Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpclval 42067
Description: Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclval (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
Distinct variable groups:   ๐‘‰,๐‘,๐‘“,๐‘”   ๐‘–,๐‘‰,๐‘   ๐‘—,๐‘‰,๐‘ฅ,๐‘

Proof of Theorem mzpclval
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) = (โ„ค โ†‘m ๐‘‰))
21oveq2d 7430 . . . 4 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) = (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
32pweqd 4615 . . 3 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) = ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
41xpeq1d 5701 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) = ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}))
54eleq1d 2813 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘))
65ralbidv 3172 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘))
7 sneq 4634 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ {๐‘Ž} = {๐‘–})
87xpeq2d 5702 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) = ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}))
98eleq1d 2813 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘))
109cbvralvw 3229 . . . . . 6 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘)
116, 10bitrdi 287 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘))
121mpteq1d 5237 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)))
1312eleq1d 2813 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘))
1413raleqbi1dv 3328 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘))
15 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) = (๐‘โ€˜๐‘—))
1615mpteq2dv 5244 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)))
1716eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
18 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘—) = (๐‘ฅโ€˜๐‘—))
1918cbvmptv 5255 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—))
2019eleq1i 2819 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)
2117, 20bitrdi 287 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
2221cbvralvw 3229 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)
2314, 22bitrdi 287 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
2411, 23anbi12d 630 . . . 4 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)))
2524anbi1d 629 . . 3 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘)) โ†” ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))))
263, 25rabeqbidv 3444 . 2 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) โˆฃ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
27 df-mzpcl 42065 . 2 mzPolyCld = (๐‘ฃ โˆˆ V โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) โˆฃ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
28 ovex 7447 . . . 4 (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ V
2928pwex 5374 . . 3 ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ V
3029rabex 5328 . 2 {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} โˆˆ V
3126, 27, 30fvmpt 6999 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469  ๐’ซ cpw 4598  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5225   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆ˜f cof 7677   โ†‘m cmap 8836   + caddc 11133   ยท cmul 11135  โ„คcz 12580  mzPolyCldcmzpcl 42063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-mzpcl 42065
This theorem is referenced by:  elmzpcl  42068
  Copyright terms: Public domain W3C validator