Theorem eldisjsim3 39258

Description: Disjs implies element-disjoint quotient carrier. Exports the carrier-disjointness property in the ElDisjs packaging. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim3	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjimeldisjdmqs 39254	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))
2		eldisjsdisj 39145	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		dmqsex 38683	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V)
4		eleldisjseldisj 39150	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
6	2, 5	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ) ↔ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))))
7	1, 6	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ))
8	7	pm2.43i 52	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  dom cdm 5631   / cqs 8642   Disjs cdisjs 38539   Disj wdisjALTV 38540   ElDisjs celdisjs 38541   ElDisj weldisj 38542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-eprel 5531  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ec 8645  df-qs 8649  df-rels 38761  df-coss 38822  df-ssr 38899  df-refrel 38913  df-cnvrefs 38926  df-cnvrefrels 38927  df-cnvrefrel 38928  df-symrel 38945  df-trrel 38979  df-eqvrel 38990  df-funALTV 39088  df-disjss 39109  df-disjs 39110  df-disjALTV 39111  df-eldisjs 39112  df-eldisj 39113

This theorem is referenced by:  eldisjsim4  39259