Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpclval 41453
Description: Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclval (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
Distinct variable groups:   ๐‘‰,๐‘,๐‘“,๐‘”   ๐‘–,๐‘‰,๐‘   ๐‘—,๐‘‰,๐‘ฅ,๐‘

Proof of Theorem mzpclval
Dummy variables ๐‘ฃ ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) = (โ„ค โ†‘m ๐‘‰))
21oveq2d 7424 . . . 4 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) = (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
32pweqd 4619 . . 3 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) = ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
41xpeq1d 5705 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) = ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}))
54eleq1d 2818 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘))
65ralbidv 3177 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘))
7 sneq 4638 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ {๐‘Ž} = {๐‘–})
87xpeq2d 5706 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) = ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}))
98eleq1d 2818 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐‘– โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘))
109cbvralvw 3234 . . . . . 6 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘)
116, 10bitrdi 286 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘))
121mpteq1d 5243 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)))
1312eleq1d 2818 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘))
1413raleqbi1dv 3333 . . . . . 6 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘))
15 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘) = (๐‘โ€˜๐‘—))
1615mpteq2dv 5250 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘— โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) = (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)))
1716eleq1d 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
18 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘—) = (๐‘ฅโ€˜๐‘—))
1918cbvmptv 5261 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—))
2019eleq1i 2824 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)
2117, 20bitrdi 286 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘— โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
2221cbvralvw 3234 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)
2314, 22bitrdi 286 . . . . 5 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘))
2411, 23anbi12d 631 . . . 4 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘)))
2524anbi1d 630 . . 3 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ (((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘)) โ†” ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))))
263, 25rabeqbidv 3449 . 2 (๐‘ฃ = ๐‘‰ โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) โˆฃ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
27 df-mzpcl 41451 . 2 mzPolyCld = (๐‘ฃ โˆˆ V โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) โˆฃ ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘Ž}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘โ€˜๐‘)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
28 ovex 7441 . . . 4 (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ V
2928pwex 5378 . . 3 ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ V
3029rabex 5332 . 2 {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} โˆˆ V
3126, 27, 30fvmpt 6998 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  ๐’ซ cpw 4602  {csn 4628   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆ˜f cof 7667   โ†‘m cmap 8819   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„คcz 12557  mzPolyCldcmzpcl 41449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-mzpcl 41451
This theorem is referenced by:  elmzpcl  41454
  Copyright terms: Public domain W3C validator