Theorem eleenn 26690

Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleenn	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ee 26685	. 2 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
2	1	mptrcl 6754	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  ℝcr 10525  1c1 10527  ℕcn 11625  ...cfz 12885  𝔼cee 26682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ee 26685

This theorem is referenced by:  eleei  26691  eedimeq  26692  brbtwn  26693  brcgr  26694  eleesub  26705  eleesubd  26706  axsegconlem1  26711  axsegconlem8  26718  axeuclidlem  26756  brsegle  33682