Theorem cphtcphnm 25176

Description: The norm of a norm-augmented subcomplex pre-Hilbert space is the same as the original norm on it. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
cphtcphnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphtcphnm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Proof of Theorem cphtcphnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		cphtcphnm.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	1, 2, 3	cphnmfval 25138	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
5		cphlmod 25120	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		lmodgrp 20754	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
7		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
8		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	7, 8, 1, 2	tchnmfval 25174	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
10	5, 6, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
11	4, 10	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  √csqrt 15212  Basecbs 17179  ·_𝑖cip 17237  Grpcgrp 18894  LModclmod 20747  normcnm 24503  ℂPreHilccph 25112  toℂPreHilctcph 25113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-ds 17254  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-lmod 20749  df-nm 24509  df-tng 24511  df-nlm 24513  df-cph 25114  df-tcph 25115

This theorem is referenced by:  ipcau  25184