Theorem disjimeldisjdmqs 39254

Description: Disj implies element-disjoint quotient carrier. Supplies the carrier-disjointness half of the Disjs pattern: under Disj 𝑅, the coset family is element-disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
disjimeldisjdmqs	⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))

Proof of Theorem disjimeldisjdmqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjim 39205	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → EqvRel ≀ 𝑅)
2		disjdmqs 39228	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom 𝑅 / 𝑅) = (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅))
3	2	eqcomd 2742	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 → (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = (dom 𝑅 / 𝑅))
4		eqvrelqseqdisj2 39253	. 2 ⊢ (( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = (dom 𝑅 / 𝑅)) → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))
5	1, 3, 4	syl2anc 585	1 ⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  dom cdm 5631   / cqs 8642   ≀ ccoss 38504   EqvRel weqvrel 38521   Disj wdisjALTV 38540   ElDisj weldisj 38542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-eprel 5531  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ec 8645  df-qs 8649  df-coss 38822  df-refrel 38913  df-cnvrefrel 38928  df-symrel 38945  df-trrel 38979  df-eqvrel 38990  df-funALTV 39088  df-disjALTV 39111  df-eldisj 39113

This theorem is referenced by:  eldisjsim3  39258