Theorem fvco3d 6979

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6978. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6978	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541

This theorem is used by:  opco1  8120  opco2  8121  suppcoss  8205  wemapwe  9676  canthp1lem2  10662  yonedainv  18369  frgpcyg  21786  rhmcomulmpl  22340  selvvvval  22358  psdmplcl  22390  comet  24739  dvcobr  26173  preimaaa  26555  ofrco  33083  constcof  33094  gsumpart  33503  pmtrcnel  33529  elrgspnlem1  33682  mplasclco  34026  selvply1rhmlem2  34031  esplymhp  34078  esplyfv1  34079  esplyfv  34080  esplyfval3  34082  subfacp1lem5  35763  aks5lem3a  43055  rhmcomulpsr  43428  evlselv  43435  extoimad  45004  imo72b2lem0  45005  imo72b2lem1  45009  chnsubseq  47708  fcores  47955  fcoresf1lem  47956  grimco  48805  upgrimwlklem5  48817  upgrimpthslem2  48824  upgrimcycls  48827  uspgrlimlem3  48906  fuco111x  50257  fuco112xa  50259  fuco11idx  50261  fuco22natlem3  50270  fuco22natlem  50271  fucoid  50274  fucocolem4  50282  fucolid  50287  fucorid  50288  precofvallem  50292  prcof22a  50318