Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpindd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpindd 42421
Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mzpindd.co ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1 (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
mzpindd.2 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
mzpindd.3 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
mzpindd.4 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
mzpindd.5 (𝑥 = (𝑓f + 𝑔) → (𝜓𝜁))
mzpindd.6 (𝑥 = (𝑓f · 𝑔) → (𝜓𝜎))
mzpindd.7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
Assertion
Ref Expression
mzpindd ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6941 . . . 4 (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
21adantl 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3 mzpval 42407 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
43adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
5 ssrab2 4076 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
8 zex 12621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ∈ V
97, 8constmap 42388 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
109adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
11 mzpindd.co . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12 mzpindd.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓𝜒))
1312elrab 3681 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜒))
1410, 11, 13sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
1514ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
1615adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
20 elmapg 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
2120biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
2217, 18, 19, 21syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑓𝑉)
2422, 23ffvelcdmd 7101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
2524fmpttd 7131 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
268, 7elmap 8902 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
2725, 26sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
28 mzpindd.pr . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑉) → 𝜃)
2928adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → 𝜃)
30 mzpindd.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) → (𝜓𝜃))
3130elrab 3681 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜃))
3227, 29, 31sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
3332ralrimiva 3136 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
3416, 33jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35 zaddcl 12656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
40 inidm 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℤ ↑m 𝑉) ∩ (ℤ ↑m 𝑉)) = (ℤ ↑m 𝑉)
4136, 37, 38, 39, 39, 40off 7710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4241ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
44 mzpindd.ad . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45443expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
4643, 45jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47 zmulcl 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
4847adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
4948, 37, 38, 39, 39, 40off 7710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5049ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
52 mzpindd.mu . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53523expb 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
5446, 51, 53jca32 514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
5554ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
568, 7elmap 8902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5756anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
588, 7elmap 8902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
5958anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
6057, 59anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
618, 7elmap 8902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
6261anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
638, 7elmap 8902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
6463anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
6562, 64anbi12i 626 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
6655, 60, 653imtr4g 295 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67 mzpindd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑓 → (𝜓𝜏))
6867elrab 3681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏))
69 mzpindd.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑔 → (𝜓𝜂))
7069elrab 3681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂))
7168, 70anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72 mzpindd.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓f + 𝑔) → (𝜓𝜁))
7372elrab 3681 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁))
74 mzpindd.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑓f · 𝑔) → (𝜓𝜎))
7574elrab 3681 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))
7673, 75anbi12i 626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)))
7766, 71, 763imtr4g 295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))
7877ralrimivv 3189 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
7978adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
806, 34, 79jca32 514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81 elmzpcl 42401 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8281adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
8380, 82mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84 intss1 4973 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
864, 85eqsstrd 4018 . . . . 5 ((𝜑𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
8786sselda 3979 . . . 4 (((𝜑𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
8887an32s 650 . . 3 (((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
892, 88mpdan 685 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
90 mzpindd.7 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜌))
9190elrab 3681 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜌))
9291simprbi 495 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
9389, 92syl 17 1 ((𝜑𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  wss 3947  {csn 4633   cint 4956  cmpt 5238   × cxp 5682  wf 6552  cfv 6556  (class class class)co 7426  f cof 7690  m cmap 8857   + caddc 11163   · cmul 11165  cz 12612  mzPolyCldcmzpcl 42396  mzPolycmzp 42397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12613  df-mzpcl 42398  df-mzp 42399
This theorem is referenced by:  mzpmfp  42422  mzpsubst  42423  mzpcompact2lem  42426  mzpcong  42648
  Copyright terms: Public domain W3C validator