MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eleenn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleenn 26245
Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
eleenn (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn
StepHypRef Expression
1 n0i 4148 . 2 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ¬ (𝔼‘𝑁) = ∅)
2 ovex 6954 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)) ∈ V
3 df-ee 26240 . . . . 5 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)))
42, 3dmmpti 6269 . . . 4 dom 𝔼 = ℕ
54eleq2i 2851 . . 3 (𝑁 ∈ dom 𝔼 ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
6 ndmfv 6476 . . 3 𝑁 ∈ dom 𝔼 → (𝔼‘𝑁) = ∅)
75, 6sylnbir 323 . 2 𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = ∅)
81, 7nsyl2 145 1 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  c0 4141  dom cdm 5355  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140  cr 10271  1c1 10273  cn 11374  ...cfz 12643  𝔼cee 26237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-fv 6143  df-ov 6925  df-ee 26240
This theorem is referenced by:  eleei  26246  eedimeq  26247  brbtwn  26248  brcgr  26249  eleesub  26260  eleesubd  26261  axsegconlem1  26266  axsegconlem8  26273  axeuclidlem  26311  brsegle  32804
  Copyright terms: Public domain W3C validator