Theorem eldisjsim3 39107

Description: Disjs implies element-disjoint quotient carrier. Exports the carrier-disjointness property in the ElDisjs packaging. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim3	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjimeldisjdmqs 39103	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))
2		eldisjsdisj 38994	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		dmqsex 38532	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V)
4		eleldisjseldisj 38999	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
6	2, 5	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ) ↔ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))))
7	1, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ))
8	7	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  dom cdm 5623   / cqs 8634   Disjs cdisjs 38388   Disj wdisjALTV 38389   ElDisjs celdisjs 38390   ElDisj weldisj 38391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-eprel 5523  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ec 8637  df-qs 8641  df-rels 38610  df-coss 38671  df-ssr 38748  df-refrel 38762  df-cnvrefs 38775  df-cnvrefrels 38776  df-cnvrefrel 38777  df-symrel 38794  df-trrel 38828  df-eqvrel 38839  df-funALTV 38937  df-disjss 38958  df-disjs 38959  df-disjALTV 38960  df-eldisjs 38961  df-eldisj 38962

This theorem is referenced by:  eldisjsim4  39108