Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpindd 38849
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1 (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
mzpindd.2 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
mzpindd.3 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
mzpindd.4 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
mzpindd.5 (𝑥 = (𝑓𝑓 + 𝑔) → (𝜓𝜁))
mzpindd.6 (𝑥 = (𝑓𝑓 · 𝑔) → (𝜓𝜎))
mzpindd.7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
Assertion
Ref Expression
mzpindd ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6578 . . . 4 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
21adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3 mzpval 38835 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
43adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
5 ssrab2 3983 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
7 ovex 7055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
8 zex 11844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ∈ V
97, 8constmap 38816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
1312elrab 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜒))
1410, 11, 13sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
1514ralrimiva 3151 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
20 elmapg 8276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
2120biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
2217, 18, 19, 21syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑓𝑉)
2422, 23ffvelrnd 6724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
2524fmpttd 6749 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
268, 7elmap 8292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
2725, 26sylibr 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
28 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
2928adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → 𝜃)
30 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
3130elrab 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜃))
3227, 29, 31sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
3332ralrimiva 3151 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
3416, 33jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35 zaddcl 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
40 inidm 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) = (ℤ ↑𝑚 𝑉)
4136, 37, 38, 39, 39, 40off 7289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
4241ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
44 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45443expb 1113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
4643, 45jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47 zmulcl 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
4948, 37, 38, 39, 39, 40off 7289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5049ad2ant2r 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
52 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53523expb 1113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
5446, 51, 53jca32 516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
5554ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
568, 7elmap 8292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5756anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
588, 7elmap 8292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
5958anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
6057, 59anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
618, 7elmap 8292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
6261anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
638, 7elmap 8292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
6463anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
6562, 64anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
6655, 60, 653imtr4g 297 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
6867elrab 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏))
69 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
7069elrab 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂))
7168, 70anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓𝑓 + 𝑔) → (𝜓𝜁))
7372elrab 3621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁))
74 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓𝑓 · 𝑔) → (𝜓𝜎))
7574elrab 3621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))
7673, 75anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)))
7766, 71, 763imtr4g 297 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))
7877ralrimivv 3159 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
7978adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
806, 34, 79jca32 516 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81 elmzpcl 38829 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8281adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8380, 82mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84 intss1 4803 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
864, 85eqsstrd 3932 . . . . 5 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
8786sselda 3895 . . . 4 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
8887an32s 648 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
892, 88mpdan 683 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
90 mzpindd.7 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
9190elrab 3621 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜌))
9291simprbi 497 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
9389, 92syl 17 1 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  {crab 3111  Vcvv 3440  wss 3865  {csn 4478   cint 4788  cmpt 5047   × cxp 5448  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑓 cof 7272  𝑚 cmap 8263   + caddc 10393   · cmul 10395  cz 11835  mzPolyCldcmzpcl 38824  mzPolycmzp 38825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-mzpcl 38826  df-mzp 38827
This theorem is referenced by:  mzpmfp  38850  mzpsubst  38851  mzpcompact2lem  38854  mzpcong  39075
  Copyright terms: Public domain W3C validator