MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axeuclidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axeuclidlem 26908
Description: Lemma for axeuclid 26909. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclidlem ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝐶,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑃,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑄,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦

Proof of Theorem axeuclidlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp21 1207 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → 𝑃 ∈ (0[,]1))
2 simp22 1208 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → 𝑄 ∈ (0[,]1))
3 fveere 26847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
43expcom 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ))
5 fveere 26847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
65expcom 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ))
74, 6anim12d 612 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ)))
8 fveere 26847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
98expcom 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ))
10 fveere 26847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
1110expcom 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ))
129, 11anim12d 612 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)))
137, 12anim12d 612 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ))))
1413impcom 411 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)))
15 unitssre 12974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
1615sseli 3874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (0[,]1) → 𝑃 ∈ ℝ)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ)
1817adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ)
19 peano2rem 11032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21 simplll 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2220, 21remulcld 10750 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
23 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 10749 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
25 simpr3 1197 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
2624, 18, 25redivcld 11547 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2714, 26sylan 583 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2827an32s 652 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2928ralrimiva 3096 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
30 eleenn 26842 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3130ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 mptelee 26841 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
3429, 33mpbird 260 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
35343adant3 1133 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
36 simplrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
3722, 36readdcld 10749 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) ∈ ℝ)
3837, 18, 25redivcld 11547 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
3914, 38sylan 583 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
4039an32s 652 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
4140ralrimiva 3096 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
42 mptelee 26841 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
4331, 42syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
4441, 43mpbird 260 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
45443adant3 1133 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
46 fveecn 26848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4746expcom 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ))
48 fveecn 26848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4948expcom 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ))
5047, 49anim12d 612 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ)))
51 fveecn 26848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
5251expcom 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
53 fveecn 26848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
5453expcom 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ))
5552, 54anim12d 612 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)))
5650, 55anim12d 612 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ))))
5756impcom 411 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)))
58 eqcom 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (𝑇𝑖))
59 ax-1cn 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
60 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ (0[,]1))
6115sseli 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 ∈ (0[,]1) → 𝑄 ∈ ℝ)
6261recnd 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ (0[,]1) → 𝑄 ∈ ℂ)
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℂ)
64 subcl 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (1 − 𝑄) ∈ ℂ)
6559, 63, 64sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 − 𝑄) ∈ ℂ)
66 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (0[,]1))
6716recnd 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (0[,]1) → 𝑃 ∈ ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
69 subcl 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7068, 59, 69sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
71 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
7270, 71mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
7365, 72mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
7463, 72mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
7573, 74addcld 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) ∈ ℂ)
76 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
7765, 76mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
78 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
7963, 78mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
8077, 79addcld 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
8175, 80addcld 10739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) ∈ ℂ)
82 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
83 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
8481, 68, 82, 83divmuld 11517 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (𝑇𝑖) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
8558, 84syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
86 negsubdi2 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → -(1 − 𝑃) = (𝑃 − 1))
8759, 68, 86sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → -(1 − 𝑃) = (𝑃 − 1))
8887oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (-(1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
89 subcl 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (1 − 𝑃) ∈ ℂ)
9059, 68, 89sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 − 𝑃) ∈ ℂ)
9190, 71mulneg1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (-(1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
92 npcan 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑄) + 𝑄) = 1)
9359, 63, 92sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) + 𝑄) = 1)
9493oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) + 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = (1 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))
9565, 63, 72adddird 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) + 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9672mulid2d 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
9794, 95, 963eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9888, 91, 973eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9998oveq2d 7187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))))
10090, 71mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
10180, 100negsubd 11082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))))
10280, 75addcomd 10921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
10399, 101, 1023eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
104103eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (𝑃 · (𝑇𝑖))))
105 eqcom 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
106104, 105bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
10785, 106bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖))))
10873, 74, 77, 79add4d 10947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))) + ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
10965, 72, 76adddid 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))))
11063, 72, 78adddid 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) = ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))
111109, 110oveq12d 7189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))) + ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
112108, 111eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))))
113112oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) / 𝑃))
11472, 76addcld 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
11565, 114mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
11672, 78addcld 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
11763, 116mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
118115, 117, 68, 83divdird 11533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) + ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃)))
11965, 114, 68, 83divassd 11530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) = ((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
12063, 116, 68, 83divassd 11530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃) = (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
121119, 120oveq12d 7189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) + ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃)) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
122113, 118, 1213eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
123122eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
12468, 82mulcld 10740 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · (𝑇𝑖)) ∈ ℂ)
12580, 100, 124subaddd 11094 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
126107, 123, 1253bitr3rd 313 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
127126biimpd 232 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
