MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eleei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleei 26691
Description: The forward direction of elee 26688. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
eleei (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)

Proof of Theorem eleei
StepHypRef Expression
1 eleenn 26690 . . 3 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 elee 26688 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
43ibi 270 1 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2111  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  1c1 10527  cn 11625  ...cfz 12885  𝔼cee 26682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-ee 26685
This theorem is referenced by:  eedimeq  26692  fveere  26695  eqeefv  26697
  Copyright terms: Public domain W3C validator