Theorem f1fveq 7240

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7234	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6861	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  f1elima  7241  f1dom3fv3dif  7246  cocan1  7269  isof1oidb  7302  isosolem  7325  f1oiso  7329  weniso  7332  f1oweALT  7954  2dom  9004  xpdom2  9041  wemapwe  9657  fseqenlem1  9984  dfac12lem2  10105  infpssrlem4  10266  fin23lem28  10300  isf32lem7  10319  iundom2g  10500  canthnumlem  10608  canthwelem  10610  canthp1lem2  10613  pwfseqlem4  10622  seqf1olem1  14013  bitsinv2  16420  bitsf1  16423  sadasslem  16447  sadeq  16449  bitsuz  16451  eulerthlem2  16759  f1ocpbllem  17494  f1ovscpbl  17496  fthi  17889  f1omvdmvd  19380  odf1  19499  dprdf1o  19971  zntoslem  21473  iporthcom  21551  ply1scln0  22185  cnt0  23240  cnhaus  23248  imasdsf1olem  24268  imasf1oxmet  24270  dyadmbl  25508  vitalilem3  25518  dvcnvlem  25887  facth1  26079  usgredg2v  29161  mndlactf1o  32978  mndractf1o  32979  cycpmco2lem6  33095  erdszelem9  35193  cvmliftmolem1  35275  msubff1  35550  metf1o  37756  rngoisocnv  37982  laut11  40087  aks6d1c6lem3  42167  gicabl  43095  permac8prim  45011  fourierdlem50  46161  isuspgrim0lem  47897  uptrlem1  49203