Theorem f1fveq 7220

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7214	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6844	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  –1-1→wf1 6499  ‘cfv 6502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fv 6510

This theorem is referenced by:  f1elima  7221  f1dom3fv3dif  7226  cocan1  7249  isof1oidb  7282  isosolem  7305  f1oiso  7309  weniso  7312  f1oweALT  7928  2dom  8981  xpdom2  9014  wemapwe  9620  fseqenlem1  9948  dfac12lem2  10069  infpssrlem4  10230  fin23lem28  10264  isf32lem7  10283  iundom2g  10464  canthnumlem  10573  canthwelem  10575  canthp1lem2  10578  pwfseqlem4  10587  seqf1olem1  13978  bitsinv2  16384  bitsf1  16387  sadasslem  16411  sadeq  16413  bitsuz  16415  eulerthlem2  16723  f1ocpbllem  17459  f1ovscpbl  17461  fthi  17858  f1omvdmvd  19389  odf1  19508  dprdf1o  19980  zntoslem  21528  iporthcom  21607  ply1scln0  22251  cnt0  23307  cnhaus  23315  imasdsf1olem  24334  imasf1oxmet  24336  dyadmbl  25574  vitalilem3  25584  dvcnvlem  25953  facth1  26145  usgredg2v  29318  mndlactf1o  33129  mndractf1o  33130  cycpmco2lem6  33231  erdszelem9  35421  cvmliftmolem1  35503  msubff1  35778  metf1o  38035  rngoisocnv  38261  laut11  40491  aks6d1c6lem3  42571  gicabl  43485  permac8prim  45399  fourierdlem50  46543  isuspgrim0lem  48282  uptrlem1  49598