Theorem nmparlem 25137

Description: Lemma for nmpar 25138. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmpar.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
nmpar.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
nmpar.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmpar.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
nmparlem	⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmpar.h	. . . . 5 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
2		nmpar.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		nmpar.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		nmpar.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
5		nmpar.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		nmpar.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	cph2di 25105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8		nmpar.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
9	1, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6	cph2subdi 25108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
10	7, 9	oveq12d 7367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11		cphclm 25087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
12	4, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂMod)
13		nmpar.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14		nmpar.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	13, 14	clmsscn 24977	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	12, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
17		cphphl 25069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
18	4, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
19	13, 1, 2, 14	ipcl 21540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
20	18, 5, 5, 19	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
21	13, 1, 2, 14	ipcl 21540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
22	18, 6, 6, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
23	13, 14	clmacl 24982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
24	12, 20, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
25	16, 24	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
26	13, 1, 2, 14	ipcl 21540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
27	18, 5, 6, 26	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
28	13, 1, 2, 14	ipcl 21540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
29	18, 6, 5, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
30	13, 14	clmacl 24982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
31	12, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
32	16, 31	sseldd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
33	25, 32, 25	ppncand 11515	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
34	10, 33	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35		cphlmod 25072	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
36	4, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	2, 3	lmodvacl 20778	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
38	36, 5, 6, 37	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39		nmpar.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
40	2, 1, 39	nmsq 25092	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
41	4, 38, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
42	2, 8	lmodvsubcl 20810	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
43	36, 5, 6, 42	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉)
44	2, 1, 39	nmsq 25092	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
45	4, 43, 44	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2) = ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵)))
46	41, 45	oveq12d 7367	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 − 𝐵) , (𝐴 − 𝐵))))
47	2, 1, 39	nmsq 25092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
48	4, 5, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
49	2, 1, 39	nmsq 25092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
50	4, 6, 49	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
51	48, 50	oveq12d 7367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
52	51	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53	25	2timesd 12367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
54	52, 53	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
55	34, 46, 54	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 − 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  2c2 12183  ↑cexp 13968  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164  ·_𝑖cip 17166  -_gcsg 18814  LModclmod 20763  PreHilcphl 21531  normcnm 24462  ℂModcclm 24960  ℂPreHilccph 25064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-rhm 20357  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20765  df-lmhm 20926  df-lvec 21007  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-cnfld 21262  df-phl 21533  df-nlm 24472  df-clm 24961  df-cph 25066

This theorem is referenced by:  nmpar  25138