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Theorem dfatcolem 46261
Description: Lemma for dfatco 46262. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
dfatcolem ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dfatcolem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfdfat2 46134 . . . 4 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
2 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋))
3 df-dfat 46125 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {(𝐺''''𝑋)})))
43simplbi 496 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
5 dfatbrafv2b 46251 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
64, 5sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
72, 6mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋))
8 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
9 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋))
10 dfatafv2ex 46219 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
12 dfatbrafv2b 46251 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
139, 11, 12syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
154adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
16 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐺''''𝑋) → (𝑋𝐺𝑧𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
1716adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
18 breq12 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = (𝐺''''𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
1918ancoms 457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
2017, 19anbi12d 629 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) ↔ (𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))))
2120spc2egv 3588 . . . . . . . . . 10 (((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
2211, 15, 21syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
237, 14, 22mp2and 695 . . . . . . . 8 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦))
24 dfdfat2 46134 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧))
25 tz6.12c-afv2 46248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2724, 26sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 defAt 𝑋 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
29 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋) = 𝑧) → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
3130exbiri 807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3328, 32sylbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3433impd 409 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
3534exlimdv 1934 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
3635alrimiv 1928 . . . . . . . 8 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
37 euim 2611 . . . . . . . 8 ((∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3823, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3938com12 32 . . . . . 6 (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4039adantl 480 . . . . 5 (((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4140adantl 480 . . . 4 ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
421, 41sylan2b 592 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4342pm2.43i 52 . 2 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦))
44 df-dfat 46125 . . . . 5 (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
4544simplbi 496 . . . 4 (𝐺 defAt 𝑋𝑋 ∈ dom 𝐺)
46 vex 3476 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → 𝑦 ∈ V)
48 brcog 5865 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom 𝐺𝑦 ∈ V) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4945, 47, 48syl2an 594 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
5049eubidv 2578 . 2 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
5143, 50mpbird 256 1 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wal 1537   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  ∃!weu 2560  Vcvv 3472  {csn 4627   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  cres 5677  ccom 5679  Fun wfun 6536   defAt wdfat 46122  ''''cafv2 46214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-res 5687  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-dfat 46125  df-afv2 46215
This theorem is referenced by:  dfatco  46262
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