Theorem cphtcphnm 24746

Description: The norm of a norm-augmented subcomplex pre-Hilbert space is the same as the original norm on it. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
cphtcphnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphtcphnm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Proof of Theorem cphtcphnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		cphtcphnm.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	1, 2, 3	cphnmfval 24708	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
5		cphlmod 24690	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		lmodgrp 20477	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
7		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
8		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	7, 8, 1, 2	tchnmfval 24744	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
10	5, 6, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
11	4, 10	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  √csqrt 15179  Basecbs 17143  ·_𝑖cip 17201  Grpcgrp 18818  LModclmod 20470  normcnm 24084  ℂPreHilccph 24682  toℂPreHilctcph 24683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-ds 17218  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-lmod 20472  df-nm 24090  df-tng 24092  df-nlm 24094  df-cph 24684  df-tcph 24685

This theorem is referenced by:  ipcau  24754