Theorem f1fveq 6998

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 6993	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6645	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  –1-1→wf1 6321  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  f1elima  6999  f1dom3fv3dif  7004  cocan1  7025  isof1oidb  7056  isosolem  7079  f1oiso  7083  weniso  7086  f1oweALT  7655  2dom  8565  xpdom2  8595  wemapwe  9144  fseqenlem1  9435  dfac12lem2  9555  infpssrlem4  9717  fin23lem28  9751  isf32lem7  9770  iundom2g  9951  canthnumlem  10059  canthwelem  10061  canthp1lem2  10064  pwfseqlem4  10073  seqf1olem1  13405  bitsinv2  15782  bitsf1  15785  sadasslem  15809  sadeq  15811  bitsuz  15813  eulerthlem2  16109  f1ocpbllem  16789  f1ovscpbl  16791  fthi  17180  ghmf1  18379  f1omvdmvd  18563  odf1  18681  dprdf1o  19147  zntoslem  20248  iporthcom  20324  ply1scln0  20920  cnt0  21951  cnhaus  21959  imasdsf1olem  22980  imasf1oxmet  22982  dyadmbl  24204  vitalilem3  24214  dvcnvlem  24579  facth1  24765  usgredg2v  27017  cycpmco2lem6  30823  erdszelem9  32559  cvmliftmolem1  32641  msubff1  32916  metf1o  35193  rngoisocnv  35419  laut11  37382  gicabl  40043  fourierdlem50  42798