Theorem eleenn 26245

Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleenn	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4148	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ¬ (𝔼‘𝑁) = ∅)
2		ovex 6954	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)) ∈ V
3		df-ee 26240	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)))
4	2, 3	dmmpti 6269	. . . 4 ⊢ dom 𝔼 = ℕ
5	4	eleq2i 2851	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ dom 𝔼 ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
6		ndmfv 6476	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom 𝔼 → (𝔼‘𝑁) = ∅)
7	5, 6	sylnbir 323	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = ∅)
8	1, 7	nsyl2 145	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∅c0 4141  dom cdm 5355  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↑_𝑚 cmap 8140  ℝcr 10271  1c1 10273  ℕcn 11374  ...cfz 12643  𝔼cee 26237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-fv 6143  df-ov 6925  df-ee 26240

This theorem is referenced by:  eleei  26246  eedimeq  26247  brbtwn  26248  brcgr  26249  eleesub  26260  eleesubd  26261  axsegconlem1  26266  axsegconlem8  26273  axeuclidlem  26311  brsegle  32804