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Theorem axeuclidlem 26136
Description: Lemma for axeuclid 26137. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclidlem ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝐶,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑃,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑄,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦

Proof of Theorem axeuclidlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp21 1263 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → 𝑃 ∈ (0[,]1))
2 simp22 1264 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → 𝑄 ∈ (0[,]1))
3 fveere 26075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
43expcom 402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ))
5 fveere 26075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
65expcom 402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ))
74, 6anim12d 602 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ)))
8 fveere 26075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
98expcom 402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ))
10 fveere 26075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
1110expcom 402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ))
129, 11anim12d 602 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)))
137, 12anim12d 602 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ))))
1413impcom 396 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)))
15 unitssre 12529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
1615sseli 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (0[,]1) → 𝑃 ∈ ℝ)
17163ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ)
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ)
19 peano2rem 10604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21 simplll 791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2220, 21remulcld 10326 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
23 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 10325 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
25 simpr3 1252 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
2624, 18, 25redivcld 11109 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2714, 26sylan 575 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2827an32s 642 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2928ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
30 eleenn 26070 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3130ad3antrrr 721 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 mptelee 26069 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
3429, 33mpbird 248 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
35343adant3 1162 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
36 simplrl 795 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
3722, 36readdcld 10325 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) ∈ ℝ)
3837, 18, 25redivcld 11109 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
3914, 38sylan 575 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
4039an32s 642 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
4140ralrimiva 3113 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
42 mptelee 26069 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
4331, 42syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
4441, 43mpbird 248 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
45443adant3 1162 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
46 fveecn 26076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4746expcom 402 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ))
48 fveecn 26076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4948expcom 402 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ))
5047, 49anim12d 602 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ)))
51 fveecn 26076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
5251expcom 402 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
53 fveecn 26076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
5453expcom 402 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ))
5552, 54anim12d 602 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)))
5650, 55anim12d 602 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ))))
5756impcom 396 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)))
58 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (𝑇𝑖))
59 ax-1cn 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
60 simpr2 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ (0[,]1))
6115sseli 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 ∈ (0[,]1) → 𝑄 ∈ ℝ)
6261recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ (0[,]1) → 𝑄 ∈ ℂ)
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℂ)
64 subcl 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (1 − 𝑄) ∈ ℂ)
6559, 63, 64sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 − 𝑄) ∈ ℂ)
66 simpr1 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (0[,]1))
6716recnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (0[,]1) → 𝑃 ∈ ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
69 subcl 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7068, 59, 69sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
71 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
7270, 71mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
7365, 72mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
7463, 72mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
7573, 74addcld 10315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) ∈ ℂ)
76 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
7765, 76mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
78 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
7963, 78mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
8077, 79addcld 10315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
8175, 80addcld 10315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) ∈ ℂ)
82 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
83 simpr3 1252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
8481, 68, 82, 83divmuld 11079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (𝑇𝑖) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
8558, 84syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
86 negsubdi2 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → -(1 − 𝑃) = (𝑃 − 1))
8759, 68, 86sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → -(1 − 𝑃) = (𝑃 − 1))
8887oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (-(1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
89 subcl 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (1 − 𝑃) ∈ ℂ)
9059, 68, 89sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 − 𝑃) ∈ ℂ)
9190, 71mulneg1d 10739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (-(1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
92 npcan 10546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑄) + 𝑄) = 1)
9359, 63, 92sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) + 𝑄) = 1)
9493oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) + 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = (1 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))
9565, 63, 72adddird 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) + 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9672mulid2d 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
9794, 95, 963eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9888, 91, 973eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9998oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))))
10090, 71mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
10180, 100negsubd 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))))
10280, 75addcomd 10494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
10399, 101, 1023eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
104103eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (𝑃 · (𝑇𝑖))))
105 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
106104, 105syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
10785, 106bitr4d 273 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖))))
10873, 74, 77, 79add4d 10520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))) + ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
10965, 72, 76adddid 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))))
11063, 72, 78adddid 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) = ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))
111109, 110oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))) + ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
112108, 111eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))))
113112oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) / 𝑃))
11472, 76addcld 10315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
11565, 114mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
11672, 78addcld 10315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
11763, 116mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
118115, 117, 68, 83divdird 11095 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) + ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃)))
11965, 114, 68, 83divassd 11092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) = ((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
12063, 116, 68, 83divassd 11092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃) = (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
121119, 120oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) + ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃)) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
122113, 118, 1213eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
123122eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
12468, 82mulcld 10316 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · (𝑇𝑖)) ∈ ℂ)
12580, 100, 124subaddd 10666 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
126107, 123, 1253bitr3rd 301 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
