Theorem f1fveq 7246

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7240	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6867	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fv 6529

This theorem is referenced by:  f1elima  7247  f1dom3fv3dif  7252  cocan1  7275  isof1oidb  7308  isosolem  7331  f1oiso  7335  weniso  7338  f1oweALT  7953  2dom  9011  xpdom2  9044  wemapwe  9652  fseqenlem1  9980  dfac12lem2  10101  infpssrlem4  10263  fin23lem28  10297  isf32lem7  10316  iundom2g  10497  canthnumlem  10606  canthwelem  10608  canthp1lem2  10611  pwfseqlem4  10620  seqf1olem1  14054  bitsinv2  16477  bitsf1  16480  sadasslem  16504  sadeq  16506  bitsuz  16508  eulerthlem2  16817  f1ocpbllem  17554  f1ovscpbl  17556  fthi  17953  f1omvdmvd  19483  odf1  19602  dprdf1o  20074  zntoslem  21608  iporthcom  21687  ply1scln0  22354  cnt0  23406  cnhaus  23414  imasdsf1olem  24433  imasf1oxmet  24435  dyadmbl  25662  vitalilem3  25672  dvcnvlem  26038  facth1  26227  usgredg2v  29428  mndlactf1o  33208  mndractf1o  33209  cycpmco2lem6  33311  erdszelem9  35549  cvmliftmolem1  35631  msubff1  35906  metf1o  38254  rngoisocnv  38480  laut11  40710  aks6d1c6lem3  42789  gicabl  43676  permac8prim  45590  fourierdlem50  46730  isuspgrim0lem  48515  uptrlem1  49831