Theorem mzpindd 43362

Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mzpindd.co	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1	⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
mzpindd.2	⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
mzpindd.3	⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
mzpindd.4	⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
mzpindd.5	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
mzpindd.6	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
mzpindd.7	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
mzpindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6914	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3		mzpval 43348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
4	3	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
5		ssrab2 4042	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7		ovex 7441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
8		zex 12596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	constmap 43329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10	9	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
11		mzpindd.co	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12		mzpindd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜒))
14	10, 11, 13	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
15	14	ralrimiva 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
17	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
20		elmapg 8832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
21	20	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
22	17, 18, 19, 21	syl21anc 850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
24	22, 23	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
25	24	fmpttd 7108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
26	8, 7	elmap 8865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
27	25, 26	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
28		mzpindd.pr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
29	28	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
30		mzpindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
31	30	elrab 3659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜃))
32	27, 29, 31	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
33	32	ralrimiva 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
34	16, 33	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35		zaddcl 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
36	35	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
38		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
39	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
40		inidm 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) ∩ (ℤ ↑m 𝑉)) = (ℤ ↑m 𝑉)
41	36, 37, 38, 39, 39, 40	off 7690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
42	41	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
43	42	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
44		mzpindd.ad	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45	44	3expb 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
46	43, 45	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47		zmulcl 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
48	47	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
49	48, 37, 38, 39, 39, 40	off 7690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
50	49	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
51	50	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
52		mzpindd.mu	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53	52	3expb 1136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
54	46, 51, 53	jca32 524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
55	54	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
56	8, 7	elmap 8865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
57	56	anbi1i 635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
58	8, 7	elmap 8865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
59	58	anbi1i 635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
60	57, 59	anbi12i 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
61	8, 7	elmap 8865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
62	61	anbi1i 635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
63	8, 7	elmap 8865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
64	63	anbi1i 635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
65	62, 64	anbi12i 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
66	55, 60, 65	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67		mzpindd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
68	67	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏))
69		mzpindd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
70	69	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂))
71	68, 70	anbi12i 639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72		mzpindd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
73	72	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁))
74		mzpindd.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
75	74	elrab 3659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))
76	73, 75	anbi12i 639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)))
77	66, 71, 76	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))
78	77	ralrimivv 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
79	78	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
80	6, 34, 79	jca32 524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81		elmzpcl 43342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
82	81	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
83	80, 82	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84		intss1 4929	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
85	83, 84	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
86	4, 85	eqsstrd 3979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
87	86	sselda 3945	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
88	87	an32s 664	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
89	2, 88	mpdan 699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
90		mzpindd.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))
91	90	elrab 3659	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜌))
92	91	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
93	89, 92	syl 18	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ∩ cint 4913   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7670   ↑_m cmap 8820   + caddc 11099   · cmul 11101  ℤcz 12587  mzPolyCldcmzpcl 43337  mzPolycmzp 43338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-mzpcl 43339  df-mzp 43340

This theorem is referenced by:  mzpmfp  43363  mzpsubst  43364  mzpcompact2lem  43367  mzpcong  43584