Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1oresf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oresf1o 44462
Description: Build a bijection by restricting the domain of a bijection. (Contributed by AV, 31-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
f1oresf1o.1 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
f1oresf1o.2 (𝜑𝐷𝐴)
f1oresf1o.3 (𝜑 → (∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦𝐵𝜒)))
Assertion
Ref Expression
f1oresf1o (𝜑 → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem f1oresf1o
StepHypRef Expression
1 f1oresf1o.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1of1 6665 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐵)
4 f1oresf1o.2 . . 3 (𝜑𝐷𝐴)
5 f1ores 6680 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐷𝐴) → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→(𝐹𝐷))
63, 4, 5syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→(𝐹𝐷))
7 f1ofun 6668 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
9 f1odm 6670 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
114, 10sseqtrrd 3947 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ dom 𝐹)
12 dfimafn 6780 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐷 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐷) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦})
138, 11, 12syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐷) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦})
14 f1oresf1o.3 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦𝐵𝜒)))
1514abbidv 2807 . . . . 5 (𝜑 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐵𝜒)})
16 df-rab 3070 . . . . 5 {𝑦𝐵𝜒} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐵𝜒)}
1715, 16eqtr4di 2796 . . . 4 (𝜑 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐷 (𝐹𝑥) = 𝑦} = {𝑦𝐵𝜒})
1813, 17eqtr2d 2778 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} = (𝐹𝐷))
1918f1oeq3d 6663 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒} ↔ (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→(𝐹𝐷)))
206, 19mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐹𝐷):𝐷1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  {cab 2714  wrex 3062  {crab 3065  wss 3871  dom cdm 5556  cres 5558  cima 5559  Fun wfun 6379  1-1wf1 6382  1-1-ontowf1o 6384  cfv 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pr 5327
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3415  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-nul 4243  df-if 4445  df-sn 4547  df-pr 4549  df-op 4553  df-uni 4825  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5460  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393
This theorem is referenced by:  f1oresf1o2  44463
  Copyright terms: Public domain W3C validator