Theorem f1fveq 7219

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7213	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6840	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  –1-1→wf1 6496  ‘cfv 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  f1elima  7220  f1dom3fv3dif  7225  cocan1  7248  isof1oidb  7281  isosolem  7304  f1oiso  7308  weniso  7311  f1oweALT  7930  2dom  8978  xpdom2  9013  wemapwe  9626  fseqenlem1  9953  dfac12lem2  10074  infpssrlem4  10235  fin23lem28  10269  isf32lem7  10288  iundom2g  10469  canthnumlem  10577  canthwelem  10579  canthp1lem2  10582  pwfseqlem4  10591  seqf1olem1  13982  bitsinv2  16389  bitsf1  16392  sadasslem  16416  sadeq  16418  bitsuz  16420  eulerthlem2  16728  f1ocpbllem  17463  f1ovscpbl  17465  fthi  17862  f1omvdmvd  19357  odf1  19476  dprdf1o  19948  zntoslem  21498  iporthcom  21577  ply1scln0  22211  cnt0  23266  cnhaus  23274  imasdsf1olem  24294  imasf1oxmet  24296  dyadmbl  25534  vitalilem3  25544  dvcnvlem  25913  facth1  26105  usgredg2v  29207  mndlactf1o  33014  mndractf1o  33015  cycpmco2lem6  33103  erdszelem9  35179  cvmliftmolem1  35261  msubff1  35536  metf1o  37742  rngoisocnv  37968  laut11  40073  aks6d1c6lem3  42153  gicabl  43081  permac8prim  44997  fourierdlem50  46147  isuspgrim0lem  47886  uptrlem1  49192