MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eroprf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eroprf2 8810
Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr2.1 ð― = (ðī / ∞ )
eropr2.2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
eropr2.3 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
eropr2.4 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
eropr2.5 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
eropr2.6 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
eropr2.7 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
Assertion
Ref Expression
eroprf2 (𝜑 → âĻĢ :(ð― × ð―)âŸķð―)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ðī   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,𝑧   + ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ∞ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ð―,𝑝,𝑞,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝜑,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧
Allowed substitution hints:   âĻĢ (ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑈(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   ð―(ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟)   𝑋(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)

Proof of Theorem eroprf2
StepHypRef Expression
1 eropr2.1 . 2 ð― = (ðī / ∞ )
2 eropr2.3 . 2 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
3 eropr2.4 . 2 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
4 eropr2.5 . 2 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
5 eropr2.6 . 2 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
6 eropr2.7 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
7 eropr2.2 . 2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
81, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 2, 2, 1eroprf 8808 1 (𝜑 → âĻĢ :(ð― × ð―)âŸķð―)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  âˆƒwrex 3064   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   × cxp 5667  âŸķwf 6532  (class class class)co 7404  {coprab 7405   Er wer 8699  [cec 8700   / cqs 8701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator