Theorem mzpindd 38849

Description: "Structural" induction to prove properties of all polynomial functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mzpindd.co	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
mzpindd.pr	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
mzpindd.ad	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
mzpindd.mu	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
mzpindd.1	⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
mzpindd.2	⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
mzpindd.3	⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
mzpindd.4	⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
mzpindd.5	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
mzpindd.6	⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
mzpindd.7	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))

Assertion

Ref	Expression
mzpindd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑓,𝑔   𝜓,𝑓,𝑔   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝜁,𝑥   𝜎,𝑥   𝜌,𝑥   𝑥,𝑉,𝑓,𝑔   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑓,𝑔)   𝜃(𝑓,𝑔)   𝜏(𝑓,𝑔)   𝜂(𝑓,𝑔)   𝜁(𝑓,𝑔)   𝜎(𝑓,𝑔)   𝜌(𝑓,𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mzpindd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6578	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉) → 𝑉 ∈ V)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
3		mzpval 38835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
5		ssrab2 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
7		ovex 7055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
8		zex 11844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ ∈ V
9	7, 8	constmap 38816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
11		mzpindd.co	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → 𝜒)
12		mzpindd.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) → (𝜓 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 3621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜒))
14	10, 11, 13	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
15	14	ralrimiva 3151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
17	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → ℤ ∈ V)
18		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑉 ∈ V)
19		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉))
20		elmapg 8276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↔ 𝑔:𝑉⟶ℤ))
21	20	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℤ ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
22	17, 18, 19, 21	syl21anc 834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑔:𝑉⟶ℤ)
23		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
24	22, 23	ffvelrnd 6724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
25	24	fmpttd 6749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
26	8, 7	elmap 8292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
27	25, 26	sylibr 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
28		mzpindd.pr	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
29	28	adantlr 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → 𝜃)
30		mzpindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) → (𝜓 ↔ 𝜃))
31	30	elrab 3621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜃))
32	27, 29, 31	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
33	32	ralrimiva 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
34	16, 33	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
35		zaddcl 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
37		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
39	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V)
40		inidm 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑉)) = (ℤ ↑𝑚 𝑉)
41	36, 37, 38, 39, 39, 40	off 7289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
42	41	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
44		mzpindd.ad	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜁)
45	44	3expb 1113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜁)
46	43, 45	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
47		zmulcl 11885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
49	48, 37, 38, 39, 39, 40	off 7289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
50	49	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
52		mzpindd.mu	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → 𝜎)
53	52	3expb 1113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → 𝜎)
54	46, 51, 53	jca32 516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
55	54	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))))
56	8, 7	elmap 8292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
57	56	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏))
58	8, 7	elmap 8292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
59	58	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂) ↔ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂))
60	57, 59	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) ↔ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜏) ∧ (𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜂)))
61	8, 7	elmap 8292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
62	61	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁))
63	8, 7	elmap 8292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ)
64	63	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎))
65	62, 64	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)) ↔ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑉)⟶ℤ ∧ 𝜎)))
66	55, 60, 65	3imtr4g 297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)) → (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))))
67		mzpindd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝜓 ↔ 𝜏))
68	67	elrab 3621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏))
69		mzpindd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝜓 ↔ 𝜂))
70	69	elrab 3621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂))
71	68, 70	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜏) ∧ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜂)))
72		mzpindd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜁))
73	72	elrab 3621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁))
74		mzpindd.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) → (𝜓 ↔ 𝜎))
75	74	elrab 3621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎))
76	73, 75	anbi12i 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ↔ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜁) ∧ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜎)))
77	66, 71, 76	3imtr4g 297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ 𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))
78	77	ralrimivv 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
79	78	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))
80	6, 34, 79	jca32 516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}))))
81		elmzpcl 38829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∈ V → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
82	81	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}) ∧ ∀𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓}∀𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})))))
83	80, 82	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
84		intss1 4803	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
85	83, 84	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
86	4, 85	eqsstrd 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) → (mzPoly‘𝑉) ⊆ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
87	86	sselda 3895	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
88	87	an32s 648	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) ∧ 𝑉 ∈ V) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
89	2, 88	mpdan 683	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓})
90		mzpindd.7	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜓 ↔ 𝜌))
91	90	elrab 3621	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} ↔ (𝐴 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ 𝜌))
92	91	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∣ 𝜓} → 𝜌)
93	89, 92	syl 17	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (mzPoly‘𝑉)) → 𝜌)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  {crab 3111  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  {csn 4478  ∩ cint 4788   ↦ cmpt 5047   × cxp 5448  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ∘_𝑓 cof 7272   ↑_𝑚 cmap 8263   + caddc 10393   · cmul 10395  ℤcz 11835  mzPolyCldcmzpcl 38824  mzPolycmzp 38825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-mzpcl 38826  df-mzp 38827

This theorem is referenced by:  mzpmfp  38850  mzpsubst  38851  mzpcompact2lem  38854  mzpcong  39075