MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 24619
Description: Lemma for nmpar 24620. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nmpar.p + = (+gβ€˜π‘Š)
nmpar.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
nmpar.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nmpar.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
nmpar.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nmpar.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nmpar.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
nmpar.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 nmpar.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 24587 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 24590 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))))
11 cphclm 24569 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
1513, 14clmsscn 24458 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 cphphl 24551 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 21053 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 21053 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 24463 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3946 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ β„‚)
2613, 1, 2, 14ipcl 21053 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 21053 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 24463 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3946 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
3325, 32, 25ppncand 11557 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
3410, 33eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
35 cphlmod 24554 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 20351 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
402, 1, 39nmsq 24574 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
414, 38, 40syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
422, 8lmodvsubcl 20382 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 24574 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
454, 43, 44syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
4641, 45oveq12d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))))
472, 1, 39nmsq 24574 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 24574 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
504, 6, 49syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
5148, 50oveq12d 7376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
5251oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
53252timesd 12401 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5452, 53eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5534, 46, 543eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  β†‘cexp 13973  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141  Β·π‘–cip 17143  -gcsg 18755  LModclmod 20336  PreHilcphl 21044  normcnm 23948  β„‚Modcclm 24441  β„‚PreHilccph 24546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-subrg 20234  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-cnfld 20813  df-phl 21046  df-nlm 23958  df-clm 24442  df-cph 24548
This theorem is referenced by:  nmpar  24620
  Copyright terms: Public domain W3C validator