Theorem f1dom3fv3dif 7270

Description: The function values for a 1-1 function from a set with three different elements are different. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1dom3fv3dif.v	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
f1dom3fv3dif.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
f1dom3fv3dif.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅)

Assertion

Ref	Expression
f1dom3fv3dif	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶)))

Proof of Theorem f1dom3fv3dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dom3fv3dif.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2	1	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
3		f1dom3fv3dif.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅)
4		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
5	4	3mix1d 1336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))
6		f1dom3fv3dif.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
7	6	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eltpg 4666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
10	5, 9	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
11		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
12	11	3mix2d 1337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶))
13	6	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
14		eltpg 4666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
16	12, 15	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
17		f1fveq 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	3, 10, 16, 17	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
19	18	necon3bid 2975	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
20	2, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵))
21	1	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
22	6	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
23		tpid3g 4752	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
25		f1fveq 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 ∧ (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐶))
26	3, 10, 24, 25	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐶))
27	26	necon3bid 2975	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
28	21, 27	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶))
29	1	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30		f1fveq 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 ∧ (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})) → ((𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
31	3, 16, 24, 30	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
32	31	necon3bid 2975	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
33	29, 32	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶))
34	20, 28, 33	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {ctp 4610  –1-1→wf1 6538  ‘cfv 6541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fv 6549

This theorem is referenced by:  f1dom3el3dif  7271