Theorem disjimeldisjdmqs 39437

Description: Disj implies element-disjoint quotient carrier. Supplies the carrier-disjointness half of the Disjs pattern: under Disj 𝑅, the coset family is element-disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
disjimeldisjdmqs	⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))

Proof of Theorem disjimeldisjdmqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjim 39388	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → EqvRel ≀ 𝑅)
2		disjdmqs 39411	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) = (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))
3	2	eqcomd 2770	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = (dom 𝑅 / 𝑅))
4		eqvrelqseqdisj2 39436	. 2 ⊢ (( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = (dom 𝑅 / 𝑅)) → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))
5	1, 3, 4	syl2anc 593	1 ⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562  dom cdm 5649   / cqs 8679   ≀ ccoss 38687   EqvRel weqvrel 38704   Disj wdisjALTV 38723   ElDisj weldisj 38725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-eprel 5549  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ec 8682  df-qs 8686  df-coss 39005  df-refrel 39096  df-cnvrefrel 39111  df-symrel 39128  df-trrel 39162  df-eqvrel 39173  df-funALTV 39271  df-disjALTV 39294  df-eldisj 39296

This theorem is referenced by:  eldisjsim3  39441