Theorem f1fveq 7206

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7200	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6832	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  –1-1→wf1 6487  ‘cfv 6490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fv 6498

This theorem is referenced by:  f1elima  7207  f1dom3fv3dif  7212  cocan1  7235  isof1oidb  7268  isosolem  7291  f1oiso  7295  weniso  7298  f1oweALT  7914  2dom  8965  xpdom2  8998  wemapwe  9604  fseqenlem1  9932  dfac12lem2  10053  infpssrlem4  10214  fin23lem28  10248  isf32lem7  10267  iundom2g  10448  canthnumlem  10557  canthwelem  10559  canthp1lem2  10562  pwfseqlem4  10571  seqf1olem1  13962  bitsinv2  16368  bitsf1  16371  sadasslem  16395  sadeq  16397  bitsuz  16399  eulerthlem2  16707  f1ocpbllem  17443  f1ovscpbl  17445  fthi  17842  f1omvdmvd  19370  odf1  19489  dprdf1o  19961  zntoslem  21509  iporthcom  21588  ply1scln0  22232  cnt0  23288  cnhaus  23296  imasdsf1olem  24315  imasf1oxmet  24317  dyadmbl  25555  vitalilem3  25565  dvcnvlem  25934  facth1  26126  usgredg2v  29249  mndlactf1o  33061  mndractf1o  33062  cycpmco2lem6  33162  erdszelem9  35342  cvmliftmolem1  35424  msubff1  35699  metf1o  37895  rngoisocnv  38121  laut11  40285  aks6d1c6lem3  42365  gicabl  43283  permac8prim  45197  fourierdlem50  46342  isuspgrim0lem  48081  uptrlem1  49397