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Theorem axeuclidlem 27339
Description: Lemma for axeuclid 27340. Handle the algebraic aspects of the theorem. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
axeuclidlem ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝐶,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑖,𝑁,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑃,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑄,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦   𝑇,𝑖,𝑟,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦

Proof of Theorem axeuclidlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp21 1205 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → 𝑃 ∈ (0[,]1))
2 simp22 1206 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → 𝑄 ∈ (0[,]1))
3 fveere 27278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
43expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ))
5 fveere 27278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
65expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ))
74, 6anim12d 609 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ)))
8 fveere 27278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
98expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ))
10 fveere 27278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
1110expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ))
129, 11anim12d 609 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)))
137, 12anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ))))
1413impcom 408 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)))
15 unitssre 13240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
1615sseli 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (0[,]1) → 𝑃 ∈ ℝ)
17163ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ)
19 peano2rem 11297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
21 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2220, 21remulcld 11014 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
23 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11013 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
25 simpr3 1195 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
2624, 18, 25redivcld 11812 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2714, 26sylan 580 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2827an32s 649 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
2928ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
30 eleenn 27273 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
3130ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 mptelee 27272 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
3429, 33mpbird 256 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
35343adant3 1131 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
36 simplrl 774 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
3722, 36readdcld 11013 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) ∈ ℝ)
3837, 18, 25redivcld 11812 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) ∧ ((𝐶𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑇𝑘) ∈ ℝ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
3914, 38sylan 580 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
4039an32s 649 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
4140ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ)
42 mptelee 27272 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
4331, 42syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) ∈ ℝ))
4441, 43mpbird 256 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
45443adant3 1131 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁))
46 fveecn 27279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
4746expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ))
48 fveecn 27279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4948expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ))
5047, 49anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ)))
51 fveecn 27279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
5251expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ))
53 fveecn 27279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
5453expcom 414 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ))
5552, 54anim12d 609 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)))
5650, 55anim12d 609 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ))))
5756impcom 408 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)))
58 eqcom 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (𝑇𝑖))
59 ax-1cn 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
60 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ (0[,]1))
6115sseli 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑄 ∈ (0[,]1) → 𝑄 ∈ ℝ)
6261recnd 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ (0[,]1) → 𝑄 ∈ ℂ)
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑄 ∈ ℂ)
64 subcl 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → (1 − 𝑄) ∈ ℂ)
6559, 63, 64sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 − 𝑄) ∈ ℂ)
66 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (0[,]1))
6716recnd 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (0[,]1) → 𝑃 ∈ ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
69 subcl 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
7068, 59, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
71 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
7270, 71mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
7365, 72mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
7463, 72mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) ∈ ℂ)
7573, 74addcld 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) ∈ ℂ)
76 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
7765, 76mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
78 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
7963, 78mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
8077, 79addcld 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
8175, 80addcld 11003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) ∈ ℂ)
82 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑇𝑖) ∈ ℂ)
83 simpr3 1195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
8481, 68, 82, 83divmuld 11782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (𝑇𝑖) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
8558, 84bitrid 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
86 negsubdi2 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → -(1 − 𝑃) = (𝑃 − 1))
8759, 68, 86sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → -(1 − 𝑃) = (𝑃 − 1))
8887oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (-(1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
89 subcl 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (1 − 𝑃) ∈ ℂ)
9059, 68, 89sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 − 𝑃) ∈ ℂ)
9190, 71mulneg1d 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (-(1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
92 npcan 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑄) + 𝑄) = 1)
9359, 63, 92sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) + 𝑄) = 1)
9493oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) + 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = (1 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))
9565, 63, 72adddird 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) + 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9672mulid2d 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (1 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
