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Theorem dfatcolem 45561
Description: Lemma for dfatco 45562. (Contributed by AV, 8-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
dfatcolem ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem dfatcolem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfdfat2 45434 . . . 4 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
2 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋))
3 df-dfat 45425 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ↔ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ Fun (𝐹 ↾ {(𝐺''''𝑋)})))
43simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
5 dfatbrafv2b 45551 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
64, 5sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = (𝐺''''𝑋) ↔ 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
72, 6mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝑋𝐺(𝐺''''𝑋))
8 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
9 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → 𝐹 defAt (𝐺''''𝑋))
10 dfatafv2ex 45519 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V)
12 dfatbrafv2b 45551 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
139, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))
154adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹)
16 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐺''''𝑋) → (𝑋𝐺𝑧𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
1716adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧𝑋𝐺(𝐺''''𝑋)))
18 breq12 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 = (𝐺''''𝑋) ∧ 𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
1918ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → (𝑧𝐹𝑦 ↔ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))))
2017, 19anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = (𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) ↔ (𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋)))))
2120spc2egv 3561 . . . . . . . . . 10 (((𝐹''''(𝐺''''𝑋)) ∈ V ∧ (𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
2211, 15, 21syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺(𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋)𝐹(𝐹''''(𝐺''''𝑋))) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
237, 14, 22mp2and 698 . . . . . . . 8 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦))
24 dfdfat2 45434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧))
25 tz6.12c-afv2 45548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ ∃!𝑧 𝑋𝐺𝑧) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2724, 26sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 defAt 𝑋 → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
29 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) ∧ (𝐺''''𝑋) = 𝑧) → ((𝐺''''𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
3130exbiri 810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺''''𝑋) = 𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3328, 32sylbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋𝐺𝑧 → (𝑧𝐹𝑦 → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)))
3433impd 412 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
3534exlimdv 1937 . . . . . . . . 9 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
3635alrimiv 1931 . . . . . . . 8 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦))
37 euim 2618 . . . . . . . 8 ((∃𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦(∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦) → (𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3823, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3938com12 32 . . . . . 6 (∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦 → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4039adantl 483 . . . . 5 (((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4140adantl 483 . . . 4 ((𝐺 defAt 𝑋 ∧ ((𝐺''''𝑋) ∈ dom 𝐹 ∧ ∃!𝑦(𝐺''''𝑋)𝐹𝑦)) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
421, 41sylan2b 595 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4342pm2.43i 52 . 2 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦))
44 df-dfat 45425 . . . . 5 (𝐺 defAt 𝑋 ↔ (𝑋 ∈ dom 𝐺 ∧ Fun (𝐺 ↾ {𝑋})))
4544simplbi 499 . . . 4 (𝐺 defAt 𝑋𝑋 ∈ dom 𝐺)
46 vex 3452 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4746a1i 11 . . . 4 (𝐹 defAt (𝐺''''𝑋) → 𝑦 ∈ V)
48 brcog 5827 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom 𝐺𝑦 ∈ V) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
4945, 47, 48syl2an 597 . . 3 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
5049eubidv 2585 . 2 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → (∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃!𝑦𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
5143, 50mpbird 257 1 ((𝐺 defAt 𝑋𝐹 defAt (𝐺''''𝑋)) → ∃!𝑦 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  ∃!weu 2567  Vcvv 3448  {csn 4591   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  cres 5640  ccom 5642  Fun wfun 6495   defAt wdfat 45422  ''''cafv2 45514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-res 5650  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-dfat 45425  df-afv2 45515
This theorem is referenced by:  dfatco  45562
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