MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eleesub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleesub 28672
Description: Membership of a subtraction mapping in a Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
eleesub.1 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))
Assertion
Ref Expression
eleesub ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑖)

Proof of Theorem eleesub
StepHypRef Expression
1 eleesub.1 . 2 𝐶 = (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)))
2 fveere 28662 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
3 fveere 28662 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
4 resubcl 11525 . . . . . 6 (((𝐴𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑖) ∈ ℝ) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
52, 3, 4syl2an 595 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
65anandirs 676 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
76ralrimiva 3140 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ)
8 eleenn 28657 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 mptelee 28656 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
1110adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖)) ∈ ℝ))
127, 11mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑖 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐴𝑖) − (𝐵𝑖))) ∈ (𝔼‘𝑁))
131, 12eqeltrid 2831 1 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  cmpt 5224  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108  1c1 11110  cmin 11445  cn 12213  ...cfz 13487  𝔼cee 28649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-ee 28652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator