Theorem f1fveq 7217

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7211	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6840	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  –1-1→wf1 6495  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  f1elima  7218  f1dom3fv3dif  7223  cocan1  7246  isof1oidb  7279  isosolem  7302  f1oiso  7306  weniso  7309  f1oweALT  7925  2dom  8977  xpdom2  9010  wemapwe  9618  fseqenlem1  9946  dfac12lem2  10067  infpssrlem4  10228  fin23lem28  10262  isf32lem7  10281  iundom2g  10462  canthnumlem  10571  canthwelem  10573  canthp1lem2  10576  pwfseqlem4  10585  seqf1olem1  14003  bitsinv2  16412  bitsf1  16415  sadasslem  16439  sadeq  16441  bitsuz  16443  eulerthlem2  16752  f1ocpbllem  17488  f1ovscpbl  17490  fthi  17887  f1omvdmvd  19418  odf1  19537  dprdf1o  20009  zntoslem  21536  iporthcom  21615  ply1scln0  22256  cnt0  23311  cnhaus  23319  imasdsf1olem  24338  imasf1oxmet  24340  dyadmbl  25567  vitalilem3  25577  dvcnvlem  25943  facth1  26132  usgredg2v  29296  mndlactf1o  33090  mndractf1o  33091  cycpmco2lem6  33192  erdszelem9  35381  cvmliftmolem1  35463  msubff1  35738  metf1o  38076  rngoisocnv  38302  laut11  40532  aks6d1c6lem3  42611  gicabl  43527  permac8prim  45441  fourierdlem50  46584  isuspgrim0lem  48369  uptrlem1  49685