Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1oresf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oresf1o 46808
Description: Build a bijection by restricting the domain of a bijection. (Contributed by AV, 31-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
f1oresf1o.1 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
f1oresf1o.2 (𝜑𝐷𝐴)
f1oresf1o.3 (𝜑 → (∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦𝐵𝜒)))
Assertion
Ref Expression
f1oresf1o (𝜑 → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem f1oresf1o
StepHypRef Expression
1 f1oresf1o.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1of1 6837 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐵)
4 f1oresf1o.2 . . 3 (𝜑𝐷𝐴)
5 f1ores 6852 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐷𝐴) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→(𝐹𝐷))
63, 4, 5syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→(𝐹𝐷))
7 f1ofun 6840 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 f1odm 6842 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
114, 10sseqtrrd 4018 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ dom 𝐹)
12 dfimafn 6960 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐷 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐷) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦})
138, 11, 12syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐷) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦})
14 f1oresf1o.3 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦𝐵𝜒)))
1514abbidv 2794 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐵𝜒)})
16 df-rab 3419 . . . . 5 {𝑦𝐵𝜒} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐵𝜒)}
1715, 16eqtr4di 2783 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦} = {𝑦𝐵𝜒})
1813, 17eqtr2d 2766 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} = (𝐹𝐷))
1918f1oeq3d 6835 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒} ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→(𝐹𝐷)))
206, 19mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wrex 3059  {crab 3418  wss 3944  dom cdm 5678  cres 5680  cima 5681  Fun wfun 6543  1-1wf1 6546  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557
This theorem is referenced by:  f1oresf1o2  46809
  Copyright terms: Public domain W3C validator