Theorem mzpclall 43073

Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 43070 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpclall	⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall

Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7376	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m 𝑣) = (ℤ ↑m 𝑉))
2	1	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
3		fveq2 6842	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
4	2, 3	eleq12d 2831	. 2 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5		ssid 3958	. . 3 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
6		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V
7		zex 12509	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	constmap 43059	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
9	8	rgen 3054	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
10		vex 3446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑣 ∈ V
11	7, 10	elmap 8821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
13	11, 12	sylanb 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
14	13	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
15	14	fmpttd 7069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
16	7, 6	elmap 8821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
17	15, 16	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
18	17	rgen 3054	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
19	9, 18	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
20		zaddcl 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
24		ovexd 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V)
25		inidm 4181	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑣) ∩ (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m 𝑣)
26	21, 22, 23, 24, 24, 25	off 7650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
27		zmulcl 12552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
29	28, 22, 23, 24, 24, 25	off 7650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
30	26, 29	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
31	7, 6	elmap 8821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
32	7, 6	elmap 8821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
33	31, 32	anbi12i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
34	7, 6	elmap 8821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
35	7, 6	elmap 8821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
36	34, 35	anbi12i 629	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
37	30, 33, 36	3imtr4i 292	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
38	37	rgen2 3178	. . . 4 ⊢ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
39	19, 38	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
40		elmzpcl 43072	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))))))
41	10, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))))
42	5, 39, 41	mpbir2an 712	. 2 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
43	4, 42	vtoclg 3513	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   ↑_m cmap 8775   + caddc 11041   · cmul 11043  ℤcz 12500  mzPolyCldcmzpcl 43067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-mzpcl 43069

This theorem is referenced by:  mzpcln0  43074  mzpincl  43080  mzpf  43082