Theorem axsegconlem8 28905

Description: Lemma for axsegcon 28908. Show that a particular mapping generates a point. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axsegconlem2.1	⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
axsegconlem7.2	⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
axsegconlem8.3	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))

Assertion

Ref	Expression
axsegconlem8	⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐷,𝑝   𝑁,𝑝   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑝)   𝑇(𝑝)   𝐹(𝑘,𝑝)

Proof of Theorem axsegconlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axsegconlem8.3	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)))
2		axsegconlem2.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
3	2	axsegconlem4 28901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
4	3	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ∈ ℝ)
6		axsegconlem7.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑝) − (𝐷‘𝑝))↑2)
7	6	axsegconlem4 28901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑇) ∈ ℝ)
9	5, 8	readdcld 11181	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) ∈ ℝ)
10		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		fveere 28882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
13	9, 12	remulcld 11182	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) ∈ ℝ)
14		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		fveere 28882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
16	14, 15	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
17	8, 16	remulcld 11182	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
18	13, 17	resubcld 11584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) ∈ ℝ)
19	2	axsegconlem6 28903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 0 < (√‘𝑆))
20	19	gt0ne0d 11720	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (√‘𝑆) ≠ 0)
21	20	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (√‘𝑆) ≠ 0)
22	18, 5, 21	redivcld 11988	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) ∈ ℝ)
23	22	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) ∈ ℝ)
24		eleenn 28877	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
26		mptelee 28876	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) ∈ ℝ))
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆)) ∈ ℝ))
28	23, 27	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (((((√‘𝑆) + (√‘𝑇)) · (𝐵‘𝑘)) − ((√‘𝑇) · (𝐴‘𝑘))) / (√‘𝑆))) ∈ (𝔼‘𝑁))
29	1, 28	eqeltrid 2832	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11045  0cc0 11046  1c1 11047   + caddc 11049   · cmul 11051   − cmin 11383   / cdiv 11813  ℕcn 12164  2c2 12219  ...cfz 13446  ↑cexp 14004  √csqrt 15176  Σcsu 15629  𝔼cee 28869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-ico 13290  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-sum 15630  df-ee 28872

This theorem is referenced by:  axsegconlem10  28907  axsegcon  28908