Theorem f1fveq 7254

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7248	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6875	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  –1-1→wf1 6527  ‘cfv 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fv 6538

This theorem is referenced by:  f1elima  7255  f1dom3fv3dif  7260  cocan1  7283  isof1oidb  7316  isosolem  7339  f1oiso  7343  weniso  7346  f1oweALT  7969  2dom  9042  xpdom2  9079  wemapwe  9709  fseqenlem1  10036  dfac12lem2  10157  infpssrlem4  10318  fin23lem28  10352  isf32lem7  10371  iundom2g  10552  canthnumlem  10660  canthwelem  10662  canthp1lem2  10665  pwfseqlem4  10674  seqf1olem1  14057  bitsinv2  16460  bitsf1  16463  sadasslem  16487  sadeq  16489  bitsuz  16491  eulerthlem2  16799  f1ocpbllem  17536  f1ovscpbl  17538  fthi  17931  f1omvdmvd  19422  odf1  19541  dprdf1o  20013  zntoslem  21515  iporthcom  21593  ply1scln0  22227  cnt0  23282  cnhaus  23290  imasdsf1olem  24310  imasf1oxmet  24312  dyadmbl  25551  vitalilem3  25561  dvcnvlem  25930  facth1  26122  usgredg2v  29152  mndlactf1o  32971  mndractf1o  32972  cycpmco2lem6  33088  erdszelem9  35167  cvmliftmolem1  35249  msubff1  35524  metf1o  37725  rngoisocnv  37951  laut11  40051  aks6d1c6lem3  42131  gicabl  43070  fourierdlem50  46133  isuspgrim0lem  47854