Theorem eedimeq 28882

Description: A point belongs to at most one Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eedimeq	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → 𝑁 = 𝑀)

Proof of Theorem eedimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleei 28881	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)
2		eleei 28881	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀) → 𝐴:(1...𝑀)⟶ℝ)
3		fdm 6720	. . . . 5 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐴 = (1...𝑁))
4		fdm 6720	. . . . 5 ⊢ (𝐴:(1...𝑀)⟶ℝ → dom 𝐴 = (1...𝑀))
5	3, 4	sylan9req 2792	. . . 4 ⊢ ((𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ 𝐴:(1...𝑀)⟶ℝ) → (1...𝑁) = (1...𝑀))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → (1...𝑁) = (1...𝑀))
7		eleenn 28880	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnuz 12900	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	7, 8	eleqtrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11		fzopth 13583	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ((1...𝑁) = (1...𝑀) ↔ (1 = 1 ∧ 𝑁 = 𝑀)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → ((1...𝑁) = (1...𝑀) ↔ (1 = 1 ∧ 𝑁 = 𝑀)))
13	6, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → (1 = 1 ∧ 𝑁 = 𝑀))
14	13	simprd 495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → 𝑁 = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135  ℕcn 12245  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  𝔼cee 28872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-ee 28875

This theorem is referenced by:  brbtwn  28883  brcgr  28884  axdimuniq  28897