Theorem f1fveq 7299

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7294	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6920	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  –1-1→wf1 6570  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  f1elima  7300  f1dom3fv3dif  7305  cocan1  7327  isof1oidb  7360  isosolem  7383  f1oiso  7387  weniso  7390  f1oweALT  8013  2dom  9095  xpdom2  9133  wemapwe  9766  fseqenlem1  10093  dfac12lem2  10214  infpssrlem4  10375  fin23lem28  10409  isf32lem7  10428  iundom2g  10609  canthnumlem  10717  canthwelem  10719  canthp1lem2  10722  pwfseqlem4  10731  seqf1olem1  14092  bitsinv2  16489  bitsf1  16492  sadasslem  16516  sadeq  16518  bitsuz  16520  eulerthlem2  16829  f1ocpbllem  17584  f1ovscpbl  17586  fthi  17985  f1omvdmvd  19485  odf1  19604  dprdf1o  20076  zntoslem  21598  iporthcom  21676  ply1scln0  22316  cnt0  23375  cnhaus  23383  imasdsf1olem  24404  imasf1oxmet  24406  dyadmbl  25654  vitalilem3  25664  dvcnvlem  26034  facth1  26226  usgredg2v  29262  mndlactf1o  33016  mndractf1o  33017  cycpmco2lem6  33124  erdszelem9  35167  cvmliftmolem1  35249  msubff1  35524  metf1o  37715  rngoisocnv  37941  laut11  40043  aks6d1c6lem3  42129  gicabl  43056  fourierdlem50  46077  isuspgrim0lem  47755