Theorem mzpindd 40484

Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mzpindd.co	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1	⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
mzpindd.2	⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
mzpindd.3	⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
mzpindd.4	⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
mzpindd.5	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
mzpindd.6	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
mzpindd.7	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
mzpindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6789	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3		mzpval 40470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
5		ssrab2 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
8		zex 12258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	constmap 40451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
11		mzpindd.co	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12		mzpindd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜒))
14	10, 11, 13	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
15	14	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
17	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
20		elmapg 8586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
21	20	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
22	17, 18, 19, 21	syl21anc 834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
24	22, 23	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
25	24	fmpttd 6971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
26	8, 7	elmap 8617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
27	25, 26	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
28		mzpindd.pr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
29	28	adantlr 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
30		mzpindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
31	30	elrab 3617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜃))
32	27, 29, 31	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
33	32	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
34	16, 33	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35		zaddcl 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
39	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
40		inidm 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) ∩ (ℤ ↑m 𝑉)) = (ℤ ↑m 𝑉)
41	36, 37, 38, 39, 39, 40	off 7529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
42	41	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
44		mzpindd.ad	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45	44	3expb 1118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
46	43, 45	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47		zmulcl 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
49	48, 37, 38, 39, 39, 40	off 7529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
50	49	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
52		mzpindd.mu	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53	52	3expb 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
54	46, 51, 53	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
55	54	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
56	8, 7	elmap 8617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
57	56	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
58	8, 7	elmap 8617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
59	58	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
60	57, 59	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
61	8, 7	elmap 8617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
62	61	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
63	8, 7	elmap 8617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
64	63	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
65	62, 64	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
66	55, 60, 65	3imtr4g 295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67		mzpindd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
68	67	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏))
69		mzpindd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
70	69	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂))
71	68, 70	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72		mzpindd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
73	72	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁))
74		mzpindd.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
75	74	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))
76	73, 75	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)))
77	66, 71, 76	3imtr4g 295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))
78	77	ralrimivv 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
80	6, 34, 79	jca32 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81		elmzpcl 40464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
82	81	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
83	80, 82	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84		intss1 4891	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
86	4, 85	eqsstrd 3955	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
87	86	sselda 3917	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
88	87	an32s 648	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
89	2, 88	mpdan 683	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
90		mzpindd.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))
91	90	elrab 3617	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜌))
92	91	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
93	89, 92	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ∩ cint 4876   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   ↑_m cmap 8573   + caddc 10805   · cmul 10807  ℤcz 12249  mzPolyCldcmzpcl 40459  mzPolycmzp 40460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-mzpcl 40461  df-mzp 40462

This theorem is referenced by:  mzpmfp  40485  mzpsubst  40486  mzpcompact2lem  40489  mzpcong  40710