Theorem eleei 28721

Description: The forward direction of elee 28718. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleei	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)

Proof of Theorem eleei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleenn 28720	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		elee 28718	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	ibi 267	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2099  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  1c1 11140  ℕcn 12243  ...cfz 13517  𝔼cee 28712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-ee 28715

This theorem is referenced by:  eedimeq  28722  fveere  28725  eqeefv  28727