MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  erov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erov2 8807
Description: The value of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr2.1 ð― = (ðī / ∞ )
eropr2.2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
eropr2.3 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
eropr2.4 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
eropr2.5 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
eropr2.6 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
eropr2.7 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
Assertion
Ref Expression
erov2 ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ ðī ∧ 𝑄 ∈ ðī) → ([𝑃] ∞ âĻĢ [𝑄] ∞ ) = [(𝑃 + 𝑄)] ∞ )
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ðī   𝑃,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,𝑧   + ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ∞ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ð―,𝑝,𝑞,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝜑,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝑄,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧
Allowed substitution hints:   âĻĢ (ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑈(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   ð―(ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟)   𝑋(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)

Proof of Theorem erov2
StepHypRef Expression
1 eropr2.1 . 2 ð― = (ðī / ∞ )
2 eropr2.3 . 2 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
3 eropr2.4 . 2 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
4 eropr2.5 . 2 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
5 eropr2.6 . 2 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
6 eropr2.7 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
7 eropr2.2 . 2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
81, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 2, 2erov 8805 1 ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ ðī ∧ 𝑄 ∈ ðī) → ([𝑃] ∞ âĻĢ [𝑄] ∞ ) = [(𝑃 + 𝑄)] ∞ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  âˆƒwrex 3062   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139   × cxp 5665  âŸķwf 6530  (class class class)co 7402  {coprab 7403   Er wer 8697  [cec 8698   / cqs 8699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator