Theorem f1fveq 7297

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7291	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6916	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 228	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶1-1wf1 6563  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fv 6574

This theorem is used by:  f1elima  7298  f1dom3fv3dif  7303  cocan1  7330  isof1oidb  7363  isosolem  7386  f1oiso  7390  weniso  7395  f1oweALT  8018  2dom  9096  xpdom2  9129  wemapwe  9735  fseqenlem1  10142  dfac12lem2  10262  infpssrlem4  10423  fin23lem28  10457  isf32lem7  10476  iundom2g  10663  canthnumlem  10772  canthwelem  10774  canthp1lem2  10777  pwfseqlem4  10786  seqf1olem1  14224  bitsinv2  16657  bitsf1  16660  sadasslem  16684  sadeq  16686  bitsuz  16688  eulerthlem2  17003  f1ocpbllem  17746  f1ovscpbl  17748  fthi  18145  f1omvdmvd  19708  odf1  19827  dprdf1o  20299  zntoslem  21917  iporthcom  21996  ply1scln0  22665  cnt0  23719  cnhaus  23727  imasdsf1olem  24747  imasf1oxmet  24749  dyadmbl  25976  vitalilem3  25986  dvcnvlem  26351  facth1  26540  usgredg2v  29865  mndlactf1o  33690  mndractf1o  33691  cycpmco2lem6  33791  erdszelem9  36172  cvmliftmolem1  36254  msubff1  36529  mh-inf3f1  37544  metf1o  38955  rngoisocnv  39181  laut11  41409  aks6d1c6lem3  43488  gicabl  44367  permac8prim  46268  fourierdlem50  47439  isuspgrim0lem  49264  uptrlem1  50657