Theorem cphtcphnm 24474

Description: The norm of a norm-augmented subcomplex pre-Hilbert space is the same as the original norm on it. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
cphtcphnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphtcphnm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Proof of Theorem cphtcphnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		cphtcphnm.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	1, 2, 3	cphnmfval 24436	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
5		cphlmod 24418	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		lmodgrp 20210	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
7		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	7, 8, 1, 2	tchnmfval 24472	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
10	5, 6, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
11	4, 10	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5169  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  √csqrt 15020  Basecbs 16986  ·_𝑖cip 17041  Grpcgrp 18650  LModclmod 20203  normcnm 23812  ℂPreHilccph 24410  toℂPreHilctcph 24411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-rp 12810  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-plusg 17049  df-tset 17055  df-ds 17058  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-lmod 20205  df-nm 23818  df-tng 23820  df-nlm 23822  df-cph 24412  df-tcph 24413

This theorem is referenced by:  ipcau  24482