Theorem nmparlem 25212

Description: Lemma for nmpar 25213. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmpar.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
nmpar.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
nmpar.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmpar.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nmparlem	⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmpar.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		nmpar.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		nmpar.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		nmpar.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		nmpar.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		nmpar.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 25180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8		nmpar.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	1, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6	cph2subdi 25183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
10	7, 9	oveq12d 7388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11		cphclm 25162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
12	4, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
13		nmpar.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		nmpar.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	13, 14	clmsscn 25052	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	12, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
17		cphphl 25144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
19	13, 1, 2, 14	ipcl 21605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
20	18, 5, 5, 19	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
21	13, 1, 2, 14	ipcl 21605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
22	18, 6, 6, 21	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
23	13, 14	clmacl 25057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
24	12, 20, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
25	16, 24	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
26	13, 1, 2, 14	ipcl 21605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
27	18, 5, 6, 26	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
28	13, 1, 2, 14	ipcl 21605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
29	18, 6, 5, 28	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
30	13, 14	clmacl 25057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
32	16, 31	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32, 25	ppncand 11546	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
34	10, 33	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35		cphlmod 25147	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	4, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	2, 3	lmodvacl 20843	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
38	36, 5, 6, 37	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39		nmpar.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
40	2, 1, 39	nmsq 25167	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
41	4, 38, 40	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
42	2, 8	lmodvsubcl 20875	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
43	36, 5, 6, 42	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
44	2, 1, 39	nmsq 25167	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
45	4, 43, 44	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
46	41, 45	oveq12d 7388	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))))
47	2, 1, 39	nmsq 25167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
48	4, 5, 47	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
49	2, 1, 39	nmsq 25167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
50	4, 6, 49	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
51	48, 50	oveq12d 7388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
52	51	oveq2d 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53	25	2timesd 12398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
54	52, 53	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
55	34, 46, 54	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038   + caddc 11043   · cmul 11045   − cmin 11378  2c2 12214  ↑cexp 13998  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  Scalarcsca 17194  ·_𝑖cip 17196  -_gcsg 18882  LModclmod 20828  PreHilcphl 21596  normcnm 24537  ℂModcclm 25035  ℂPreHilccph 25139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119  ax-mulf 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-rhm 20425  df-subrg 20520  df-drng 20681  df-staf 20789  df-srng 20790  df-lmod 20830  df-lmhm 20991  df-lvec 21072  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-cnfld 21327  df-phl 21598  df-nlm 24547  df-clm 25036  df-cph 25141

This theorem is referenced by:  nmpar  25213