Theorem eleei 28913

Description: The forward direction of elee 28910. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleei	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)

Proof of Theorem eleei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleenn 28912	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		elee 28910	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	ibi 267	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  1c1 11157  ℕcn 12267  ...cfz 13548  𝔼cee 28904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-ee 28907

This theorem is referenced by:  eedimeq  28914  fveere  28917  eqeefv  28919