128 npncan2 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) = 0)
12959, 68, 128sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) = 0)
130129oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) · (𝐴𝑖)) = (0 · (𝐴𝑖)))
13190, 70, 71adddird 10745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))
132 mul02 10897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐴𝑖)) = 0)
133132ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 · (𝐴𝑖)) = 0)
134130, 131, 1333eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = 0)
135134oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐵𝑖)) = (0 + (𝐵𝑖)))
136100, 72, 76addassd 10742 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐵𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
13776addid2d 10920 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 + (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
138135, 136, 1373eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
139114, 68, 83divcan2d 11497 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)))
140139oveq2d 7187 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
141138, 140eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))))
142134oveq1d 7186 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐶𝑖)) = (0 + (𝐶𝑖)))
143100, 72, 78addassd 10742 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐶𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
14478addid2d 10920 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 + (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
145142, 143, 1443eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
146116, 68, 83divcan2d 11497 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))
147146oveq2d 7187 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
148145, 147eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
149141, 148jca 515 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
150127, 149jctild 529 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
151 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ↔ (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
152150, 151syl6ibr 255 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
15357, 152sylan 583 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
154153an32s 652 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
155154ralimdva 3091 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
1561553impia 1118 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
157 fveq1 6674 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))‘𝑖))
158 fveq2 6675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
159158oveq2d 7187 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
160 fveq2 6675 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
161159, 160oveq12d 7189 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)))
162161oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
163 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))
164 ovex 7204 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) ∈ V
165162, 163, 164fvmpt 6776 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))‘𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
166157, 165sylan9eq 2793 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
167 oveq2 7179 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (𝑃 · (𝑥𝑖)) = (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
168167oveq2d 7187 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))))
169168eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))))
170 oveq2 7179 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) = ((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
171170oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))
172171eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
173169, 1723anbi13d 1439 . . . . . . 7 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
174166, 173syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
175174ralbidva 3108 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
176 fveq1 6674 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) → (𝑦𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))‘𝑖))
177 fveq2 6675 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
178159, 177oveq12d 7189 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))
179178oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
180 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))
181 ovex 7204 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt 6776 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))‘𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
183176, 182sylan9eq 2793 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
184 oveq2 7179 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (𝑃 · (𝑦𝑖)) = (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
185184oveq2d 7187 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
186185eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → ((𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
187 oveq2 7179 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (𝑄 · (𝑦𝑖)) = (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
188187oveq2d 7187 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
189188eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
190186, 1893anbi23d 1440 . . . . . . 7 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
191183, 190syl 17 . . . . . 6 ((𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
192191ralbidva 3108 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
193175, 192rspc2ev 3539 . . . 4 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
19435, 45, 156, 193syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
195 oveq2 7179 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑃 → (1 − 𝑟) = (1 − 𝑃))
196195oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑃 → ((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
197 oveq1 7178 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 · (𝑥𝑖)) = (𝑃 · (𝑥𝑖)))
198196, 197oveq12d 7189 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑃 → (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))))
199198eqeq2d 2749 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑃 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖)))))
2001993anbi1d 1441 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑃 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
201200ralbidv 3109 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
2022012rexbidv 3210 . . . 4 (𝑟 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
203 oveq2 7179 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑃 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑃))
204203oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑃 → ((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
205 oveq1 7178 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 · (𝑦𝑖)) = (𝑃 · (𝑦𝑖)))
206204, 205oveq12d 7189 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑃 → (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))))
207206eqeq2d 2749 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑃 → ((𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖)))))
2082073anbi2d 1442 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑃 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
209208ralbidv 3109 . . . . 5 (𝑠 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
2102092rexbidv 3210 . . . 4 (𝑠 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
211 oveq2 7179 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑄 → (1 − 𝑢) = (1 − 𝑄))
212211oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑄 → ((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) = ((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)))
213 oveq1 7178 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑄 → (𝑢 · (𝑦𝑖)) = (𝑄 · (𝑦𝑖)))
214212, 213oveq12d 7189 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑄 → (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))
215214eqeq2d 2749 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑄 → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
2162153anbi3d 1443 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑄 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
217216ralbidv 3109 . . . . 5 (𝑢 = 𝑄 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
2182172rexbidv 3210 . . . 4 (𝑢 = 𝑄 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
219202, 210, 218rspc3ev 3541 . . 3 (((𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
2201, 1, 2, 194, 219syl31anc 1374 . 2 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
221 rexcom 3259 . . . . . 6 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
222221rexbii 3161 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
223 rexcom 3259 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
224222, 223bitri 278 . . . 4 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
225224rexbii 3161 . . 3 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
226 rexcom 3259 . . 3 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
227 rexcom 3259 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
228227rexbii 3161 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
229 rexcom 3259 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
230228, 229bitri 278 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
231230rexbii 3161 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
232 rexcom 3259 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
233231, 232bitri 278 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
234233rexbii 3161 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
235225, 226, 2343bitri 300 . 2 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
236220, 235sylib 221 1 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  cmpt 5111  cfv 6340  (class class class)co 7171  cc 10614  cr 10615  0cc0 10616  1c1 10617   + caddc 10619   · cmul 10621  cmin 10949  -cneg 10950   / cdiv 11376  cn 11717  [,]cicc 12825  ...cfz 12982  𝔼cee 26834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-icc 12829  df-ee 26837
This theorem is referenced by:  axeuclid  26909
  Copyright terms: Public domain W3C validator