Theorem eleenn 29504

Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleenn	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ee 29498	. 2 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
2	1	mptrcl 7026	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℝcr 11226  1c1 11228  ℕcn 12362  ...cfz 13666  𝔼cee 29495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fv 6566  df-ee 29498

This theorem is used by:  eleei  29505  eedimeq  29506  brbtwn  29507  brcgr  29508  eleesub  29519  eleesubd  29520  axsegconlem1  29525  axsegconlem8  29532  axeuclidlem  29570  brsegle  37051