MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 24988
Description: Lemma for nmpar 24989. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nmpar.p + = (+gβ€˜π‘Š)
nmpar.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
nmpar.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nmpar.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
nmpar.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nmpar.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nmpar.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
nmpar.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 nmpar.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 24956 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 24959 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))))
11 cphclm 24938 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
1513, 14clmsscn 24827 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 cphphl 24920 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 21406 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 21406 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 24832 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ β„‚)
2613, 1, 2, 14ipcl 21406 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 21406 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 24832 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3983 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
3325, 32, 25ppncand 11616 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
3410, 33eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
35 cphlmod 24923 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 20630 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
402, 1, 39nmsq 24943 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
414, 38, 40syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
422, 8lmodvsubcl 20662 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 24943 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
454, 43, 44syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
4641, 45oveq12d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))))
472, 1, 39nmsq 24943 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 24943 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
504, 6, 49syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
5148, 50oveq12d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
5251oveq2d 7428 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
53252timesd 12460 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5452, 53eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5534, 46, 543eqtr4d 2781 1 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111   + caddc 11116   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449  2c2 12272  β†‘cexp 14032  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205  Β·π‘–cip 17207  -gcsg 18858  LModclmod 20615  PreHilcphl 21397  normcnm 24306  β„‚Modcclm 24810  β„‚PreHilccph 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-rhm 20364  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lmhm 20778  df-lvec 20859  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-phl 21399  df-nlm 24316  df-clm 24811  df-cph 24917
This theorem is referenced by:  nmpar  24989
  Copyright terms: Public domain W3C validator