MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem1 28767
Description: Lemma for axsegcon 28777. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1 ((๐ด = ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐‘,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ด,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ต,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ถ,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ท,๐‘–,๐‘ฅ

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 28751 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
213ad2antl1 1182 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3 fveere 28751 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
433ad2antl2 1183 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
5 fveere 28751 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
653ad2antl3 1184 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
74, 6resubcld 11667 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
82, 7resubcld 11667 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
98ralrimiva 3136 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
10 eleenn 28746 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
11 mptelee 28745 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„))
13123ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„))
149, 13mpbird 256 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
15 fveecn 28752 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
16153ad2antl1 1182 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
17 fveecn 28752 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
18173ad2antl2 1183 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
19 fveecn 28752 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
20193ad2antl3 1184 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
21 1m0e1 12358 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆ’ 0) = 1
2221oveq1i 7423 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (1 ยท (๐ตโ€˜๐‘–))
23 mullid 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (๐ตโ€˜๐‘–))
24233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (๐ตโ€˜๐‘–))
2522, 24eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (๐ตโ€˜๐‘–))
26 subcl 11484 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
27 subcl 11484 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
2826, 27sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
29283impb 1112 . . . . . . . . . . 11 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
3029mul02d 11437 . . . . . . . . . 10 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))) = 0)
3125, 30oveq12d 7431 . . . . . . . . 9 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) = ((๐ตโ€˜๐‘–) + 0))
32 addrid 11419 . . . . . . . . . 10 ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ตโ€˜๐‘–))
33323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ตโ€˜๐‘–))
3431, 33eqtr2d 2766 . . . . . . . 8 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
3516, 18, 20, 34syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
3635ralrimiva 3136 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
3718, 20subcld 11596 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
3816, 37nncand 11601 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))
3938oveq1d 7428 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
4039sumeq2dv 15676 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
41 0elunit 13473 . . . . . . 7 0 โˆˆ (0[,]1)
42 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))))โ€˜๐‘–))
43 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) = (๐ตโ€˜๐‘–))
44 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘–))
45 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ทโ€˜๐‘˜) = (๐ทโ€˜๐‘–))
4644, 45oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))
4743, 46oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))))
49 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ V
5047, 48, 49fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))))โ€˜๐‘–) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))
5142, 50sylan9eq 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))
5251oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))
5352oveq2d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
5453eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
5554ralbidva 3166 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
5651oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))
5756oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2))
5857sumeq2dv 15676 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2))
5958eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
6055, 59anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
61 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ 0))
6261oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = 0 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)))
63 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = 0 โ†’ (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))) = (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))
6462, 63oveq12d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = 0 โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
6564eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = 0 โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
6665ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = 0 โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
6766anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘ก = 0 โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
6860, 67rspc2ev 3616 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง 0 โˆˆ (0[,]1) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
6941, 68mp3an2 1445 . . . . . 6 (((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
7014, 36, 40, 69syl12anc 835 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
71703expb 1117 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
7271adantll 712 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
73 fveq1 6889 . . . . . . . . 9 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–))
7473oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (๐ด = ๐ต โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)))
7574oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐ด = ๐ต โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))))
7675eqeq2d 2736 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
7776ralbidv 3168 . . . . 5 (๐ด = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
7877anbi1d 629 . . . 4 (๐ด = ๐ต โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
79782rexbidv 3210 . . 3 (๐ด = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
8072, 79imbitrrid 245 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
8180imp 405 1 ((๐ด = ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11131  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   โˆ’ cmin 11469  โ„•cn 12237  2c2 12292  [,]cicc 13354  ...cfz 13511  โ†‘cexp 14053  ฮฃcsu 15659  ๐”ผcee 28738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-icc 13358  df-fz 13512  df-seq 13994  df-sum 15660  df-ee 28741
This theorem is referenced by:  axsegcon  28777
  Copyright terms: Public domain W3C validator