Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpclval 41095
Description: Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclval (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
Distinct variable groups:   ๐‘‰,๐‘,๐‘“,๐‘”   ๐‘–,๐‘‰,๐‘   ๐‘—,๐‘‰,๐‘ฅ,๐‘

Proof of Theorem mzpclval
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7369 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) = (โ„ค โ†‘m ๐‘‰))
21oveq2d 7377 . . . 4 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) = (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
32pweqd 4581 . . 3 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) = ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
41xpeq1d 5666 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) = ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}))
54eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘))
65ralbidv 3171 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘))
7 sneq 4600 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ {๐‘Ž} = {๐‘–})
87xpeq2d 5667 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) = ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}))
98eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘))
109cbvralvw 3224 . . . . . 6 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘)
116, 10bitrdi 287 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘))
121mpteq1d 5204 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)))
1312eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘))
1413raleqbi1dv 3306 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘))
15 fveq2 6846 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) = (๐‘โ€˜๐‘—))
1615mpteq2dv 5211 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)))
1716eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
18 fveq1 6845 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘—) = (๐‘ฅโ€˜๐‘—))
1918cbvmptv 5222 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—))
2019eleq1i 2825 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)
2117, 20bitrdi 287 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
2221cbvralvw 3224 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)
2314, 22bitrdi 287 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
2411, 23anbi12d 632 . . . 4 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)))
2524anbi1d 631 . . 3 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘)) โ†” ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))))
263, 25rabeqbidv 3423 . 2 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) โˆฃ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
27 df-mzpcl 41093 . 2 mzPolyCld = (๐‘ฃ โˆˆ V โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) โˆฃ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
28 ovex 7394 . . . 4 (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ V
2928pwex 5339 . . 3 ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ V
3029rabex 5293 . 2 {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} โˆˆ V
3126, 27, 30fvmpt 6952 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  ๐’ซ cpw 4564  {csn 4590   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โ†‘m cmap 8771   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„คcz 12507  mzPolyCldcmzpcl 41091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-mzpcl 41093
This theorem is referenced by:  elmzpcl  41096
  Copyright terms: Public domain W3C validator