Theorem axsegconlem1 28994

Description: Lemma for axsegcon 29004. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axsegconlem1	⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑁,𝑖,𝑥   𝑡,𝐴,𝑖,𝑥   𝑡,𝐵,𝑖,𝑥   𝑡,𝐶,𝑖,𝑥   𝑡,𝐷,𝑖,𝑥

Proof of Theorem axsegconlem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveere 28978	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
2	1	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
3		fveere 28978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℝ)
4	3	3ad2antl2 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) ∈ ℝ)
5		fveere 28978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
6	5	3ad2antl3 1189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ ℝ)
7	4, 6	resubcld 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)) ∈ ℝ)
8	2, 7	resubcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℝ)
9	8	ralrimiva 3129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℝ)
10		eleenn 28973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		mptelee 28971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℝ))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℝ))
13	12	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))) ∈ ℝ))
14	9, 13	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
15		fveecn 28979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
16	15	3ad2antl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℂ)
17		fveecn 28979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
18	17	3ad2antl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ)
19		fveecn 28979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ)
20	19	3ad2antl3 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ)
21		1m0e1 12265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 − 0) = 1
22	21	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) = (1 · (𝐵‘𝑖))
23		mullid 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → (1 · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
25	22, 24	eqtrid 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) = (𝐵‘𝑖))
26		subcl 11383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)) ∈ ℂ)
27		subcl 11383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))) ∈ ℂ)
28	26, 27	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))) ∈ ℂ)
29	28	3impb 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))) ∈ ℂ)
30	29	mul02d 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))) = 0)
31	25, 30	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) = ((𝐵‘𝑖) + 0))
32		addrid 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ → ((𝐵‘𝑖) + 0) = (𝐵‘𝑖))
33	32	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵‘𝑖) + 0) = (𝐵‘𝑖))
34	31, 33	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶‘𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷‘𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))))
35	16, 18, 20, 34	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))))
36	35	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))))
37	18, 20	subcld 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)) ∈ ℂ)
38	16, 37	nncand 11501	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))
39	38	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = (((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
40	39	sumeq2dv 15629	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))
41		0elunit 13389	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
42		fveq1 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) → (𝑥‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))))‘𝑖))
43		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
44		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑖))
45		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘𝑖))
46	44, 45	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)) = ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))
47	43, 46	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))) = ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))
48		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))))
49		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))) ∈ V
50	47, 48, 49	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘))))‘𝑖) = ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))
51	42, 50	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥‘𝑖) = ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))
52	51	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝑥‘𝑖)) = (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))))
53	52	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))))
54	53	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))))))
55	54	ralbidva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))))))
56	51	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖)) = ((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))))
57	56	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = (((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2))
58	57	sumeq2dv 15629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2))
59	58	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
60	55, 59	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
61		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
62	61	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) = ((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)))
63		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))) = (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))))
64	62, 63	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))))
65	64	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))))))
66	65	ralbidv 3160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖)))))))
67	66	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 0 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
68	60, 67	rspc2ev 3590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 0 ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
69	41, 68	mp3an2 1452	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵‘𝑘) − ((𝐶‘𝑘) − (𝐷‘𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵‘𝑖)) + (0 · ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − ((𝐵‘𝑖) − ((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
70	14, 36, 40, 69	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
71	70	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
72	71	adantll 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))
73		fveq1 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴‘𝑖) = (𝐵‘𝑖))
74	73	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)))
75	74	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))))
76	75	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ (𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖)))))
77	76	ralbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖)))))
78	77	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
79	78	2rexbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
80	72, 79	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2))))
81	80	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑥‘𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵‘𝑖) − (𝑥‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶‘𝑖) − (𝐷‘𝑖))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11368  ℕcn 12149  2c2 12204  [,]cicc 13268  ...cfz 13427  ↑cexp 13988  Σcsu 15613  𝔼cee 28964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-icc 13272  df-fz 13428  df-seq 13929  df-sum 15614  df-ee 28967

This theorem is referenced by:  axsegcon  29004