Theorem cphtcphnm 25444

Description: The norm of a norm-augmented subcomplex pre-Hilbert space is the same as the original norm on it. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
cphtcphnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphtcphnm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Proof of Theorem cphtcphnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		cphtcphnm.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	1, 2, 3	cphnmfval 25406	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
5		cphlmod 25388	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		lmodgrp 21042	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
7		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	7, 8, 1, 2	tchnmfval 25442	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
10	5, 6, 9	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
11	4, 10	eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  √csqrt 15312  Basecbs 17295  ·_𝑖cip 17341  Grpcgrp 19048  LModclmod 21035  normcnm 24788  ℂPreHilccph 25380  toℂPreHilctcph 25381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-rp 13037  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-tset 17355  df-ds 17358  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-lmod 21037  df-nm 24794  df-tng 24796  df-nlm 24798  df-cph 25382  df-tcph 25383

This theorem is used by:  ipcau  25452