Theorem dfatcolem 47725

Description: Lemma for dfatco 47726. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatcolem	⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dfatcolem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdfat2 47598	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
2		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋))
3		df-dfat 47589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {(𝐺''''𝑋)})))
4	3	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
5		dfatbrafv2b 47715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
6	4, 5	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
7	2, 6	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋))
8		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
9		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋))
10		dfatafv2ex 47683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
12		dfatbrafv2b 47715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
13	9, 11, 12	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
14	8, 13	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
15	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
16		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝐺''''𝑋) → (𝑋𝐺𝑧 ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧 ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
18		breq12 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = (𝐺''''𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
19	18	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
20	17, 19	anbi12d 638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) ↔ (𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))))
21	20	spc2egv 3544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
22	11, 15, 21	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
23	7, 14, 22	mp2and 705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦))
24		dfdfat2 47598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧))
25		tz6.12c-afv2 47712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
27	24, 26	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
29		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 ↔ 𝑧𝐹𝑦))
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋) = 𝑧) → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 ↔ 𝑧𝐹𝑦))
31	30	exbiri 816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
33	28, 32	sylbird 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
34	33	impd 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
35	34	exlimdv 1940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
36	35	alrimiv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
37		euim 2621	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
38	23, 36, 37	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
39	38	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
40	39	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦) → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
41	40	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
42	1, 41	sylan2b 600	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
43	42	pm2.43i 52	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦))
44		df-dfat 47589	. . . . 5 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
45	44	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
46		vex 3436	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → 𝑦 ∈ V)
48		brcog 5815	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
49	45, 47, 48	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
50	49	eubidv 2590	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
51	43, 50	mpbird 258	1 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1545   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∃!weu 2572  Vcvv 3432  {csn 4562   class class class wbr 5079  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6486   defAt wdfat 47586  ''''cafv2 47678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-dfat 47589  df-afv2 47679

This theorem is referenced by:  dfatco  47726