Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpclall Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpclall 37786
Description: The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 37783 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpclall (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpclall
Dummy variables 𝑣 𝑓 𝑔 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6876 . . . 4 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 𝑣) = (ℤ ↑𝑚 𝑉))
21oveq2d 6884 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
3 fveq2 6402 . . 3 (𝑣 = 𝑉 → (mzPolyCld‘𝑣) = (mzPolyCld‘𝑉))
42, 3eleq12d 2875 . 2 (𝑣 = 𝑉 → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
5 ssid 3814 . . 3 (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
6 ovex 6900 . . . . . . 7 (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V
7 zex 11646 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
86, 7constmap 37772 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℤ → ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
98rgen 3106 . . . . 5 𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
10 vex 3390 . . . . . . . . . . 11 𝑣 ∈ V
117, 10elmap 8115 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↔ 𝑔:𝑣⟶ℤ)
12 ffvelrn 6573 . . . . . . . . . 10 ((𝑔:𝑣⟶ℤ ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1311, 12sylanb 572 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∧ 𝑓𝑣) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1413ancoms 448 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑣𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) → (𝑔𝑓) ∈ ℤ)
1514fmpttd 6601 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
167, 6elmap 8115 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
1715, 16sylibr 225 . . . . . 6 (𝑓𝑣 → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
1817rgen 3106 . . . . 5 𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))
199, 18pm3.2i 458 . . . 4 (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
20 zaddcl 11677 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
2120adantl 469 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
22 simpl 470 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
23 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
24 ovexd 6902 . . . . . . . 8 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (ℤ ↑𝑚 𝑣) ∈ V)
25 inidm 4013 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑𝑚 𝑣) ∩ (ℤ ↑𝑚 𝑣)) = (ℤ ↑𝑚 𝑣)
2621, 22, 23, 24, 24, 25off 7136 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
27 zmulcl 11686 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
2827adantl 469 . . . . . . . 8 (((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℤ)
2928, 22, 23, 24, 24, 25off 7136 . . . . . . 7 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3026, 29jca 503 . . . . . 6 ((𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ) → ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
317, 6elmap 8115 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
327, 6elmap 8115 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3331, 32anbi12i 614 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ (𝑓:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ 𝑔:(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
347, 6elmap 8115 . . . . . . 7 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
357, 6elmap 8115 . . . . . . 7 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ↔ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ)
3634, 35anbi12i 614 . . . . . 6 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ↔ ((𝑓𝑓 + 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔):(ℤ ↑𝑚 𝑣)⟶ℤ))
3730, 33, 363imtr4i 283 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ 𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
3837rgen2a 3161 . . . 4 𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))
3919, 38pm3.2i 458 . . 3 ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))
40 elmzpcl 37785 . . . 4 (𝑣 ∈ V → ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)))))))
4110, 40ax-mp 5 . . 3 ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣) ↔ ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑣) × {𝑓}) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ ∀𝑓𝑣 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑣) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))) ∧ ∀𝑓 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))∀𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣))))))
425, 39, 41mpbir2an 693 . 2 (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑣)) ∈ (mzPolyCld‘𝑣)
434, 42vtoclg 3455 1 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  wral 3092  Vcvv 3387  wss 3763  {csn 4364  cmpt 4916   × cxp 5303  wf 6091  cfv 6095  (class class class)co 6868  𝑓 cof 7119  𝑚 cmap 8086   + caddc 10218   · cmul 10220  cz 11637  mzPolyCldcmzpcl 37780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-er 7973  df-map 8088  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-n0 11554  df-z 11638  df-mzpcl 37782
This theorem is referenced by:  mzpcln0  37787  mzpincl  37793  mzpf  37795
  Copyright terms: Public domain W3C validator