Theorem fvco3d 6982

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6981. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6981	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  opco1  8114  opco2  8115  suppcoss  8199  wemapwe  9662  canthp1lem2  10633  yonedainv  18332  frgpcyg  21723  rhmcomulmpl  22275  selvvvval  22293  psdmplcl  22325  comet  24670  dvcobr  26105  ofrco  32955  constcof  32966  gsumpart  33383  pmtrcnel  33409  elrgspnlem1  33562  mplasclco  33906  selvply1rhmlem2  33911  esplymhp  33958  esplyfv1  33959  esplyfv  33960  esplyfval3  33962  subfacp1lem5  35676  aks5lem3a  42956  rhmcomulpsr  43314  evlselv  43321  extoimad  44890  imo72b2lem0  44891  imo72b2lem1  44895  chnsubseq  47596  fcores  47804  fcoresf1lem  47805  grimco  48654  upgrimwlklem5  48666  upgrimpthslem2  48673  upgrimcycls  48676  uspgrlimlem3  48755  fuco111x  50109  fuco112xa  50111  fuco11idx  50113  fuco22natlem3  50122  fuco22natlem  50123  fucoid  50126  fucocolem4  50134  fucolid  50139  fucorid  50140  precofvallem  50144  prcof22a  50170