
8987, 88elrnmpti 5956 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘Œ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦)))
9086, 89sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ran (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝑦))))
9190, 10eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ 𝑅)
92 infrelb 12229 . . . . . . . . 9 ((𝑅 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘€ ∈ 𝑅 π‘₯ ≀ 𝑀 ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ 𝑅) β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
9370, 76, 91, 92syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ inf(𝑅, ℝ, < ) ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
9411, 93eqbrtrid 5178 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
95 le2sq2 14131 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑆) ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≀ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))) β†’ (𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
9612, 81, 59, 94, 95syl22anc 837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
97 4pos 12349 . . . . . . . . 9 0 < 4
981, 97pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
99 lemul2 12097 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10098, 99mp3an3 1446 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10113, 60, 100syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) ≀ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2) ↔ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))))
10296, 101mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· (𝑆↑2)) ≀ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
10315, 62, 32, 102leadd1dd 11858 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
104 metcl 24256 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10522, 8, 27, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
106105resqcld 14121 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
107 metcl 24256 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10822, 8, 29, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
109108resqcld 14121 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
110 minveclem2.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
111 minveclem2.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≀ ((𝑆↑2) + 𝐡))
112106, 109, 65, 65, 110, 111le2addd 11863 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (((𝑆↑2) + 𝐡) + ((𝑆↑2) + 𝐡)))
11365recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ β„‚)
1141132timesd 12485 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (((𝑆↑2) + 𝐡) + ((𝑆↑2) + 𝐡)))
115112, 114breqtrrd 5171 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
116106, 109readdcld 11273 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
117 2re 12316 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
118 remulcl 11223 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐡) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
119117, 65, 118sylancr 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ)
120 2pos 12345 . . . . . . . . 9 0 < 2
121117, 120pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
122 lemul2 12097 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
123121, 122mp3an3 1446 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ∈ ℝ) β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
124116, 119, 123syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≀ (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) ↔ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))))
125115, 124mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≀ (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
1262, 3lmodvsubcl 20794 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑋)
12735, 8, 27, 126syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑋)
1282, 3lmodvsubcl 20794 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐿) ∈ 𝑋)
12935, 8, 29, 128syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐿) ∈ 𝑋)
1302, 49, 3, 4nmpar 25186 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐿) ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))))
1315, 127, 129, 130syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))))
132 2cn 12317 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„‚
13359recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ β„‚)
134 sqmul 14115 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
135132, 133, 134sylancr 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
136 sq2 14192 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
137136oveq1i 7426 . . . . . . . . 9 ((2↑2) Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) = (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2))
138135, 137eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)))
1392, 4, 52, 38, 39cphnmvs 25136 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ β„‚PreHil ∧ 2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))))
1405, 44, 57, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))))
141 0le2 12344 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≀ 2
142 absid 15275 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 2) β†’ (absβ€˜2) = 2)
143117, 141, 142mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (absβ€˜2) = 2
144143oveq1i 7426 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜2) Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
145140, 144eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))))
1462, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 20806 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = ((2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
147 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.gβ€˜π‘ˆ) = (.gβ€˜π‘ˆ)
1482, 147, 49mulg2 19042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴))
1498, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴))
1502, 147, 52clmmulg 25046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ β„‚Mod ∧ 2 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴))
15137, 43, 8, 150syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2(.gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴))
152149, 151eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴))
1532, 49lmodvacl 20762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)
15435, 27, 29, 153syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)
1552, 52clmvs1 25038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ β„‚Mod ∧ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋) β†’ (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))
15637, 154, 155syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))
157132, 45recidi 11975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 Β· (1 / 2)) = 1
158157oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))
1592, 38, 52, 39clmvsass 25034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ β„‚Mod ∧ (2 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (1 / 2) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) ∈ 𝑋)) β†’ ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
