Theorem eedimeq 28811

Description: A point belongs to at most one Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eedimeq	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → 𝑁 = 𝑀)

Proof of Theorem eedimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleei 28810	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ)
2		eleei 28810	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀) → 𝐴:(1...𝑀)⟶ℝ)
3		fdm 6712	. . . . 5 ⊢ (𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ → dom 𝐴 = (1...𝑁))
4		fdm 6712	. . . . 5 ⊢ (𝐴:(1...𝑀)⟶ℝ → dom 𝐴 = (1...𝑀))
5	3, 4	sylan9req 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐴:(1...𝑁)⟶ℝ ∧ 𝐴:(1...𝑀)⟶ℝ) → (1...𝑁) = (1...𝑀))
6	1, 2, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → (1...𝑁) = (1...𝑀))
7		eleenn 28809	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		nnuz 12888	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	7, 8	eleqtrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
11		fzopth 13568	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ((1...𝑁) = (1...𝑀) ↔ (1 = 1 ∧ 𝑁 = 𝑀)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → ((1...𝑁) = (1...𝑀) ↔ (1 = 1 ∧ 𝑁 = 𝑀)))
13	6, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → (1 = 1 ∧ 𝑁 = 𝑀))
14	13	simprd 495	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑀)) → 𝑁 = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  dom cdm 5652  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  ℝcr 11121  1c1 11123  ℕcn 12233  ℤ_≥cuz 12845  ...cfz 13514  𝔼cee 28801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8714  df-map 8837  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-z 12582  df-uz 12846  df-fz 13515  df-ee 28804

This theorem is referenced by:  brbtwn  28812  brcgr  28813  axdimuniq  28826