Theorem dfatco 47285

Description: The predicate "defined at" for a function composition. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatco	⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Proof of Theorem dfatco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatcolem 47284	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
2		euex 2576	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
4		df-dm 5664	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ 𝐺) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦}
5	4	eleq2i 2826	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦})
6		df-dfat 47148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
7	6	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
9		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
10	9	exbidv 1921	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
11	10	elabg 3655	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐺 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
12	8, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
13	5, 12	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
14	3, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺))
15		dfdfat2 47157	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
16	14, 1, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2567  {cab 2713  {csn 4601   class class class wbr 5119  dom cdm 5654   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  Fun wfun 6525   defAt wdfat 47145  ''''cafv2 47237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-res 5666  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-dfat 47148  df-afv2 47238

This theorem is referenced by:  afv2co2  47286