Theorem fvco3d 6865

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6864. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6864	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∘ ccom 5594  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-fv 6440

This theorem is referenced by:  opco1  7956  opco2  7957  suppcoss  8015  wemapwe  9443  canthp1lem2  10420  yonedainv  18010  frgpcyg  20792  comet  23680  gsumpart  31324  pmtrcnel  31367  subfacp1lem5  33155  metakunt33  40166  selvval2lem4  40237  extoimad  41757  imo72b2lem0  41758  imo72b2lem1  41762  fcores  44540  fcoresf1lem  44541