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Theorem dfatcolem 45477
Description: Lemma for dfatco 45478. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
dfatcolem ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dfatcolem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfdfat2 45350 . . . 4 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
2 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋))
3 df-dfat 45341 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {(𝐺''''𝑋)})))
43simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
5 dfatbrafv2b 45467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
64, 5sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
72, 6mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋))
8 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
9 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋))
10 dfatafv2ex 45435 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
12 dfatbrafv2b 45467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
139, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
154adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
16 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐺''''𝑋) → (𝑋𝐺𝑧𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
18 breq12 5110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = (𝐺''''𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
1918ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
2017, 19anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) ↔ (𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))))
2120spc2egv 3558 . . . . . . . . . 10 (((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
2211, 15, 21syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
237, 14, 22mp2and 697 . . . . . . . 8 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦))
24 dfdfat2 45350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧))
25 tz6.12c-afv2 45464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2724, 26sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 defAt 𝑋 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
29 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋) = 𝑧) → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
3130exbiri 809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3328, 32sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3433impd 411 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
3534exlimdv 1936 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
3635alrimiv 1930 . . . . . . . 8 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
37 euim 2617 . . . . . . . 8 ((∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3823, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3938com12 32 . . . . . 6 (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4039adantl 482 . . . . 5 (((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4140adantl 482 . . . 4 ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
421, 41sylan2b 594 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4342pm2.43i 52 . 2 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦))
44 df-dfat 45341 . . . . 5 (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
4544simplbi 498 . . . 4 (𝐺 defAt 𝑋𝑋 ∈ dom 𝐺)
46 vex 3449 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → 𝑦 ∈ V)
48 brcog 5822 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom 𝐺𝑦 ∈ V) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4945, 47, 48syl2an 596 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
5049eubidv 2584 . 2 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
5143, 50mpbird 256 1 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  ∃!weu 2566  Vcvv 3445  {csn 4586   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  cres 5635  ccom 5637  Fun wfun 6490   defAt wdfat 45338  ''''cafv2 45430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-res 5645  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-dfat 45341  df-afv2 45431
This theorem is referenced by:  dfatco  45478
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