Theorem eleesub 29276

Description: Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
eleesub.1	⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
eleesub	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑖)

Proof of Theorem eleesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleesub.1	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)))
2		fveere 29266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
3		fveere 29266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
4		resubcl 11532	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
6	5	anandirs 692	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
7	6	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ)
8		eleenn 29261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		mptelee 29259	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖)) ∈ ℝ))
12	7, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴‘𝑖) − (𝐵‘𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
13	1, 12	eqeltrid 2870	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ↦ cmpt 5195  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11109  1c1 11111   − cmin 11451  ℕcn 12243  ...cfz 13545  𝔼cee 29252

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-ltxr 11258  df-sub 11453  df-neg 11454  df-ee 29255

This theorem is used by: (None)