Theorem dfatco 47380

Description: The predicate "defined at" for a function composition. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatco	⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Proof of Theorem dfatco

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfatcolem 47379	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
2		euex 2574	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)
4		df-dm 5629	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∘ 𝐺) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦}
5	4	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦})
6		df-dfat 47243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
7	6	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
9		breq1 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
10	9	exbidv 1922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
11	10	elabg 3628	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐺 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
12	8, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦} ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
13	5, 12	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ↔ ∃𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
14	3, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺))
15		dfdfat2 47252	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ∘ 𝐺) ∧ ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦))
16	14, 1, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹 ∘ 𝐺) defAt 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2565  {cab 2711  {csn 4575   class class class wbr 5093  dom cdm 5619   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  Fun wfun 6480   defAt wdfat 47240  ''''cafv2 47332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-res 5631  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-dfat 47243  df-afv2 47333

This theorem is referenced by:  afv2co2  47381