Theorem f1fveq 7261

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7255	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6882	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fv 6545

This theorem is referenced by:  f1elima  7262  f1dom3fv3dif  7267  cocan1  7290  isof1oidb  7323  isosolem  7346  f1oiso  7350  weniso  7353  f1oweALT  7968  2dom  9026  xpdom2  9059  wemapwe  9665  fseqenlem1  10007  dfac12lem2  10127  infpssrlem4  10289  fin23lem28  10323  isf32lem7  10342  iundom2g  10523  canthnumlem  10632  canthwelem  10634  canthp1lem2  10637  pwfseqlem4  10646  seqf1olem1  14076  bitsinv2  16500  bitsf1  16503  sadasslem  16527  sadeq  16529  bitsuz  16531  eulerthlem2  16840  f1ocpbllem  17577  f1ovscpbl  17579  fthi  17976  f1omvdmvd  19512  odf1  19631  dprdf1o  20103  zntoslem  21674  iporthcom  21753  ply1scln0  22420  cnt0  23471  cnhaus  23479  imasdsf1olem  24498  imasf1oxmet  24500  dyadmbl  25727  vitalilem3  25737  dvcnvlem  26103  facth1  26292  usgredg2v  29517  mndlactf1o  33290  mndractf1o  33291  cycpmco2lem6  33391  erdszelem9  35589  cvmliftmolem1  35671  msubff1  35946  metf1o  38293  rngoisocnv  38519  laut11  40749  aks6d1c6lem3  42828  gicabl  43717  permac8prim  45614  fourierdlem50  46761  isuspgrim0lem  48546  uptrlem1  49872