MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eleesubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleesubd 28840
Description: Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. Deduction form of eleesub 28839. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
eleesubd.1 (𝜑𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
Assertion
Ref Expression
eleesubd ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)

Proof of Theorem eleesubd
StepHypRef Expression
1 eleesubd.1 . . 3 (𝜑𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
213ad2ant1 1130 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))))
3 fveere 28829 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
4 fveere 28829 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
5 resubcl 11562 . . . . . . 7 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
63, 4, 5syl2an 594 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
76anandirs 677 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
87ralrimiva 3136 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
9 eleenn 28824 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
10 mptelee 28823 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
1211adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
138, 12mpbird 256 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
14133adant1 1127 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
152, 14eqeltrd 2826 1 ((𝜑𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7413  cr 11145  1c1 11147  cmin 11482  cn 12255  ...cfz 13529  𝔼cee 28816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484  df-neg 11485  df-ee 28819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator