Theorem f1fveq 7129

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7124	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6768	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  –1-1→wf1 6427  ‘cfv 6430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fv 6438

This theorem is referenced by:  f1elima  7130  f1dom3fv3dif  7135  cocan1  7156  isof1oidb  7188  isosolem  7211  f1oiso  7215  weniso  7218  f1oweALT  7801  2dom  8790  xpdom2  8823  wemapwe  9416  fseqenlem1  9764  dfac12lem2  9884  infpssrlem4  10046  fin23lem28  10080  isf32lem7  10099  iundom2g  10280  canthnumlem  10388  canthwelem  10390  canthp1lem2  10393  pwfseqlem4  10402  seqf1olem1  13743  bitsinv2  16131  bitsf1  16134  sadasslem  16158  sadeq  16160  bitsuz  16162  eulerthlem2  16464  f1ocpbllem  17216  f1ovscpbl  17218  fthi  17615  ghmf1  18844  f1omvdmvd  19032  odf1  19150  dprdf1o  19616  zntoslem  20745  iporthcom  20821  ply1scln0  21443  cnt0  22478  cnhaus  22486  imasdsf1olem  23507  imasf1oxmet  23509  dyadmbl  24745  vitalilem3  24755  dvcnvlem  25121  facth1  25310  usgredg2v  27575  cycpmco2lem6  31377  erdszelem9  33140  cvmliftmolem1  33222  msubff1  33497  metf1o  35892  rngoisocnv  36118  laut11  38079  gicabl  40904  fourierdlem50  43651