Theorem f1fveq 7261

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7256	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6892	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  –1-1→wf1 6541  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  f1elima  7262  f1dom3fv3dif  7267  cocan1  7289  isof1oidb  7321  isosolem  7344  f1oiso  7348  weniso  7351  f1oweALT  7959  2dom  9030  xpdom2  9067  wemapwe  9692  fseqenlem1  10019  dfac12lem2  10139  infpssrlem4  10301  fin23lem28  10335  isf32lem7  10354  iundom2g  10535  canthnumlem  10643  canthwelem  10645  canthp1lem2  10648  pwfseqlem4  10657  seqf1olem1  14007  bitsinv2  16384  bitsf1  16387  sadasslem  16411  sadeq  16413  bitsuz  16415  eulerthlem2  16715  f1ocpbllem  17470  f1ovscpbl  17472  fthi  17869  ghmf1  19121  f1omvdmvd  19311  odf1  19430  dprdf1o  19902  zntoslem  21112  iporthcom  21188  ply1scln0  21814  cnt0  22850  cnhaus  22858  imasdsf1olem  23879  imasf1oxmet  23881  dyadmbl  25117  vitalilem3  25127  dvcnvlem  25493  facth1  25682  usgredg2v  28484  cycpmco2lem6  32290  erdszelem9  34190  cvmliftmolem1  34272  msubff1  34547  metf1o  36623  rngoisocnv  36849  laut11  38957  gicabl  41841  fourierdlem50  44872