Theorem f1fveq 7199

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 7193	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6822	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  –1-1→wf1 6479  ‘cfv 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fv 6490

This theorem is referenced by:  f1elima  7200  f1dom3fv3dif  7205  cocan1  7228  isof1oidb  7261  isosolem  7284  f1oiso  7288  weniso  7291  f1oweALT  7907  2dom  8955  xpdom2  8989  wemapwe  9593  fseqenlem1  9918  dfac12lem2  10039  infpssrlem4  10200  fin23lem28  10234  isf32lem7  10253  iundom2g  10434  canthnumlem  10542  canthwelem  10544  canthp1lem2  10547  pwfseqlem4  10556  seqf1olem1  13948  bitsinv2  16354  bitsf1  16357  sadasslem  16381  sadeq  16383  bitsuz  16385  eulerthlem2  16693  f1ocpbllem  17428  f1ovscpbl  17430  fthi  17827  f1omvdmvd  19322  odf1  19441  dprdf1o  19913  zntoslem  21463  iporthcom  21542  ply1scln0  22176  cnt0  23231  cnhaus  23239  imasdsf1olem  24259  imasf1oxmet  24261  dyadmbl  25499  vitalilem3  25509  dvcnvlem  25878  facth1  26070  usgredg2v  29172  mndlactf1o  32984  mndractf1o  32985  cycpmco2lem6  33073  erdszelem9  35172  cvmliftmolem1  35254  msubff1  35529  metf1o  37735  rngoisocnv  37961  laut11  40065  aks6d1c6lem3  42145  gicabl  43072  permac8prim  44988  fourierdlem50  46137  isuspgrim0lem  47877  uptrlem1  49195