Theorem eleesubd 28857

Description: Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. Deduction form of eleesub 28856. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
eleesubd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))

Assertion

Ref	Expression
eleesubd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)

Proof of Theorem eleesubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleesubd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))))
3		fveere 28846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
4		fveere 28846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
5		resubcl 11428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
7	6	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
8	7	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
9		eleenn 28841	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10		mptelee 28840	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
13	8, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
14	13	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
15	2, 14	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  1c1 11010   − cmin 11347  ℕcn 12128  ...cfz 13410  𝔼cee 28833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350  df-ee 28836

This theorem is referenced by: (None)