Theorem dfatco 47726

Description: The predicate "defined at" for a function composition. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatco	⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Proof of Theorem dfatco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatcolem 47725	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
2		euex 2581	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
4		df-dm 5635	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ 𝐺) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦}
5	4	eleq2i 2832	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦})
6		df-dfat 47589	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
7	6	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
9		breq1 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
10	9	exbidv 1928	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
11	10	elabg 3621	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐺 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
12	8, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
13	5, 12	bitrid 284	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
14	3, 13	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺))
15		dfdfat2 47598	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
16	14, 1, 15	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∃!weu 2572  {cab 2718  {csn 4562   class class class wbr 5079  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6486   defAt wdfat 47586  ''''cafv2 47678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-dfat 47589  df-afv2 47679

This theorem is referenced by:  afv2co2  47727