Theorem f1dom3fv3dif 7270

Description: The function values for a 1-1 function from a set with three different elements are different. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1dom3fv3dif.v	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
f1dom3fv3dif.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
f1dom3fv3dif.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅)

Assertion

Ref	Expression
f1dom3fv3dif	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶)))

Proof of Theorem f1dom3fv3dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dom3fv3dif.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2	1	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		f1dom3fv3dif.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅)
4		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
5	4	3mix1d 1355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))
6		f1dom3fv3dif.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
7	6	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eltpg 4647	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
9	7, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
10	5, 9	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
11		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
12	11	3mix2d 1356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶))
13	6	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
14		eltpg 4647	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
16	12, 15	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
17		f1fveq 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	3, 10, 16, 17	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
19	18	necon3bid 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
20	2, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))
21	1	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
22	6	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
23		tpid3g 4733	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
25		f1fveq 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐶))
26	3, 10, 24, 25	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐶))
27	26	necon3bid 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
28	21, 27	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶))
29	1	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30		f1fveq 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 ∧ (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → ((𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
31	3, 16, 24, 30	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
32	31	necon3bid 3000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
33	29, 32	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶))
34	20, 28, 33	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {ctp 4588  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fv 6545

This theorem is used by:  f1dom3el3dif  7271