MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eroprf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eroprf2 8840
Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
eropr2.1 ð― = (ðī / ∞ )
eropr2.2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
eropr2.3 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
eropr2.4 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
eropr2.5 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
eropr2.6 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
eropr2.7 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
Assertion
Ref Expression
eroprf2 (𝜑 → âĻĢ :(ð― × ð―)âŸķð―)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ðī   𝑋,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,𝑧   + ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ∞ ,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   ð―,𝑝,𝑞,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧   𝜑,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠,ð‘Ą,ð‘Ē,ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧
Allowed substitution hints:   âĻĢ (ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑈(ð‘Ĩ,ð‘Ķ,𝑧,ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   ð―(ð‘Ē,ð‘Ą,𝑠,𝑟)   𝑋(ð‘Ĩ,ð‘Ķ)

Proof of Theorem eroprf2
StepHypRef Expression
1 eropr2.1 . 2 ð― = (ðī / ∞ )
2 eropr2.3 . 2 (𝜑 → ∞ ∈ 𝑋)
3 eropr2.4 . 2 (𝜑 → ∞ Er 𝑈)
4 eropr2.5 . 2 (𝜑 → ðī ⊆ 𝑈)
5 eropr2.6 . 2 (𝜑 → + :(ðī × ðī)âŸķðī)
6 eropr2.7 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑟 ∈ ðī ∧ 𝑠 ∈ ðī) ∧ (ð‘Ą ∈ ðī ∧ ð‘Ē ∈ ðī))) → ((𝑟 ∞ 𝑠 ∧ ð‘Ą ∞ ð‘Ē) → (𝑟 + ð‘Ą) ∞ (𝑠 + ð‘Ē)))
7 eropr2.2 . 2 âĻĢ = {âŸĻâŸĻð‘Ĩ, ð‘ĶâŸĐ, 𝑧âŸĐ âˆĢ ∃𝑝 ∈ ðī ∃𝑞 ∈ ðī ((ð‘Ĩ = [𝑝] ∞ ∧ ð‘Ķ = [𝑞] ∞ ) ∧ 𝑧 = [(𝑝 + 𝑞)] ∞ )}
81, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 2, 2, 1eroprf 8838 1 (𝜑 → âĻĢ :(ð― × ð―)âŸķð―)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  âˆƒwrex 3066   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5150   × cxp 5678  âŸķwf 6547  (class class class)co 7424  {coprab 7425   Er wer 8726  [cec 8727   / cqs 8728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator