MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eleesubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleesubd 26695
Description: Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. Deduction form of eleesub 26694. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
eleesubd.1 (𝜑𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
Assertion
Ref Expression
eleesubd ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)

Proof of Theorem eleesubd
StepHypRef Expression
1 eleesubd.1 . . 3 (𝜑𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
3 fveere 26684 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
4 fveere 26684 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
5 resubcl 10935 . . . . . . 7 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
63, 4, 5syl2an 598 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
76anandirs 678 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
87ralrimiva 3176 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
9 eleenn 26679 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10 mptelee 26678 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
1211adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
138, 12mpbird 260 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
14133adant1 1127 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
152, 14eqeltrd 2916 1 ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521  1c1 10523  cmin 10855  cn 11623  ...cfz 12883  𝔼cee 26671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-ltxr 10665  df-sub 10857  df-neg 10858  df-ee 26674
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator