MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erov2 8756
Description: The value of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr2.1 ð― = (ðī / ∞ )
eropr2.2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
eropr2.3 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
eropr2.4 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
eropr2.5 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
eropr2.6 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
eropr2.7 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
Assertion
Ref Expression
erov2 ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ ðī ∧ 𝑄 ∈ ðī) → ([𝑃] ∞ âĻĢ [𝑄] ∞ ) = [(𝑃 + 𝑄)] ∞ )
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ðī   𝑃,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,𝑧   + ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ∞ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ð―,𝑝,𝑞,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝜑,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝑄,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧
Allowed substitution hints:   âĻĢ (ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑈(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   ð―(ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟)   𝑋(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)

Proof of Theorem erov2
StepHypRef Expression
1 eropr2.1 . 2 ð― = (ðī / ∞ )
2 eropr2.3 . 2 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
3 eropr2.4 . 2 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
4 eropr2.5 . 2 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
5 eropr2.6 . 2 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
6 eropr2.7 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
7 eropr2.2 . 2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
81, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 2, 2erov 8754 1 ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ ðī ∧ 𝑄 ∈ ðī) → ([𝑃] ∞ âĻĢ [𝑄] ∞ ) = [(𝑃 + 𝑄)] ∞ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  âˆƒwrex 3074   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5106   × cxp 5632  âŸķwf 6493  (class class class)co 7358  {coprab 7359   Er wer 8646  [cec 8647   / cqs 8648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator