Theorem f1fveq 7214

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7209	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6847	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  –1-1→wf1 6498  ‘cfv 6501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fv 6509

This theorem is referenced by:  f1elima  7215  f1dom3fv3dif  7220  cocan1  7242  isof1oidb  7274  isosolem  7297  f1oiso  7301  weniso  7304  f1oweALT  7910  2dom  8981  xpdom2  9018  wemapwe  9642  fseqenlem1  9969  dfac12lem2  10089  infpssrlem4  10251  fin23lem28  10285  isf32lem7  10304  iundom2g  10485  canthnumlem  10593  canthwelem  10595  canthp1lem2  10598  pwfseqlem4  10607  seqf1olem1  13957  bitsinv2  16334  bitsf1  16337  sadasslem  16361  sadeq  16363  bitsuz  16365  eulerthlem2  16665  f1ocpbllem  17420  f1ovscpbl  17422  fthi  17819  ghmf1  19051  f1omvdmvd  19239  odf1  19358  dprdf1o  19825  zntoslem  21000  iporthcom  21076  ply1scln0  21699  cnt0  22734  cnhaus  22742  imasdsf1olem  23763  imasf1oxmet  23765  dyadmbl  25001  vitalilem3  25011  dvcnvlem  25377  facth1  25566  usgredg2v  28238  cycpmco2lem6  32050  erdszelem9  33880  cvmliftmolem1  33962  msubff1  34237  metf1o  36287  rngoisocnv  36513  laut11  38622  gicabl  41484  fourierdlem50  44517