Theorem eldisjsim3 39672

Description: Disjs implies element-disjoint quotient carrier. Exports the carrier-disjointness property in the ElDisjs packaging. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim3	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjimeldisjdmqs 39668	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))
2		eldisjsdisj 39559	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		dmqsex 39097	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V)
4		eleldisjseldisj 39564	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
6	2, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ) ↔ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))))
7	1, 6	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ))
8	7	pm2.43i 53	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  dom cdm 5659   / cqs 8698   Disjs cdisjs 38953   Disj wdisjALTV 38954   ElDisjs celdisjs 38955   ElDisj weldisj 38956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-eprel 5559  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8701  df-qs 8705  df-rels 39175  df-coss 39236  df-ssr 39313  df-refrel 39327  df-cnvrefs 39340  df-cnvrefrels 39341  df-cnvrefrel 39342  df-symrel 39359  df-trrel 39393  df-eqvrel 39404  df-funALTV 39502  df-disjss 39523  df-disjs 39524  df-disjALTV 39525  df-eldisjs 39526  df-eldisj 39527

This theorem is used by:  eldisjsim4  39673