Theorem fvco3d 6984

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6983. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6983	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545

This theorem is used by:  opco1  8132  opco2  8133  suppcoss  8217  wemapwe  9691  canthp1lem2  10731  yonedainv  18448  frgpcyg  21872  rhmcomulmpl  22426  selvvvval  22444  psdmplcl  22476  comet  24825  dvcobr  26259  preimaaa  26639  ofrco  33197  constcof  33208  gsumpart  33617  pmtrcnel  33643  elrgspnlem1  33796  mplasclco  34141  selvply1rhmlem2  34146  esplymhp  34193  esplyfv1  34194  esplyfv  34195  esplyfval3  34197  subfacp1lem5  35928  aks5lem3a  43219  rhmcomulpsr  43590  evlselv  43597  extoimad  45149  imo72b2lem0  45150  imo72b2lem1  45154  chnsubseq  47859  fcores  48106  fcoresf1lem  48107  grimco  48956  upgrimwlklem5  48968  upgrimpthslem2  48975  upgrimcycls  48978  uspgrlimlem3  49057  fuco111x  50408  fuco112xa  50410  fuco11idx  50412  fuco22natlem3  50421  fuco22natlem  50422  fucoid  50425  fucocolem4  50433  fucolid  50438  fucorid  50439  precofvallem  50443  prcof22a  50469