Theorem cphtcphnm 25113

Description: The norm of a norm-augmented subcomplex pre-Hilbert space is the same as the original norm on it. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
cphtcphnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cphtcphnm	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Proof of Theorem cphtcphnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		cphtcphnm.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4	1, 2, 3	cphnmfval 25075	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
5		cphlmod 25057	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		lmodgrp 20713	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
7		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9	7, 8, 1, 2	tchnmfval 25111	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
10	5, 6, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (norm‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
11	4, 10	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (norm‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  √csqrt 15186  Basecbs 17153  ·_𝑖cip 17211  Grpcgrp 18863  LModclmod 20706  normcnm 24440  ℂPreHilccph 25049  toℂPreHilctcph 25050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-ds 17228  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-lmod 20708  df-nm 24446  df-tng 24448  df-nlm 24450  df-cph 25051  df-tcph 25052

This theorem is referenced by:  ipcau  25121