MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brbtwn 28590
Description: The binary relation form of the betweenness predicate. The statement ๐ด Btwn โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ should be informally read as "๐ด lies on a line segment between ๐ต and ๐ถ. This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด Btwn โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘,๐‘ก   ๐ด,๐‘–,๐‘ก   ๐ต,๐‘–,๐‘ก   ๐ถ,๐‘–,๐‘ก

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 28583 . . 3 Btwn = โ—ก{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}
21breqi 5154 . 2 (๐ด Btwn โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” ๐ดโ—ก{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
3 opex 5464 . . . . 5 โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โˆˆ V
4 brcnvg 5879 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โˆˆ V) โ†’ (๐ดโ—ก{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}๐ด))
53, 4mpan2 688 . . . 4 (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†’ (๐ดโ—ก{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}๐ด))
653ad2ant1 1132 . . 3 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ดโ—ก{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}๐ด))
7 df-br 5149 . . . 4 (โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}๐ด โ†” โŸจโŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ, ๐ดโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))})
8 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โ†” ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)))
983anbi1d 1439 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โ†” (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›))))
10 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–))
1110oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)))
1211oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))
1312eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–)))))
1413rexralbidv 3219 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–)))))
159, 14anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–)))) โ†” ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))))
1615rexbidv 3177 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))))
17 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โ†” ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)))
18173anbi2d 1440 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โ†” (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›))))
19 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (๐‘งโ€˜๐‘–) = (๐ถโ€˜๐‘–))
2019oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–)) = (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))
2120oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))
2221eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
2322rexralbidv 3219 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
2418, 23anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–)))) โ†” ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))))
2524rexbidv 3177 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐ถ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))))
26 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โ†” ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)))
27263anbi3d 1441 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โ†” (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›))))
28 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (๐ดโ€˜๐‘–))
2928eqeq1d 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
3029rexralbidv 3219 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
3127, 30anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†” ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))))
3231rexbidv 3177 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))))
3316, 25, 32eloprabg 7521 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจโŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ, ๐ดโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))} โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))))
34 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›))
35 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
36 eedimeq 28589 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘› = ๐‘)
3734, 35, 36syl2anr 596 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›))) โ†’ ๐‘› = ๐‘)
38 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘))
3938raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
4039rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
4241biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
4342expimpd 453 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
4443rexlimdvw 3159 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
45 eleenn 28587 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
46453ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐”ผโ€˜๐‘›) = (๐”ผโ€˜๐‘))
4847eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โ†” ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
4947eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โ†” ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
5047eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โ†” ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))
5148, 49, 503anbi123d 1435 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โ†” (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))))
5251, 40anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†” ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))))
5352rspcev 3612 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
5453exp32 420 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))))
5546, 54mpcom 38 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–))))))
5644, 55impbid 211 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
5733, 56bitrd 279 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจโŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ, ๐ดโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))} โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
58573comr 1124 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจโŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ, ๐ดโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))} โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
597, 58bitrid 283 . . 3 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}๐ด โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
606, 59bitrd 279 . 2 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ดโ—ก{โŸจโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ, ๐‘ฅโŸฉ โˆฃ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘›)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘›)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘งโ€˜๐‘–))))}โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
612, 60bitrid 283 1 ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐ด Btwn โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ดโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐ถโ€˜๐‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  Vcvv 3473  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148  โ—กccnv 5675  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  {coprab 7413  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   ยท cmul 11121   โˆ’ cmin 11451  โ„•cn 12219  [,]cicc 13334  ...cfz 13491  ๐”ผcee 28579   Btwn cbtwn 28580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-ee 28582  df-btwn 28583
This theorem is referenced by:  brbtwn2  28596  axsegcon  28618  ax5seg  28629  axbtwnid  28630  axpasch  28632  axeuclid  28654  axcontlem2  28656  axcontlem4  28658  axcontlem7  28661  axcontlem8  28662  elntg2  28676
  Copyright terms: Public domain W3C validator