Theorem mzpclall 42697

Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 42694 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpclall	⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall

Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7411	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m 𝑣) = (ℤ ↑m 𝑉))
2	1	oveq2d 7419	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
3		fveq2 6875	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
4	2, 3	eleq12d 2828	. 2 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5		ssid 3981	. . 3 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
6		ovex 7436	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V
7		zex 12595	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
8	6, 7	constmap 42683	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
9	8	rgen 3053	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
10		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑣 ∈ V
11	7, 10	elmap 8883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12		ffvelcdm 7070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
13	11, 12	sylanb 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ∧ 𝑓 ∈ 𝑣) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
14	13	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣)) → (𝑔‘𝑓) ∈ ℤ)
15	14	fmpttd 7104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
16	7, 6	elmap 8883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
17	15, 16	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
18	17	rgen 3053	. . . . 5 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))
19	9, 18	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
20		zaddcl 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
24		ovexd 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑m 𝑣) ∈ V)
25		inidm 4202	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑣) ∩ (ℤ ↑m 𝑣)) = (ℤ ↑m 𝑣)
26	21, 22, 23, 24, 24, 25	off 7687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
27		zmulcl 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
29	28, 22, 23, 24, 24, 25	off 7687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
30	26, 29	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
31	7, 6	elmap 8883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
32	7, 6	elmap 8883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
33	31, 32	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
34	7, 6	elmap 8883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
35	7, 6	elmap 8883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ↔ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ)
36	34, 35	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ↔ ((𝑓 ∘f + 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔):(ℤ ↑m 𝑣)⟶ℤ))
37	30, 33, 36	3imtr4i 292	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
38	37	rgen2 3184	. . . 4 ⊢ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))
39	19, 38	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))
40		elmzpcl 42696	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)))))))
41	10, 40	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑣) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣))))))
42	5, 39, 41	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
43	4, 42	vtoclg 3533	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∘_f cof 7667   ↑_m cmap 8838   + caddc 11130   · cmul 11132  ℤcz 12586  mzPolyCldcmzpcl 42691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-mzpcl 42693

This theorem is referenced by:  mzpcln0  42698  mzpincl  42704  mzpf  42706