Theorem mzpclall 43177

Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 43174 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpclall	⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall

Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7371	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m 𝑣) = (ℤ ↑m 𝑉))
2	1	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
3		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
4	2, 3	eleq12d 2834	. 2 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5		ssid 3944	. . 3 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
6		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V
7		zex 12531	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	constmap 43163	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
9	8	rgen 3056	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
10		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑣 ∈ V
11	7, 10	elmap 8816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12		ffvelcdm 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
13	11, 12	sylanb 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
14	13	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
15	14	fmpttd 7063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
16	7, 6	elmap 8816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
17	15, 16	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
18	17	rgen 3056	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
19	9, 18	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
20		zaddcl 12565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
23		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
24		ovexd 7398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V)
25		inidm 4162	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑣) ∩ (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m 𝑣)
26	21, 22, 23, 24, 24, 25	off 7645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
27		zmulcl 12574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
29	28, 22, 23, 24, 24, 25	off 7645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
30	26, 29	jca 516	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
31	7, 6	elmap 8816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
32	7, 6	elmap 8816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
33	31, 32	anbi12i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
34	7, 6	elmap 8816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
35	7, 6	elmap 8816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
36	34, 35	anbi12i 634	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
37	30, 33, 36	3imtr4i 293	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
38	37	rgen2 3180	. . . 4 ⊢ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
39	19, 38	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
40		elmzpcl 43176	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))))))
41	10, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))))
42	5, 39, 41	mpbir2an 717	. 2 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
43	4, 42	vtoclg 3502	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {csn 4562   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   ↑_m cmap 8770   + caddc 11039   · cmul 11041  ℤcz 12522  mzPolyCldcmzpcl 43171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-mzpcl 43173

This theorem is referenced by:  mzpcln0  43178  mzpincl  43184  mzpf  43186