Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfatco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfatco 45562
Description: The predicate "defined at" for a function composition. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
dfatco ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹𝐺) defAt 𝑋)

Proof of Theorem dfatco
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfatcolem 45561 . . . 4 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
2 euex 2576 . . . 4 (∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦 → ∃𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
4 df-dm 5648 . . . . 5 dom (𝐹𝐺) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹𝐺)𝑦}
54eleq2i 2830 . . . 4 (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹𝐺)𝑦})
6 df-dfat 45425 . . . . . . 7 (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
76simplbi 499 . . . . . 6 (𝐺 defAt 𝑋𝑋 ∈ dom 𝐺)
87adantr 482 . . . . 5 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
9 breq1 5113 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐹𝐺)𝑦𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
109exbidv 1925 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 𝑥(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
1110elabg 3633 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom 𝐺 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
128, 11syl 17 . . . 4 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
135, 12bitrid 283 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
143, 13mpbird 257 . 2 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺))
15 dfdfat2 45434 . 2 ((𝐹𝐺) defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
1614, 1, 15sylanbrc 584 1 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹𝐺) defAt 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  ∃!weu 2567  {cab 2714  {csn 4591   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  cres 5640  ccom 5642  Fun wfun 6495   defAt wdfat 45422  ''''cafv2 45514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-res 5650  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-dfat 45425  df-afv2 45515
This theorem is referenced by:  afv2co2  45563
  Copyright terms: Public domain W3C validator