Theorem mzpclall 37786

Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 37783 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpclall	⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall

Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 𝑣) = (ℤ ↑𝑚 𝑉))
2	1	oveq2d 6884	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
3		fveq2 6402	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
4	2, 3	eleq12d 2875	. 2 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5		ssid 3814	. . 3 ⊢ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
6		ovex 6900	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V
7		zex 11646	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	constmap 37772	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
9	8	rgen 3106	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
10		vex 3390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑣 ∈ V
11	7, 10	elmap 8115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12		ffvelrn 6573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
13	11, 12	sylanb 572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
14	13	ancoms 448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
15	14	fmpttd 6601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
16	7, 6	elmap 8115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
17	15, 16	sylibr 225	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
18	17	rgen 3106	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
19	9, 18	pm3.2i 458	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
20		zaddcl 11677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
21	20	adantl 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22		simpl 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
23		simpr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
24		ovexd 6902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
25		inidm 4013	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 𝑣)
26	21, 22, 23, 24, 24, 25	off 7136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
27		zmulcl 11686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	adantl 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
29	28, 22, 23, 24, 24, 25	off 7136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
30	26, 29	jca 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
31	7, 6	elmap 8115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
32	7, 6	elmap 8115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
33	31, 32	anbi12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
34	7, 6	elmap 8115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
35	7, 6	elmap 8115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
36	34, 35	anbi12i 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
37	30, 33, 36	3imtr4i 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) → ((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
38	37	rgen2a 3161	. . . 4 ⊢ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
39	19, 38	pm3.2i 458	. . 3 ⊢ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
40		elmzpcl 37785	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))))))
41	10, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))))
42	5, 39, 41	mpbir2an 693	. 2 ⊢ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
43	4, 42	vtoclg 3455	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2155  ∀wral 3092  Vcvv 3387   ⊆ wss 3763  {csn 4364   ↦ cmpt 4916   × cxp 5303  ⟶wf 6091  ‘cfv 6095  (class class class)co 6868   ∘_𝑓 cof 7119   ↑_𝑚 cmap 8086   + caddc 10218   · cmul 10220  ℤcz 11637  mzPolyCldcmzpcl 37780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-map 8088  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-n0 11554  df-z 11638  df-mzpcl 37782

This theorem is referenced by:  mzpcln0  37787  mzpincl  37793  mzpf  37795