Theorem nmparlem 25454

Description: Lemma for nmpar 25455. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmpar.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
nmpar.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
nmpar.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmpar.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nmparlem	⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmpar.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		nmpar.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		nmpar.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		nmpar.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		nmpar.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		nmpar.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 25422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8		nmpar.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	1, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6	cph2subdi 25425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
10	7, 9	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11		cphclm 25404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
12	4, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
13		nmpar.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		nmpar.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	13, 14	clmsscn 25294	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	12, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
17		cphphl 25386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
18	4, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
19	13, 1, 2, 14	ipcl 21838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
20	18, 5, 5, 19	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
21	13, 1, 2, 14	ipcl 21838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
22	18, 6, 6, 21	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
23	13, 14	clmacl 25299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
24	12, 20, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
25	16, 24	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
26	13, 1, 2, 14	ipcl 21838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
27	18, 5, 6, 26	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
28	13, 1, 2, 14	ipcl 21838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
29	18, 6, 5, 28	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
30	13, 14	clmacl 25299	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
32	16, 31	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32, 25	ppncand 11629	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
34	10, 33	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35		cphlmod 25389	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	4, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	2, 3	lmodvacl 21051	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
38	36, 5, 6, 37	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39		nmpar.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
40	2, 1, 39	nmsq 25409	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
41	4, 38, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
42	2, 8	lmodvsubcl 21083	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
43	36, 5, 6, 42	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
44	2, 1, 39	nmsq 25409	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
45	4, 43, 44	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
46	41, 45	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))))
47	2, 1, 39	nmsq 25409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
48	4, 5, 47	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
49	2, 1, 39	nmsq 25409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
50	4, 6, 49	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
51	48, 50	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
52	51	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53	25	2timesd 12507	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
54	52, 53	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
55	34, 46, 54	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118   + caddc 11123   · cmul 11125   − cmin 11461  2c2 12315  ↑cexp 14120  Basecbs 17296  +_gcplusg 17337  Scalarcsca 17340  ·_𝑖cip 17342  -_gcsg 19051  LModclmod 21036  PreHilcphl 21829  normcnm 24789  ℂModcclm 25277  ℂPreHilccph 25381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199  ax-mulf 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-sup 9410  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-rp 13038  df-fz 13557  df-seq 14061  df-exp 14121  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-0g 17521  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-subg 19238  df-ghm 19333  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-cring 20367  df-oppr 20470  df-dvdsr 20490  df-unit 20491  df-rhm 20605  df-subrg 20724  df-drng 20884  df-staf 20997  df-srng 20998  df-lmod 21038  df-lmhm 21198  df-lvec 21279  df-sra 21349  df-rgmod 21350  df-cnfld 21578  df-phl 21831  df-nlm 24799  df-clm 25278  df-cph 25383

This theorem is used by:  nmpar  25455