Theorem dfatcolem 47847

Description: Lemma for dfatco 47848. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dfatcolem	⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dfatcolem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdfat2 47720	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
2		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋))
3		df-dfat 47711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {(𝐺''''𝑋)})))
4	3	simplbi 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
5		dfatbrafv2b 47837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
6	4, 5	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
7	2, 6	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋))
8		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
9		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋))
10		dfatafv2ex 47805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
11	10	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
12		dfatbrafv2b 47837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
13	9, 11, 12	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
14	8, 13	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
15	4	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
16		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝐺''''𝑋) → (𝑋𝐺𝑧 ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
17	16	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧 ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
18		breq12 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 = (𝐺''''𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
19	18	ancoms 463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
20	17, 19	anbi12d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) ↔ (𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))))
21	20	spc2egv 3561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
22	11, 15, 21	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
23	7, 14, 22	mp2and 711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦))
24		dfdfat2 47720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧))
25		tz6.12c-afv2 47834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
26	25	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
27	24, 26	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
28	27	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 ↔ 𝑋𝐺𝑧))
29		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 ↔ 𝑧𝐹𝑦))
30	29	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋) = 𝑧) → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 ↔ 𝑧𝐹𝑦))
31	30	exbiri 822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
33	28, 32	sylbird 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
34	33	impd 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
35	34	exlimdv 1956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
36	35	alrimiv 1950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
37		euim 2647	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
38	23, 36, 37	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
39	38	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
40	39	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦) → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
41	40	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
42	1, 41	sylan2b 605	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
43	42	pm2.43i 53	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦))
44		df-dfat 47711	. . . . 5 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
45	44	simplbi 501	. . . 4 ⊢ (𝐺 defAt 𝑋 → 𝑋 ∈ dom 𝐺)
46		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → 𝑦 ∈ V)
48		brcog 5843	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
49	45, 47, 48	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
50	49	eubidv 2616	. 2 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦 ↔ ∃!𝑦∃𝑧(𝑋𝐺𝑧 ∧ 𝑧𝐹𝑦)))
51	43, 50	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹 ∘ 𝐺)𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1561   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2598  Vcvv 3457  {csn 4585   class class class wbr 5105  dom cdm 5652   ↾ cres 5654   ∘ ccom 5656  Fun wfun 6519   defAt wdfat 47708  ''''cafv2 47800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-res 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-dfat 47711  df-afv2 47801

This theorem is referenced by:  dfatco  47848