9794, 95, 963eqtr3rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9888, 91, 973eqtr3d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))))
9998oveq2d 7300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))))
10090, 71mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
10180, 100negsubd 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + -((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))))
10280, 75addcomd 11186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) + (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
10399, 101, 1023eqtr3d 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
104103eqeq1d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (𝑃 · (𝑇𝑖))))
105 eqcom 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
106104, 105bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (𝑃 · (𝑇𝑖)) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))))
10785, 106bitr4d 281 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ ((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖))))
10873, 74, 77, 79add4d 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))) + ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
10965, 72, 76adddid 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))))
11063, 72, 78adddid 11008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) = ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖))))
111109, 110oveq12d 7302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) = ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + ((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖))) + ((𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
112108, 111eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) = (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))))
113112oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) / 𝑃))
11472, 76addcld 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) ∈ ℂ)
11565, 114mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) ∈ ℂ)
11672, 78addcld 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) ∈ ℂ)
11763, 116mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) ∈ ℂ)
118115, 117, 68, 83divdird 11798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) + (𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) + ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃)))
11965, 114, 68, 83divassd 11795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) = ((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
12063, 116, 68, 83divassd 11795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃) = (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
121119, 120oveq12d 7302 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑄) · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))) / 𝑃) + ((𝑄 · (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))) / 𝑃)) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
122113, 118, 1213eqtrd 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
123122eqeq2d 2750 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝑇𝑖) = (((((1 − 𝑄) · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝑄 · ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))) + (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) / 𝑃) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
12468, 82mulcld 11004 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · (𝑇𝑖)) ∈ ℂ)
12580, 100, 124subaddd 11359 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) − ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖))) = (𝑃 · (𝑇𝑖)) ↔ (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))))
126107, 123, 1253bitr3rd 310 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
127126biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
128 npncan2 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) = 0)
12959, 68, 128sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) = 0)
130129oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) · (𝐴𝑖)) = (0 · (𝐴𝑖)))
13190, 70, 71adddird 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) + (𝑃 − 1)) · (𝐴𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))))
132 mul02 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐴𝑖)) = 0)
133132ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 · (𝐴𝑖)) = 0)
134130, 131, 1333eqtr3d 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) = 0)
135134oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐵𝑖)) = (0 + (𝐵𝑖)))
136100, 72, 76addassd 11006 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐵𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
13776addid2d 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 + (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
138135, 136, 1373eqtr3rd 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
139114, 68, 83divcan2d 11762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)))
140139oveq2d 7300 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖))))
141138, 140eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))))
142134oveq1d 7299 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐶𝑖)) = (0 + (𝐶𝑖)))
143100, 72, 78addassd 11006 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖))) + (𝐶𝑖)) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
14478addid2d 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (0 + (𝐶𝑖)) = (𝐶𝑖))
145142, 143, 1443eqtr3rd 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
146116, 68, 83divcan2d 11762 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))
147146oveq2d 7300 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖))))
148145, 147eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
149141, 148jca 512 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
150127, 149jctild 526 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
151 df-3an 1088 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ↔ (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
152150, 151syl6ibr 251 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℂ) ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑖) ∈ ℂ)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
15357, 152sylan 580 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
154153an32s 649 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
155154ralimdva 3109 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
1561553impia 1116 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
157 fveq1 6782 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))‘𝑖))
158 fveq2 6783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
159158oveq2d 7300 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) = ((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)))
160 fveq2 6783 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
161159, 160oveq12d 7302 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)))
162161oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
163 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))
164 ovex 7317 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) ∈ V
165162, 163, 164fvmpt 6884 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃))‘𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
166157, 165sylan9eq 2799 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))
167 oveq2 7292 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (𝑃 · (𝑥𝑖)) = (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
168167oveq2d 7300 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))))
169168eqeq2d 2750 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))))
170 oveq2 7292 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) = ((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)))
