MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 24747
Description: Lemma for nmpar 24748. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nmpar.p + = (+gβ€˜π‘Š)
nmpar.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
nmpar.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nmpar.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
nmpar.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nmpar.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nmpar.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
nmpar.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 nmpar.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 24715 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 24718 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))))
11 cphclm 24697 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
1513, 14clmsscn 24586 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 cphphl 24679 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 21177 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 21177 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 24591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ β„‚)
2613, 1, 2, 14ipcl 21177 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 21177 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 24591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
3325, 32, 25ppncand 11607 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
3410, 33eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
35 cphlmod 24682 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 20478 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
402, 1, 39nmsq 24702 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
414, 38, 40syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
422, 8lmodvsubcl 20509 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 24702 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
454, 43, 44syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
4641, 45oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))))
472, 1, 39nmsq 24702 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 24702 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
504, 6, 49syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
5148, 50oveq12d 7423 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
5251oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
53252timesd 12451 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5452, 53eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5534, 46, 543eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  2c2 12263  β†‘cexp 14023  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196  Β·π‘–cip 17198  -gcsg 18817  LModclmod 20463  PreHilcphl 21168  normcnm 24076  β„‚Modcclm 24569  β„‚PreHilccph 24674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-cnfld 20937  df-phl 21170  df-nlm 24086  df-clm 24570  df-cph 24676
This theorem is referenced by:  nmpar  24748
  Copyright terms: Public domain W3C validator