MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 25273
Description: Lemma for nmpar 25274. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p + = (+g𝑊)
nmpar.m = (-g𝑊)
nmpar.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h , = (·𝑖𝑊)
nmpar.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2 (𝜑𝐴𝑉)
nmpar.3 (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
4 nmpar.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 25241 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 = (-g𝑊)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 25244 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11 cphclm 25223 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
1513, 14clmsscn 25112 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
17 cphphl 25205 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 21651 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 21651 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 25117 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3984 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
2613, 1, 2, 14ipcl 21651 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 21651 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 25117 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3984 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
3325, 32, 25ppncand 11660 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
3410, 33eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35 cphlmod 25208 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 20873 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
402, 1, 39nmsq 25228 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
414, 38, 40syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
422, 8lmodvsubcl 20905 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 25228 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
454, 43, 44syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
4641, 45oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))))
472, 1, 39nmsq 25228 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 25228 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
504, 6, 49syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
5148, 50oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
5251oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53252timesd 12509 . . 3 (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5452, 53eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5534, 46, 543eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  2c2 12321  cexp 14102  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  ·𝑖cip 17302  -gcsg 18953  LModclmod 20858  PreHilcphl 21642  normcnm 24589  ℂModcclm 25095  ℂPreHilccph 25200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-rhm 20472  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-phl 21644  df-nlm 24599  df-clm 25096  df-cph 25202
This theorem is referenced by:  nmpar  25274
  Copyright terms: Public domain W3C validator