MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brbtwn 26693
Description: The binary relation form of the betweenness predicate. The statement 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶 should be informally read as "𝐴 lies on a line segment between 𝐵 and 𝐶. This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑡   𝐴,𝑖,𝑡   𝐵,𝑖,𝑡   𝐶,𝑖,𝑡

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 26686 . . 3 Btwn = {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}
21breqi 5036 . 2 (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩)
3 opex 5321 . . . . 5 𝐵, 𝐶⟩ ∈ V
4 brcnvg 5714 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ V) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴))
53, 4mpan2 690 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴))
653ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴))
7 df-br 5031 . . . 4 (⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))})
8 eleq1 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛)))
983anbi1d 1437 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛))))
10 fveq1 6644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑖) = (𝐵𝑖))
1110oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → ((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
1211oveq1d 7150 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))
1312eqeq2d 2809 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))))
1413rexralbidv 3260 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))))
159, 14anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))))
1615rexbidv 3256 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))))
17 eleq1 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛)))
18173anbi2d 1438 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛))))
19 fveq1 6644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝑖) = (𝐶𝑖))
2019oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → (𝑡 · (𝑧𝑖)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
2120oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐶 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
2221eqeq2d 2809 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐶 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
2322rexralbidv 3260 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
2418, 23anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐶 → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
2524rexbidv 3256 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
26 eleq1 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)))
27263anbi3d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))))
28 fveq1 6644 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑖) = (𝐴𝑖))
2928eqeq1d 2800 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
3029rexralbidv 3260 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
3127, 30anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
3231rexbidv 3256 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
3316, 25, 32eloprabg 7241 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))} ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
34 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛))
35 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
36 eedimeq 26692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑛 = 𝑁)
3734, 35, 36syl2anr 599 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))) → 𝑛 = 𝑁)
38 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
3938raleqdv 3364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4039rexbidv 3256 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4241biimpd 232 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4342expimpd 457 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4443rexlimdvw 3249 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
45 eleenn 26690 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
46453ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
47 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑁 → (𝔼‘𝑛) = (𝔼‘𝑁))
4847eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4947eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
5047eleq2d 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
5148, 49, 503anbi123d 1433 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))))
5251, 40anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
5352rspcev 3571 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
5453exp32 424 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
5546, 54mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
5644, 55impbid 215 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
5733, 56bitrd 282 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))} ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
58573comr 1122 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))} ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
597, 58syl5bb 286 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
606, 59bitrd 282 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
612, 60syl5bb 286 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107  Vcvv 3441  cop 4531   class class class wbr 5030  ccnv 5518  cfv 6324  (class class class)co 7135  {coprab 7136  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  cn 11625  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  𝔼cee 26682   Btwn cbtwn 26683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-ee 26685  df-btwn 26686
This theorem is referenced by:  brbtwn2  26699  axsegcon  26721  ax5seg  26732  axbtwnid  26733  axpasch  26735  axeuclid  26757  axcontlem2  26759  axcontlem4  26761  axcontlem7  26764  axcontlem8  26765  elntg2  26779
  Copyright terms: Public domain W3C validator