Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpindd 39221
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1 (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
mzpindd.2 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
mzpindd.3 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
mzpindd.4 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
mzpindd.5 (𝑥 = (𝑓f + 𝑔) → (𝜓𝜁))
mzpindd.6 (𝑥 = (𝑓f · 𝑔) → (𝜓𝜎))
mzpindd.7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
Assertion
Ref Expression
mzpindd ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6696 . . . 4 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
21adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3 mzpval 39207 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
5 ssrab2 4053 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
8 zex 11978 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ∈ V
97, 8constmap 39188 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
1312elrab 3677 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜒))
1410, 11, 13sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
1514ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
20 elmapg 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
2120biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
2217, 18, 19, 21syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑓𝑉)
2422, 23ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
2524fmpttd 6871 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
268, 7elmap 8424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
2725, 26sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
28 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
2928adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → 𝜃)
30 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
3130elrab 3677 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜃))
3227, 29, 31sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
3332ralrimiva 3179 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
3416, 33jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35 zaddcl 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
40 inidm 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℤ ↑m 𝑉) ∩ (ℤ ↑m 𝑉)) = (ℤ ↑m 𝑉)
4136, 37, 38, 39, 39, 40off 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4241ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
44 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45443expb 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
4643, 45jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47 zmulcl 12019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
4948, 37, 38, 39, 39, 40off 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5049ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
52 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53523expb 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
5446, 51, 53jca32 516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
5554ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
568, 7elmap 8424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5756anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
588, 7elmap 8424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5958anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
6057, 59anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
618, 7elmap 8424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
6261anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
638, 7elmap 8424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
6463anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
6562, 64anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
6655, 60, 653imtr4g 297 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
6867elrab 3677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏))
69 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
7069elrab 3677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂))
7168, 70anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓f + 𝑔) → (𝜓𝜁))
7372elrab 3677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁))
74 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓f · 𝑔) → (𝜓𝜎))
7574elrab 3677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))
7673, 75anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)))
7766, 71, 763imtr4g 297 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))
7877ralrimivv 3187 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
7978adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
806, 34, 79jca32 516 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81 elmzpcl 39201 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8281adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8380, 82mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84 intss1 4882 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
864, 85eqsstrd 4002 . . . . 5 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
8786sselda 3964 . . . 4 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
8887an32s 648 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
892, 88mpdan 683 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
90 mzpindd.7 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
9190elrab 3677 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜌))
9291simprbi 497 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
9389, 92syl 17 1 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  {csn 4557   cint 4867  cmpt 5137   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  m cmap 8395   + caddc 10528   · cmul 10530  cz 11969  mzPolyCldcmzpcl 39196  mzPolycmzp 39197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-mzpcl 39198  df-mzp 39199
This theorem is referenced by:  mzpmfp  39222  mzpsubst  39223  mzpcompact2lem  39226  mzpcong  39447
  Copyright terms: Public domain W3C validator