MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brbtwn 28146
Description: The binary relation form of the betweenness predicate. The statement 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶 should be informally read as "𝐴 lies on a line segment between 𝐵 and 𝐶. This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑡   𝐴,𝑖,𝑡   𝐵,𝑖,𝑡   𝐶,𝑖,𝑡

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 28139 . . 3 Btwn = {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}
21breqi 5153 . 2 (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩)
3 opex 5463 . . . . 5 𝐵, 𝐶⟩ ∈ V
4 brcnvg 5877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ V) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴))
53, 4mpan2 689 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴))
653ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴))
7 df-br 5148 . . . 4 (⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))})
8 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛)))
983anbi1d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛))))
10 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑖) = (𝐵𝑖))
1110oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → ((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
1211oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))
1312eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))))
1413rexralbidv 3220 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))))
159, 14anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))))
1615rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))))
17 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛)))
18173anbi2d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛))))
19 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝑖) = (𝐶𝑖))
2019oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐶 → (𝑡 · (𝑧𝑖)) = (𝑡 · (𝐶𝑖)))
2120oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐶 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))
2221eqeq2d 2743 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐶 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ (𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
2322rexralbidv 3220 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
2418, 23anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐶 → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
2524rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐶 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
26 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)))
27263anbi3d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))))
28 fveq1 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑖) = (𝐴𝑖))
2928eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
3029rexralbidv 3220 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
3127, 30anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
3231rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
3316, 25, 32eloprabg 7514 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))} ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
34 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛))
35 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
36 eedimeq 28145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑛 = 𝑁)
3734, 35, 36syl2anr 597 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))) → 𝑛 = 𝑁)
38 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
3938raleqdv 3325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4039rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4241biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛))) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4342expimpd 454 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
4443rexlimdvw 3160 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) → ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
45 eleenn 28143 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
46453ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
47 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑁 → (𝔼‘𝑛) = (𝔼‘𝑁))
4847eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
4947eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)))
5047eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛) ↔ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)))
5148, 49, 503anbi123d 1436 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ↔ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))))
5251, 40anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
5352rspcev 3612 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
5453exp32 421 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))))
5546, 54mpcom 38 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖))))))
5644, 55impbid 211 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
5733, 56bitrd 278 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))} ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
58573comr 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨⟨𝐵, 𝐶⟩, 𝐴⟩ ∈ {⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))} ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
597, 58bitrid 282 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}𝐴 ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
606, 59bitrd 278 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴{⟨⟨𝑦, 𝑧⟩, 𝑥⟩ ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑧 ∈ (𝔼‘𝑛) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑛)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑦𝑖)) + (𝑡 · (𝑧𝑖))))}⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
612, 60bitrid 282 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ ∃𝑡 ∈ (0[,]1)∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝐶𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cop 4633   class class class wbr 5147  ccnv 5674  cfv 6540  (class class class)co 7405  {coprab 7406  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  cn 12208  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  𝔼cee 28135   Btwn cbtwn 28136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-ee 28138  df-btwn 28139
This theorem is referenced by:  brbtwn2  28152  axsegcon  28174  ax5seg  28185  axbtwnid  28186  axpasch  28188  axeuclid  28210  axcontlem2  28212  axcontlem4  28214  axcontlem7  28217  axcontlem8  28218  elntg2  28232
  Copyright terms: Public domain W3C validator