Theorem mzpclall 43256

Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 43253 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpclall	⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall

Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7393	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m 𝑣) = (ℤ ↑m 𝑉))
2	1	oveq2d 7401	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
3		fveq2 6856	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
4	2, 3	eleq12d 2850	. 2 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5		ssid 3953	. . 3 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
6		ovex 7418	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V
7		zex 12567	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	constmap 43242	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
9	8	rgen 3072	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
10		vex 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑣 ∈ V
11	7, 10	elmap 8842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12		ffvelcdm 7051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
13	11, 12	sylanb 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
14	13	ancoms 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
15	14	fmpttd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
16	7, 6	elmap 8842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
17	15, 16	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
18	17	rgen 3072	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
19	9, 18	pm3.2i 473	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
20		zaddcl 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
21	20	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
23		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
24		ovexd 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V)
25		inidm 4173	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑣) ∩ (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m 𝑣)
26	21, 22, 23, 24, 24, 25	off 7667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
27		zmulcl 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
29	28, 22, 23, 24, 24, 25	off 7667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
30	26, 29	jca 518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
31	7, 6	elmap 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
32	7, 6	elmap 8842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
33	31, 32	anbi12i 636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
34	7, 6	elmap 8842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
35	7, 6	elmap 8842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
36	34, 35	anbi12i 636	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
37	30, 33, 36	3imtr4i 294	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
38	37	rgen2 3196	. . . 4 ⊢ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
39	19, 38	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
40		elmzpcl 43255	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))))))
41	10, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))))
42	5, 39, 41	mpbir2an 719	. 2 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
43	4, 42	vtoclg 3516	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  Vcvv 3448   ⊆ wss 3899  {csn 4576   ↦ cmpt 5175   × cxp 5638  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ∘_f cof 7647   ↑_m cmap 8796   + caddc 11066   · cmul 11068  ℤcz 12558  mzPolyCldcmzpcl 43250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-mzpcl 43252

This theorem is referenced by:  mzpcln0  43257  mzpincl  43263  mzpf  43265