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Theorem mzpclall 41768
Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 41765 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall (𝑉 ∈ V β†’ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘‰))

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 β†’ (β„€ ↑m 𝑣) = (β„€ ↑m 𝑉))
21oveq2d 7428 . . 3 (𝑣 = 𝑉 β†’ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) = (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)))
3 fveq2 6891 . . 3 (𝑣 = 𝑉 β†’ (mzPolyCldβ€˜π‘£) = (mzPolyCldβ€˜π‘‰))
42, 3eleq12d 2826 . 2 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘£) ↔ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘‰)))
5 ssid 4004 . . 3 (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) βŠ† (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))
6 ovex 7445 . . . . . . 7 (β„€ ↑m 𝑣) ∈ V
7 zex 12572 . . . . . . 7 β„€ ∈ V
86, 7constmap 41754 . . . . . 6 (𝑓 ∈ β„€ β†’ ((β„€ ↑m 𝑣) Γ— {𝑓}) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)))
98rgen 3062 . . . . 5 βˆ€π‘“ ∈ β„€ ((β„€ ↑m 𝑣) Γ— {𝑓}) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))
10 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ V
117, 10elmap 8869 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↔ 𝑔:π‘£βŸΆβ„€)
12 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:π‘£βŸΆβ„€ ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) β†’ (π‘”β€˜π‘“) ∈ β„€)
1311, 12sylanb 580 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) β†’ (π‘”β€˜π‘“) ∈ β„€)
1413ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣)) β†’ (π‘”β€˜π‘“) ∈ β„€)
1514fmpttd 7116 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝑣 β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
167, 6elmap 8869 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
1715, 16sylibr 233 . . . . . 6 (𝑓 ∈ 𝑣 β†’ (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)))
1817rgen 3062 . . . . 5 βˆ€π‘“ ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))
199, 18pm3.2i 470 . . . 4 (βˆ€π‘“ ∈ β„€ ((β„€ ↑m 𝑣) Γ— {𝑓}) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)))
20 zaddcl 12607 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž + 𝑏) ∈ β„€)
2120adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘Ž + 𝑏) ∈ β„€)
22 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) β†’ 𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
23 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) β†’ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
24 ovexd 7447 . . . . . . . 8 ((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) β†’ (β„€ ↑m 𝑣) ∈ V)
25 inidm 4218 . . . . . . . 8 ((β„€ ↑m 𝑣) ∩ (β„€ ↑m 𝑣)) = (β„€ ↑m 𝑣)
2621, 22, 23, 24, 24, 25off 7692 . . . . . . 7 ((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
27 zmulcl 12616 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) ∧ (π‘Ž ∈ β„€ ∧ 𝑏 ∈ β„€)) β†’ (π‘Ž Β· 𝑏) ∈ β„€)
2928, 22, 23, 24, 24, 25off 7692 . . . . . . 7 ((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
3026, 29jca 511 . . . . . 6 ((𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€))
317, 6elmap 8869 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
327, 6elmap 8869 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
3331, 32anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))) ↔ (𝑓:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ 𝑔:(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€))
347, 6elmap 8869 . . . . . . 7 ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
357, 6elmap 8869 . . . . . . 7 ((𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f Β· 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€)
3634, 35anbi12i 626 . . . . . 6 (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€ ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔):(β„€ ↑m 𝑣)βŸΆβ„€))
3730, 33, 363imtr4i 292 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))) β†’ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))))
3837rgen2 3196 . . . 4 βˆ€π‘“ ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))βˆ€π‘” ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)))
3919, 38pm3.2i 470 . . 3 ((βˆ€π‘“ ∈ β„€ ((β„€ ↑m 𝑣) Γ— {𝑓}) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))βˆ€π‘” ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))))
40 elmzpcl 41767 . . . 4 (𝑣 ∈ V β†’ ((β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘£) ↔ ((β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) βŠ† (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ ((βˆ€π‘“ ∈ β„€ ((β„€ ↑m 𝑣) Γ— {𝑓}) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))βˆ€π‘” ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)))))))
4110, 40ax-mp 5 . . 3 ((β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘£) ↔ ((β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) βŠ† (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ ((βˆ€π‘“ ∈ β„€ ((β„€ ↑m 𝑣) Γ— {𝑓}) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (β„€ ↑m 𝑣) ↦ (π‘”β€˜π‘“)) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))βˆ€π‘” ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑔) ∈ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣))))))
425, 39, 41mpbir2an 708 . 2 (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘£)
434, 42vtoclg 3542 1 (𝑉 ∈ V β†’ (β„€ ↑m (β„€ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCldβ€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘f cof 7672   ↑m cmap 8824   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„€cz 12563  mzPolyCldcmzpcl 41762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-mzpcl 41764
This theorem is referenced by:  mzpcln0  41769  mzpincl  41775  mzpf  41777
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