Theorem mptelee 29454

Description: A condition for a mapping to be an element of a Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.) (Proof shortened by SN, 2-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mptelee	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝐹𝐵) ∈ ℝ))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem mptelee

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elee 29453	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝐴𝐹𝐵)):(1...𝑁)⟶ℝ))
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝐴𝐹𝐵)) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝐴𝐹𝐵))
3	2	fmpt 7102	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝐹𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝐴𝐹𝐵)):(1...𝑁)⟶ℝ)
4	1, 3	bitr4di 292	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝐹𝐵) ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182  ℕcn 12316  ...cfz 13620  𝔼cee 29447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833  df-ee 29450

This theorem is used by:  eleesub  29471  eleesubd  29472  axsegconlem1  29477  axsegconlem8  29484  axpasch  29501  axeuclidlem  29522  axcontlem2  29525