Theorem mzpindd 43736

Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mzpindd.co	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1	⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
mzpindd.2	⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
mzpindd.3	⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
mzpindd.4	⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
mzpindd.5	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
mzpindd.6	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
mzpindd.7	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
mzpindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓, 𝑔)   𝜃(𝑓, 𝑔)   𝜏(𝑓, 𝑔)   𝜂(𝑓, 𝑔)   𝜁(𝑓, 𝑔)   𝜎(𝑓, 𝑔)   𝜌(𝑓, 𝑔)   𝐴(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem mzpindd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3		mzpval 43722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
4	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
5		ssrab2 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
7		ovex 7451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
8		zex 12695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	constmap 43703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
11		mzpindd.co	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12		mzpindd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜒))
14	10, 11, 13	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
15	14	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
17	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉))
20		elmapg 8852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
21	20	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
22	17, 18, 19, 21	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
24	22, 23	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
25	24	fmpttd 7113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
26	8, 7	elmap 8892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
27	25, 26	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
28		mzpindd.pr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
29	28	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
30		mzpindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
31	30	elrab 3645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜃))
32	27, 29, 31	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
33	32	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
34	16, 33	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35		zaddcl 12729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
39	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V)
40		inidm 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) ∩ (ℤ ↑m 𝑉)) = (ℤ ↑m 𝑉)
41	36, 37, 38, 39, 39, 40	off 7709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
42	41	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
44		mzpindd.ad	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45	44	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
46	43, 45	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47		zmulcl 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
48	47	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
49	48, 37, 38, 39, 39, 40	off 7709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
50	49	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
52		mzpindd.mu	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53	52	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
54	46, 51, 53	jca32 525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
55	54	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
56	8, 7	elmap 8892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
57	56	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
58	8, 7	elmap 8892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
59	58	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
60	57, 59	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
61	8, 7	elmap 8892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
62	61	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
63	8, 7	elmap 8892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ)
64	63	anbi1i 636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
65	62, 64	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
66	55, 60, 65	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67		mzpindd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
68	67	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏))
69		mzpindd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
70	69	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂))
71	68, 70	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72		mzpindd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
73	72	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁))
74		mzpindd.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘f · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
75	74	elrab 3645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎))
76	73, 75	anbi12i 640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜎)))
77	66, 71, 76	3imtr4g 299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))
78	77	ralrimivv 3204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
79	78	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))
80	6, 34, 79	jca32 525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81		elmzpcl 43716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
82	81	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
83	80, 82	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84		intss1 4923	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
85	83, 84	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
86	4, 85	eqsstrd 3965	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
87	86	sselda 3931	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
88	87	an32s 665	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
89	2, 88	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓})
90		mzpindd.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))
91	90	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ 𝜌))
92	91	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
93	89, 92	syl 18	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∩ cint 4907   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∘_f cof 7689   ↑_m cmap 8840   + caddc 11196   · cmul 11198  ℤcz 12686  mzPolyCldcmzpcl 43711  mzPolycmzp 43712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-mzpcl 43713  df-mzp 43714

This theorem is used by:  mzpmfp  43737  mzpsubst  43738  mzpcompact2lem  43741  mzpcong  43958