MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem1 28702
Description: Lemma for axsegcon 28712. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1 ((๐ด = ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐‘,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ด,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ต,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ถ,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ก,๐ท,๐‘–,๐‘ฅ

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 28686 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
213ad2antl1 1183 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
3 fveere 28686 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
433ad2antl2 1184 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
5 fveere 28686 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
653ad2antl3 1185 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
74, 6resubcld 11658 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
82, 7resubcld 11658 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
98ralrimiva 3141 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„)
10 eleenn 28681 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
11 mptelee 28680 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„))
13123ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) โˆˆ โ„))
149, 13mpbird 257 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))
15 fveecn 28687 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
16153ad2antl1 1183 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
17 fveecn 28687 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
18173ad2antl2 1184 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
19 fveecn 28687 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
20193ad2antl3 1185 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
21 1m0e1 12349 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆ’ 0) = 1
2221oveq1i 7424 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (1 ยท (๐ตโ€˜๐‘–))
23 mullid 11229 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (๐ตโ€˜๐‘–))
24233ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (๐ตโ€˜๐‘–))
2522, 24eqtrid 2779 . . . . . . . . . 10 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = (๐ตโ€˜๐‘–))
26 subcl 11475 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
27 subcl 11475 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
2826, 27sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
29283impb 1113 . . . . . . . . . . 11 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ โ„‚)
3029mul02d 11428 . . . . . . . . . 10 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))) = 0)
3125, 30oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) = ((๐ตโ€˜๐‘–) + 0))
32 addrid 11410 . . . . . . . . . 10 ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ตโ€˜๐‘–))
33323ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) + 0) = (๐ตโ€˜๐‘–))
3431, 33eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ทโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
3516, 18, 20, 34syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
3635ralrimiva 3141 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
3718, 20subcld 11587 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„‚)
3816, 37nncand 11592 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))
3938oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = (((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
4039sumeq2dv 15667 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))
41 0elunit 13464 . . . . . . 7 0 โˆˆ (0[,]1)
42 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))))โ€˜๐‘–))
43 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ตโ€˜๐‘˜) = (๐ตโ€˜๐‘–))
44 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ถโ€˜๐‘˜) = (๐ถโ€˜๐‘–))
45 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ทโ€˜๐‘˜) = (๐ทโ€˜๐‘–))
4644, 45oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)) = ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))
4743, 46oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))
48 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))))
49 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))) โˆˆ V
5047, 48, 49fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜))))โ€˜๐‘–) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))
5142, 50sylan9eq 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))
5251oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))
5352oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
5453eqeq2d 2738 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
5554ralbidva 3170 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
5651oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–)) = ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))
5756oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = (((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2))
5857sumeq2dv 15667 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2))
5958eqeq1d 2729 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2) โ†” ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
6055, 59anbi12d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
61 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = 0 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ 0))
6261oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = 0 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)))
63 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = 0 โ†’ (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))) = (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))
6462, 63oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = 0 โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))))
6564eqeq2d 2738 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = 0 โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
6665ralbidv 3172 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = 0 โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–)))))))
6766anbi1d 629 . . . . . . . 8 (๐‘ก = 0 โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
6860, 67rspc2ev 3620 . . . . . . 7 (((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง 0 โˆˆ (0[,]1) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
6941, 68mp3an2 1446 . . . . . 6 (((๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†ฆ ((๐ตโ€˜๐‘˜) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘˜) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘˜)))) โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ 0) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (0 ยท ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ ((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
7014, 36, 40, 69syl12anc 836 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
71703expb 1118 . . . 4 ((๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
7271adantll 713 . . 3 (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
73 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘–))
7473oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (๐ด = ๐ต โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)))
7574oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐ด = ๐ต โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))))
7675eqeq2d 2738 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” (๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
7776ralbidv 3172 . . . . 5 (๐ด = ๐ต โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–)))))
7877anbi1d 629 . . . 4 (๐ด = ๐ต โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
79782rexbidv 3214 . . 3 (๐ด = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ตโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
8072, 79imbitrrid 245 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2))))
8180imp 406 1 ((๐ด = ๐ต โˆง ((๐ด โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ต โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง (๐ถ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐ท โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)โˆƒ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)(โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐ตโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐ดโ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฅโ€˜๐‘–))) โˆง ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ตโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–))โ†‘2) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(((๐ถโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐ทโ€˜๐‘–))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  โ„•cn 12228  2c2 12283  [,]cicc 13345  ...cfz 13502  โ†‘cexp 14044  ฮฃcsu 15650  ๐”ผcee 28673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-icc 13349  df-fz 13503  df-seq 13985  df-sum 15651  df-ee 28676
This theorem is referenced by:  axsegcon  28712
  Copyright terms: Public domain W3C validator