MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem8 28774
Description: Lemma for axsegcon 28777. Show that a particular mapping generates a point. (Contributed by Scott Fenton, 18-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1 ๐‘† = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)
axsegconlem7.2 ๐‘‡ = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)
axsegconlem8.3 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
Assertion
Ref Expression
axsegconlem8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘   ๐ต,๐‘   ๐ถ,๐‘   ๐ท,๐‘   ๐‘,๐‘   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐ท,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘†,๐‘˜   ๐‘‡,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘)   ๐‘‡(๐‘)   ๐น(๐‘˜,๐‘)

Proof of Theorem axsegconlem8
StepHypRef Expression
1 axsegconlem8.3 . 2 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)))
2 axsegconlem2.1 . . . . . . . . . . 11 ๐‘† = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ดโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ตโ€˜๐‘))โ†‘2)
32axsegconlem4 28770 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
433adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
54ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
6 axsegconlem7.2 . . . . . . . . . 10 ๐‘‡ = ฮฃ๐‘ โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘))โ†‘2)
76axsegconlem4 28770 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
87ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
95, 8readdcld 11268 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
10 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
11 fveere 28751 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
1210, 11sylan 578 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
139, 12remulcld 11269 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
14 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
15 fveere 28751 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
1614, 15sylan 578 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
178, 16remulcld 11269 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
1813, 17resubcld 11667 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
192axsegconlem6 28772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ 0 < (โˆšโ€˜๐‘†))
2019gt0ne0d 11803 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โ‰  0)
2120ad2antrr 724 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜๐‘†) โ‰  0)
2218, 5, 21redivcld 12067 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
2322ralrimiva 3136 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„)
24 eleenn 28746 . . . . 5 (๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2524ad2antll 727 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
26 mptelee 28745 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„))
2725, 26syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†)) โˆˆ โ„))
2823, 27mpbird 256 . 2 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ (((((โˆšโ€˜๐‘†) + (โˆšโ€˜๐‘‡)) ยท (๐ตโ€˜๐‘˜)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐‘‡) ยท (๐ดโ€˜๐‘˜))) / (โˆšโ€˜๐‘†))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
291, 28eqeltrid 2829 1 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ ๐น โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  โˆšcsqrt 15207  ฮฃcsu 15659  ๐”ผcee 28738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-ee 28741
This theorem is referenced by:  axsegconlem10  28776  axsegcon  28777
  Copyright terms: Public domain W3C validator