Theorem eleei 29354

Description: The forward direction of elee 29350. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleei	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)

Proof of Theorem eleei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleenn 29353	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		elee 29350	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	ibi 270	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  1c1 11125  ℕcn 12257  ...cfz 13561  𝔼cee 29344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8828  df-ee 29347

This theorem is used by:  eedimeq  29355  fveere  29358  eqeefv  29360