Theorem f1fveq 7237

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7231	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6858	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  –1-1→wf1 6508  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  f1elima  7238  f1dom3fv3dif  7243  cocan1  7266  isof1oidb  7299  isosolem  7322  f1oiso  7326  weniso  7329  f1oweALT  7951  2dom  9001  xpdom2  9036  wemapwe  9650  fseqenlem1  9977  dfac12lem2  10098  infpssrlem4  10259  fin23lem28  10293  isf32lem7  10312  iundom2g  10493  canthnumlem  10601  canthwelem  10603  canthp1lem2  10606  pwfseqlem4  10615  seqf1olem1  14006  bitsinv2  16413  bitsf1  16416  sadasslem  16440  sadeq  16442  bitsuz  16444  eulerthlem2  16752  f1ocpbllem  17487  f1ovscpbl  17489  fthi  17882  f1omvdmvd  19373  odf1  19492  dprdf1o  19964  zntoslem  21466  iporthcom  21544  ply1scln0  22178  cnt0  23233  cnhaus  23241  imasdsf1olem  24261  imasf1oxmet  24263  dyadmbl  25501  vitalilem3  25511  dvcnvlem  25880  facth1  26072  usgredg2v  29154  mndlactf1o  32971  mndractf1o  32972  cycpmco2lem6  33088  erdszelem9  35186  cvmliftmolem1  35268  msubff1  35543  metf1o  37749  rngoisocnv  37975  laut11  40080  aks6d1c6lem3  42160  gicabl  43088  permac8prim  45004  fourierdlem50  46154  isuspgrim0lem  47893  uptrlem1  49199