Theorem mzpindd 40212

Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mzpindd.co	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1	⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
mzpindd.2	⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
mzpindd.3	⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
mzpindd.4	⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
mzpindd.5	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
mzpindd.6	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
mzpindd.7	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
mzpindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6728	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3		mzpval 40198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
4	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
5		ssrab2 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7		ovex 7224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
8		zex 12150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	constmap 40179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10	9	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
11		mzpindd.co	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12		mzpindd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 3591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜒))
14	10, 11, 13	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
15	14	ralrimiva 3095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
17	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
20		elmapg 8499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
21	20	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
22	17, 18, 19, 21	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
24	22, 23	ffvelrnd 6883	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
25	24	fmpttd 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
26	8, 7	elmap 8530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
27	25, 26	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
28		mzpindd.pr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
29	28	adantlr 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
30		mzpindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
31	30	elrab 3591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜃))
32	27, 29, 31	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
33	32	ralrimiva 3095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
34	16, 33	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35		zaddcl 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
36	35	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
38		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
39	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
40		inidm 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) ∩ (ℤ ↑m 𝑉)) = (ℤ ↑m 𝑉)
41	36, 37, 38, 39, 39, 40	off 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
42	41	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
43	42	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
44		mzpindd.ad	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45	44	3expb 1122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
46	43, 45	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47		zmulcl 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
48	47	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
49	48, 37, 38, 39, 39, 40	off 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
50	49	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
51	50	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
52		mzpindd.mu	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53	52	3expb 1122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
54	46, 51, 53	jca32 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
55	54	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
56	8, 7	elmap 8530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
57	56	anbi1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
58	8, 7	elmap 8530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
59	58	anbi1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
60	57, 59	anbi12i 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
61	8, 7	elmap 8530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
62	61	anbi1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
63	8, 7	elmap 8530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
64	63	anbi1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
65	62, 64	anbi12i 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
66	55, 60, 65	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67		mzpindd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
68	67	elrab 3591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏))
69		mzpindd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
70	69	elrab 3591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂))
71	68, 70	anbi12i 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72		mzpindd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
73	72	elrab 3591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁))
74		mzpindd.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
75	74	elrab 3591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))
76	73, 75	anbi12i 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)))
77	66, 71, 76	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))
78	77	ralrimivv 3101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
79	78	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
80	6, 34, 79	jca32 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81		elmzpcl 40192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
82	81	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
83	80, 82	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84		intss1 4860	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
86	4, 85	eqsstrd 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
87	86	sselda 3887	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
88	87	an32s 652	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
89	2, 88	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
90		mzpindd.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))
91	90	elrab 3591	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜌))
92	91	simprbi 500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
93	89, 92	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  {crab 3055  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853  {csn 4527  ∩ cint 4845   ↦ cmpt 5120   × cxp 5534  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ∘_f cof 7445   ↑_m cmap 8486   + caddc 10697   · cmul 10699  ℤcz 12141  mzPolyCldcmzpcl 40187  mzPolycmzp 40188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-mzpcl 40189  df-mzp 40190

This theorem is referenced by:  mzpmfp  40213  mzpsubst  40214  mzpcompact2lem  40217  mzpcong  40438