Theorem dfatco 47881

Description: The predicate "defined at" for a function composition. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatco	⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Proof of Theorem dfatco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatcolem 47880	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
2		euex 2611	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
4		df-dm 5672	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ 𝐺) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦}
5	4	eleq2i 2861	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦})
6		df-dfat 47744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
7	6	simplbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
9		breq1 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
10	9	exbidv 1948	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
11	10	elabg 3644	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐺 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
12	8, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
13	5, 12	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
14	3, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺))
15		dfdfat2 47753	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
16	14, 1, 15	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∃!weu 2602  {cab 2747  {csn 4594   class class class wbr 5113  dom cdm 5662   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  Fun wfun 6531   defAt wdfat 47741  ''''cafv2 47833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-dfat 47744  df-afv2 47834

This theorem is referenced by:  afv2co2  47882