Theorem fvco3d 6980

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6979. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6979	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542

This theorem is referenced by:  opco1  8114  opco2  8115  suppcoss  8199  wemapwe  9662  canthp1lem2  10634  yonedainv  18333  frgpcyg  21688  rhmcomulmpl  22240  selvvvval  22258  psdmplcl  22290  comet  24635  dvcobr  26070  ofrco  32892  constcof  32903  gsumpart  33320  pmtrcnel  33346  elrgspnlem1  33499  mplasclco  33847  selvply1rhmlem2  33852  esplymhp  33899  esplyfv1  33900  esplyfv  33901  esplyfval3  33903  subfacp1lem5  35571  aks5lem3a  42841  rhmcomulpsr  43201  evlselv  43208  extoimad  44777  imo72b2lem0  44778  imo72b2lem1  44782  chnsubseq  47483  fcores  47688  fcoresf1lem  47689  grimco  48538  upgrimwlklem5  48550  upgrimpthslem2  48557  upgrimcycls  48560  uspgrlimlem3  48639  fuco111x  49989  fuco112xa  49991  fuco11idx  49993  fuco22natlem3  50002  fuco22natlem  50003  fucoid  50006  fucocolem4  50014  fucolid  50019  fucorid  50020  precofvallem  50024  prcof22a  50050