Theorem eqfnovd 49677

Description: Deduction for equality of operations. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqfnovd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
eqfnovd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐴 × 𝐵))
eqfnovd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑥𝐺𝑦))

Assertion

Ref	Expression
eqfnovd	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem eqfnovd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqfnovd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥𝐹𝑦) = (𝑥𝐺𝑦))
2	1	ralrimivva 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) = (𝑥𝐺𝑦))
3		eqfnovd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
4		eqfnovd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐴 × 𝐵))
5		eqfnov2 7546	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ 𝐺 Fn (𝐴 × 𝐵)) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) = (𝑥𝐺𝑦)))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝐹𝑦) = (𝑥𝐺𝑦)))
7	2, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   × cxp 5661   Fn wfn 6535  (class class class)co 7416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-ov 7419

This theorem is used by:  prcofdiag1  50204  prcofdiag  50205  oppfdiag1  50225  oppfdiag  50227