Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclall Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpclall 39475
 Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 39472 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7138 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m 𝑣) = (ℤ ↑m 𝑉))
21oveq2d 7146 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
3 fveq2 6643 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
42, 3eleq12d 2906 . 2 (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5 ssid 3965 . . 3 (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
6 ovex 7163 . . . . . . 7 (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V
7 zex 11968 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
86, 7constmap 39461 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
98rgen 3136 . . . . 5 𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
10 vex 3474 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ V
117, 10elmap 8410 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12 ffvelrn 6822 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1311, 12sylanb 584 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1413ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑣𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1514fmpttd 6852 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
167, 6elmap 8410 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
1715, 16sylibr 237 . . . . . 6 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
1817rgen 3136 . . . . 5 𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
199, 18pm3.2i 474 . . . 4 (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
20 zaddcl 12000 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
2120adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
23 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
24 ovexd 7165 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V)
25 inidm 4170 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑m 𝑣) ∩ (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m 𝑣)
2621, 22, 23, 24, 24, 25off 7399 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
27 zmulcl 12009 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
2827adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
2928, 22, 23, 24, 24, 25off 7399 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
3026, 29jca 515 . . . . . 6 ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
317, 6elmap 8410 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
327, 6elmap 8410 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
3331, 32anbi12i 629 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
347, 6elmap 8410 . . . . . . 7 ((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
357, 6elmap 8410 . . . . . . 7 ((𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
3634, 35anbi12i 629 . . . . . 6 (((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ ((𝑓f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
3730, 33, 363imtr4i 295 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
3837rgen2 3191 . . . 4 𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
3919, 38pm3.2i 474 . . 3 ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
40 elmzpcl 39474 . . . 4 (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))))))
4110, 40ax-mp 5 . . 3 ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))))
425, 39, 41mpbir2an 710 . 2 (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
434, 42vtoclg 3544 1 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910  {csn 4540   ↦ cmpt 5119   × cxp 5526  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ∘f cof 7382   ↑m cmap 8381   + caddc 10517   · cmul 10519  ℤcz 11959  mzPolyCldcmzpcl 39469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-mzpcl 39471 This theorem is referenced by:  mzpcln0  39476  mzpincl  39482  mzpf  39484
 Copyright terms: Public domain W3C validator