Theorem eleesubd 28928

Description: Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. Deduction form of eleesub 28927. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
eleesubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))

Assertion

Ref	Expression
eleesubd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)

Proof of Theorem eleesubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleesubd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
3		fveere 28917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
4		fveere 28917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
5		resubcl 11574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
7	6	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
8	7	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
9		eleenn 28912	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		mptelee 28911	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
13	8, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
14	13	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
15	2, 14	eqeltrd 2840	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  1c1 11157   − cmin 11493  ℕcn 12267  ...cfz 13548  𝔼cee 28904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496  df-ee 28907

This theorem is referenced by: (None)