Theorem eleenn 28876

Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleenn	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ee 28870	. 2 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑m (1...𝑛)))
2	1	mptrcl 6944	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  ℝcr 11012  1c1 11014  ℕcn 12132  ...cfz 13409  𝔼cee 28867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ee 28870

This theorem is referenced by:  eleei  28877  eedimeq  28878  brbtwn  28879  brcgr  28880  eleesub  28891  eleesubd  28892  axsegconlem1  28897  axsegconlem8  28904  axeuclidlem  28942  brsegle  36173