Theorem eldisjsim3 39614

Description: Disjs implies element-disjoint quotient carrier. Exports the carrier-disjointness property in the ElDisjs packaging. (Contributed by Peter Mazsa, 11-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
eldisjsim3	⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

Proof of Theorem eldisjsim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjimeldisjdmqs 39610	. . 3 ⊢ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))
2		eldisjsdisj 39501	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs ↔ Disj 𝑅))
3		dmqsex 39039	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V)
4		eleldisjseldisj 39506	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ V → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ↔ ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅)))
6	2, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → ((𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ) ↔ ( Disj 𝑅 → ElDisj (dom 𝑅 / 𝑅))))
7	1, 6	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs ))
8	7	pm2.43i 53	1 ⊢ (𝑅 ∈ Disjs → (dom 𝑅 / 𝑅) ∈ ElDisjs )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  dom cdm 5660   / cqs 8691   Disjs cdisjs 38895   Disj wdisjALTV 38896   ElDisjs celdisjs 38897   ElDisj weldisj 38898

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-eprel 5560  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ec 8694  df-qs 8698  df-rels 39117  df-coss 39178  df-ssr 39255  df-refrel 39269  df-cnvrefs 39282  df-cnvrefrels 39283  df-cnvrefrel 39284  df-symrel 39301  df-trrel 39335  df-eqvrel 39346  df-funALTV 39444  df-disjss 39465  df-disjs 39466  df-disjALTV 39467  df-eldisjs 39468  df-eldisj 39469

This theorem is used by:  eldisjsim4  39615