Theorem f1fveq 7208

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7202	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6834	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  f1elima  7209  f1dom3fv3dif  7214  cocan1  7237  isof1oidb  7270  isosolem  7293  f1oiso  7297  weniso  7300  f1oweALT  7916  2dom  8967  xpdom2  9000  wemapwe  9606  fseqenlem1  9934  dfac12lem2  10055  infpssrlem4  10216  fin23lem28  10250  isf32lem7  10269  iundom2g  10450  canthnumlem  10559  canthwelem  10561  canthp1lem2  10564  pwfseqlem4  10573  seqf1olem1  13964  bitsinv2  16370  bitsf1  16373  sadasslem  16397  sadeq  16399  bitsuz  16401  eulerthlem2  16709  f1ocpbllem  17445  f1ovscpbl  17447  fthi  17844  f1omvdmvd  19372  odf1  19491  dprdf1o  19963  zntoslem  21511  iporthcom  21590  ply1scln0  22234  cnt0  23290  cnhaus  23298  imasdsf1olem  24317  imasf1oxmet  24319  dyadmbl  25557  vitalilem3  25567  dvcnvlem  25936  facth1  26128  usgredg2v  29300  mndlactf1o  33112  mndractf1o  33113  cycpmco2lem6  33213  erdszelem9  35393  cvmliftmolem1  35475  msubff1  35750  metf1o  37956  rngoisocnv  38182  laut11  40346  aks6d1c6lem3  42426  gicabl  43341  permac8prim  45255  fourierdlem50  46400  isuspgrim0lem  48139  uptrlem1  49455