16037, 44, 48, 154, 159syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (1 / 2))( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
161158, 160eqtr3id 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
162156, 161eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))
163152, 162oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))
164 lmodabl 20796 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
16535, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
1662, 49, 3ablsub4 19769 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ Abel ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
167165, 8, 8, 27, 29, 166syl122anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘ˆ)𝐴) βˆ’ (𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
168146, 163, 1673eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))) = ((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
169168fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(2( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿))))
170145, 169eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))) = (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿))))
171170oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((2 Β· (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿)))))↑2) = ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2))
172138, 171eqtr3d 2767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) = ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2))
173 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜π‘ˆ)
1744, 2, 3, 173ngpdsr 24532 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐿 βˆ’ 𝐾)))
17517, 27, 29, 174syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐿 βˆ’ 𝐾)))
17620oveqi 7429 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿)
17727, 29ovresd 7585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿) = (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
178176, 177eqtrid 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
1792, 3, 165, 8, 27, 29ablnnncan1 19782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)) = (𝐿 βˆ’ 𝐾))
180179fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿))) = (π‘β€˜(𝐿 βˆ’ 𝐾)))
181175, 178, 1803eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐷𝐿) = (π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿))))
182181oveq1d 7431 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2))
183172, 182oveq12d 7434 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾)(+gβ€˜π‘ˆ)(𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2) + ((π‘β€˜((𝐴 βˆ’ 𝐾) βˆ’ (𝐴 βˆ’ 𝐿)))↑2)))
18420oveqi 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐾)
1858, 27ovresd 7585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐾) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾))
186184, 185eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾))
1874, 2, 3, 173ngpds 24531 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾)))
18817, 8, 27, 187syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐾) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾)))
189186, 188eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐾) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾)))
190189oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2))
19120oveqi 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿)
1928, 29ovresd 7585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐿) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
193191, 192eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿))
1944, 2, 3, 173ngpds 24531 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐿 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
19517, 8, 29, 194syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(distβ€˜π‘ˆ)𝐿) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
196193, 195eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷𝐿) = (π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿)))
197196oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))
198190, 197oveq12d 7434 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2)))
199198oveq2d 7432 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐾))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐿))↑2))))
200131, 183, 1993eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 Β· (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
201 2t2e4 12406 . . . . . . 7 (2 Β· 2) = 4
202201oveq1i 7426 . . . . . 6 ((2 Β· 2) Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))
203 2cnd 12320 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
204203, 203, 113mulassd 11267 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
205202, 204eqtr3id 2779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = (2 Β· (2 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡))))
206125, 200, 2053brtr4d 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((4 Β· ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ ((1 / 2)( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)(𝐾(+gβ€˜π‘ˆ)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
20733, 63, 67, 103, 206letrd 11401 . . 3 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)))
208 4cn 12327 . . . . 5 4 ∈ β„‚
209208a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
21013recnd 11272 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆↑2) ∈ β„‚)
21164recnd 11272 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
212209, 210, 211adddid 11268 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· ((𝑆↑2) + 𝐡)) = ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡)))
213207, 212breqtrd 5169 . 2 (πœ‘ β†’ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡)))
214 remulcl 11223 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (4 Β· 𝐡) ∈ ℝ)
2151, 64, 214sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐡) ∈ ℝ)
21632, 215, 15leadd2d 11839 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡) ↔ ((4 Β· (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≀ ((4 Β· (𝑆↑2)) + (4 Β· 𝐡))))
217213, 216mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≀ (4 Β· 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  infcinf 9464  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   < clt 11278   ≀ cle 11279   / cdiv 11901  2c2 12297  4c4 12299  β„€cz 12588  β†‘cexp 14058  abscabs 15213  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  distcds 17241  TopOpenctopn 17402  -gcsg 18896  .gcmg 19027  Abelcabl 19740  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  Metcmet 21269  MetSpcms 24242  normcnm 24503  NrmGrpcngp 24504  β„‚Modcclm 25007  β„‚PreHilccph 25112  CMetSpccms 25278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-staf 20729  df-srng 20730  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lmhm 20911  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-phl 21562  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-xms 24244  df-ms 24245  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-nlm 24513  df-clm 25008  df-cph 25114
This theorem is referenced by:  minveclem3  25375  minveclem7  25381
  Copyright terms: Public domain W3C validator