171170oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))
172171eqeq2d 2750 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
173169, 1723anbi13d 1437 . . . . . . 7 ((𝑥𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
174166, 173syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
175174ralbidva 3112 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
176 fveq1 6782 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) → (𝑦𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))‘𝑖))
177 fveq2 6783 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
178159, 177oveq12d 7302 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) = (((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)))
179178oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
180 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))
181 ovex 7317 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt 6884 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃))‘𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
183176, 182sylan9eq 2799 . . . . . . 7 ((𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))
184 oveq2 7292 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (𝑃 · (𝑦𝑖)) = (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
185184oveq2d 7300 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
186185eqeq2d 2750 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → ((𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
187 oveq2 7292 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (𝑄 · (𝑦𝑖)) = (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))
188187oveq2d 7300 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))
189188eqeq2d 2750 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃)))))
190186, 1893anbi23d 1438 . . . . . . 7 ((𝑦𝑖) = ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
191183, 190syl 17 . . . . . 6 ((𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
192191ralbidva 3112 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))))
193175, 192rspc2ev 3573 . . . 4 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐵𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑘)) + (𝐶𝑘)) / 𝑃)) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐵𝑖)) / 𝑃)) + (𝑄 · ((((𝑃 − 1) · (𝐴𝑖)) + (𝐶𝑖)) / 𝑃))))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
19435, 45, 156, 193syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
195 oveq2 7292 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑃 → (1 − 𝑟) = (1 − 𝑃))
196195oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑃 → ((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
197 oveq1 7291 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑃 → (𝑟 · (𝑥𝑖)) = (𝑃 · (𝑥𝑖)))
198196, 197oveq12d 7302 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑃 → (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))))
199198eqeq2d 2750 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑃 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖)))))
2001993anbi1d 1439 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑃 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
201200ralbidv 3113 . . . . 5 (𝑟 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
2022012rexbidv 3230 . . . 4 (𝑟 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
203 oveq2 7292 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑃 → (1 − 𝑠) = (1 − 𝑃))
204203oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑃 → ((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)))
205 oveq1 7291 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑃 → (𝑠 · (𝑦𝑖)) = (𝑃 · (𝑦𝑖)))
206204, 205oveq12d 7302 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑃 → (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))))
207206eqeq2d 2750 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑃 → ((𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖)))))
2082073anbi2d 1440 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑃 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
209208ralbidv 3113 . . . . 5 (𝑠 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
2102092rexbidv 3230 . . . 4 (𝑠 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))))))
211 oveq2 7292 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑄 → (1 − 𝑢) = (1 − 𝑄))
212211oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑄 → ((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) = ((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)))
213 oveq1 7291 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑄 → (𝑢 · (𝑦𝑖)) = (𝑄 · (𝑦𝑖)))
214212, 213oveq12d 7302 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑄 → (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))
215214eqeq2d 2750 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑄 → ((𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖))) ↔ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖)))))
2162153anbi3d 1441 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑄 → (((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
217216ralbidv 3113 . . . . 5 (𝑢 = 𝑄 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
2182172rexbidv 3230 . . . 4 (𝑢 = 𝑄 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))))
219202, 210, 218rspc3ev 3575 . . 3 (((𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑄) · (𝑥𝑖)) + (𝑄 · (𝑦𝑖))))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
2201, 1, 2, 194, 219syl31anc 1372 . 2 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
221 rexcom 3235 . . . . . 6 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
222221rexbii 3182 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
223 rexcom 3235 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
224222, 223bitri 274 . . . 4 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
225224rexbii 3182 . . 3 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
226 rexcom 3235 . . 3 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
227 rexcom 3235 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
228227rexbii 3182 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
229 rexcom 3235 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
230228, 229bitri 274 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
231230rexbii 3182 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
232 rexcom 3235 . . . . 5 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
233231, 232bitri 274 . . . 4 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
234233rexbii 3182 . . 3 (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
235225, 226, 2343bitri 297 . 2 (∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
236220, 235sylib 217 1 ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑇 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑄 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(((1 − 𝑃) · (𝐴𝑖)) + (𝑃 · (𝑇𝑖))) = (((1 − 𝑄) · (𝐵𝑖)) + (𝑄 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (0[,]1)∃𝑠 ∈ (0[,]1)∃𝑢 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑟) · (𝐴𝑖)) + (𝑟 · (𝑥𝑖))) ∧ (𝐶𝑖) = (((1 − 𝑠) · (𝐴𝑖)) + (𝑠 · (𝑦𝑖))) ∧ (𝑇𝑖) = (((1 − 𝑢) · (𝑥𝑖)) + (𝑢 · (𝑦𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  cmpt 5158  cfv 6437  (class class class)co 7284  cc 10878  cr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  cmin 11214  -cneg 11215   / cdiv 11641  cn 11982  [,]cicc 13091  ...cfz 13248  𝔼cee 27265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-icc 13095  df-ee 27268
This theorem is referenced by:  axeuclid  27340
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