Theorem dfatco 47976

Description: The predicate "defined at" for a function composition. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatco	⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Proof of Theorem dfatco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatcolem 47975	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
2		euex 2605	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
4		df-dm 5673	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ 𝐺) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦}
5	4	eleq2i 2855	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦})
6		df-dfat 47839	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
7	6	simplbi 501	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
9		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
10	9	exbidv 1951	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
11	10	elabg 3636	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐺 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
12	8, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
13	5, 12	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
14	3, 13	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺))
15		dfdfat2 47848	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
16	14, 1, 15	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596  {cab 2741  {csn 4590   class class class wbr 5110  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  Fun wfun 6532   defAt wdfat 47836  ''''cafv2 47928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-res 5675  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-dfat 47839  df-afv2 47929

This theorem is referenced by:  afv2co2  47977