MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 24987
Description: Lemma for nmpar 24988. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
nmpar.p + = (+gβ€˜π‘Š)
nmpar.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
nmpar.n 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
nmpar.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
nmpar.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
nmpar.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
nmpar.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
nmpar.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
nmpar.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 nmpar.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 24955 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 24958 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))))
11 cphclm 24937 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
1513, 14clmsscn 24826 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
17 cphphl 24919 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 21405 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 21405 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 24831 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐡) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) ∈ β„‚)
2613, 1, 2, 14ipcl 21405 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 21405 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 24831 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ (𝐴 , 𝐡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐡 , 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)) ∈ β„‚)
3325, 32, 25ppncand 11615 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) βˆ’ ((𝐴 , 𝐡) + (𝐡 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
3410, 33eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
35 cphlmod 24922 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 20629 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (normβ€˜π‘Š)
402, 1, 39nmsq 24942 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
414, 38, 40syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) = ((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)))
422, 8lmodvsubcl 20661 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 24942 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
454, 43, 44syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2) = ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
4641, 45oveq12d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (((𝐴 + 𝐡) , (𝐴 + 𝐡)) + ((𝐴 βˆ’ 𝐡) , (𝐴 βˆ’ 𝐡))))
472, 1, 39nmsq 24942 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΄)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 24942 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
504, 6, 49syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜π΅)↑2) = (𝐡 , 𝐡))
5148, 50oveq12d 7429 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)))
5251oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
53252timesd 12459 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5452, 53eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐡 , 𝐡))))
5534, 46, 543eqtr4d 2780 1 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜(𝐴 + 𝐡))↑2) + ((π‘β€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡))↑2)) = (2 Β· (((π‘β€˜π΄)↑2) + ((π‘β€˜π΅)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β†‘cexp 14031  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204  Β·π‘–cip 17206  -gcsg 18857  LModclmod 20614  PreHilcphl 21396  normcnm 24305  β„‚Modcclm 24809  β„‚PreHilccph 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-rhm 20363  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-nlm 24315  df-clm 24810  df-cph 24916
This theorem is referenced by:  nmpar  24988
  Copyright terms: Public domain W3C validator