127126biimpd 220 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
128 npncan2 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) = 0)
12959, 68, 128sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) = 0)
130129oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) · (𝐴𝑖)) = (0 · (𝐴𝑖)))
13190, 70, 71adddird 10321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))
132 mul02 10470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐴𝑖)) = 0)
133132ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 · (𝐴𝑖)) = 0)
134130, 131, 1333eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = 0)
135134oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐵𝑖)) = (0 + (𝐵𝑖)))
136100, 72, 76addassd 10318 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐵𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
13776addid2d 10493 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 + (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
138135, 136, 1373eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
139114, 68, 83divcan2d 11059 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)))
140139oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
141138, 140eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))))
142134oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐶𝑖)) = (0 + (𝐶𝑖)))
143100, 72, 78addassd 10318 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐶𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
14478addid2d 10493 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 + (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
145142, 143, 1443eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
146116, 68, 83divcan2d 11059 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))
147146oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
148145, 147eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
149141, 148jca 507 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
150127, 149jctild 521 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
151 df-3an 1109 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ↔ (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
152150, 151syl6ibr 243 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
15357, 152sylan 575 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
154153an32s 642 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
155154ralimdva 3109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
1561553impia 1145 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
157 fveq1 6376 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))‘𝑖))
158 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
159158oveq2d 6860 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
160 fveq2 6377 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
161159, 160oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)))
162161oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
163 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))
164 ovex 6876 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) ∈ V
165162, 163, 164fvmpt 6473 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))‘𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
166157, 165sylan9eq 2819 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
167 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (𝑃 · (𝑥𝑖)) = (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
168167oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))))
169168eqeq2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))))
170 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) = ((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
171170oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))
172171eqeq2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
173169, 1723anbi13d 1562 . . . . . . 7 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
174166, 173syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
175174ralbidva 3132 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
176 fveq1 6376 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) → (𝑦𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))‘𝑖))
177 fveq2 6377 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
178159, 177oveq12d 6862 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))
179178oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
180 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))
181 ovex 6876 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt 6473 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))‘𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
183176, 182sylan9eq 2819 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
184 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (𝑃 · (𝑦𝑖)) = (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
185184oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
186185eqeq2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → ((𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
187 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (𝑄 · (𝑦𝑖)) = (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
188187oveq2d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
189188eqeq2d 2775 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
190186, 1893anbi23d 1563 . . . . . . 7 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
191183, 190syl 17 . . . . . 6 ((𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
192191ralbidva 3132 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
193175, 192rspc2ev 3477 . . . 4 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
19435, 45, 156, 193syl3anc 1490 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
195 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑃 → (1 − 𝑟) = (1 − 𝑃))
196195oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑃 → ((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
197 oveq1 6851 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 · (𝑥𝑖)) = (𝑃 · (𝑥𝑖)))
198196, 197oveq12d 6862 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑃 → (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))))
199198eqeq2d 2775 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑃 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖)))))
2001993anbi1d 1564 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑃 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
201200ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
2022012rexbidv 3204 . . . 4 (𝑟 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
203 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑃 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑃))
204203oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑃 → ((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
205 oveq1 6851 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 · (𝑦𝑖)) = (𝑃 · (𝑦𝑖)))
206204, 205oveq12d 6862 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑃 → (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))))
207206eqeq2d 2775 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑃 → ((𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖)))))
2082073anbi2d 1565 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑃 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
209208ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑠 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
2102092rexbidv 3204 . . . 4 (𝑠 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
211 oveq2 6852 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑄 → (1 − 𝑢) = (1 − 𝑄))
212211oveq1d 6859 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑄 → ((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) = ((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)))
213 oveq1 6851 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑄 → (𝑢 · (𝑦𝑖)) = (𝑄 · (𝑦𝑖)))
214212, 213oveq12d 6862 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑄 → (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))
215214eqeq2d 2775 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑄 → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
2162153anbi3d 1566 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑄 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
217216ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑢 = 𝑄 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
2182172rexbidv 3204 . . . 4 (𝑢 = 𝑄 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
219202, 210, 218rspc3ev 3479 . . 3 (((𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
2201, 1, 2, 194, 219syl31anc 1492 . 2 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
221 rexcom 3246 . . . . . 6 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
222221rexbii 3188 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
223 rexcom 3246 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
224222, 223bitri 266 . . . 4 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
225224rexbii 3188 . . 3 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
226 rexcom 3246 . . 3 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
227 rexcom 3246 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
228227rexbii 3188 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
229 rexcom 3246 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
230228, 229bitri 266 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
231230rexbii 3188 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
232 rexcom 3246 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
233231, 232bitri 266 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
234233rexbii 3188 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
235225, 226, 2343bitri 288 . 2 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
236220, 235sylib 209 1 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  cmin 10522  -cneg 10523   / cdiv 10940  cn 11276  [,]cicc 12383  ...cfz 12536  𝔼cee 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-icc 12387  df-ee 26065
This theorem is referenced by:  axeuclid  26137
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