Theorem eldisjsim3 39278

Description: Disjs implies element-disjoint quotient carrier. Exports the carrier-disjointness property in the ElDisjs packaging. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim3	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjimeldisjdmqs 39274	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))
2		eldisjsdisj 39165	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		dmqsex 38703	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V)
4		eleldisjseldisj 39170	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
6	2, 5	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ) ↔ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))))
7	1, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ))
8	7	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  dom cdm 5626   / cqs 8637   Disjs cdisjs 38559   Disj wdisjALTV 38560   ElDisjs celdisjs 38561   ElDisj weldisj 38562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-eprel 5526  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ec 8640  df-qs 8644  df-rels 38781  df-coss 38842  df-ssr 38919  df-refrel 38933  df-cnvrefs 38946  df-cnvrefrels 38947  df-cnvrefrel 38948  df-symrel 38965  df-trrel 38999  df-eqvrel 39010  df-funALTV 39108  df-disjss 39129  df-disjs 39130  df-disjALTV 39131  df-eldisjs 39132  df-eldisj 39133

This theorem is referenced by:  eldisjsim4  39279