MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 24756
Description: Lemma for nmpar 24757. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nmpar.p + = (+gβ€˜π‘Š)
nmpar.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
nmpar.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nmpar.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
nmpar.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nmpar.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nmpar.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
nmpar.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 nmpar.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 24724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 24727 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))))
11 cphclm 24706 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
1513, 14clmsscn 24595 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 cphphl 24688 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 21186 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 21186 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 24600 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ β„‚)
2613, 1, 2, 14ipcl 21186 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 21186 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 24600 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
3325, 32, 25ppncand 11611 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
3410, 33eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
35 cphlmod 24691 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 20486 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
402, 1, 39nmsq 24711 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
414, 38, 40syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
422, 8lmodvsubcl 20517 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 24711 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
454, 43, 44syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
4641, 45oveq12d 7427 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))))
472, 1, 39nmsq 24711 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 24711 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
504, 6, 49syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
5148, 50oveq12d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
5251oveq2d 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
53252timesd 12455 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5452, 53eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5534, 46, 543eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  2c2 12267  β†‘cexp 14027  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200  Β·π‘–cip 17202  -gcsg 18821  LModclmod 20471  PreHilcphl 21177  normcnm 24085  β„‚Modcclm 24578  β„‚PreHilccph 24683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-phl 21179  df-nlm 24095  df-clm 24579  df-cph 24685
This theorem is referenced by:  nmpar  24757
  Copyright terms: Public domain W3C validator