Theorem fvco3d 6931

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6930. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6930	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497

This theorem is referenced by:  opco1  8062  opco2  8063  suppcoss  8146  wemapwe  9598  canthp1lem2  10555  yonedainv  18195  frgpcyg  21519  psdmplcl  22096  rhmcomulmpl  22317  comet  24448  dvcobr  25896  ofrco  32614  constcof  32625  gsumpart  33074  pmtrcnel  33099  elrgspnlem1  33252  esplymhp  33654  esplyfv1  33655  esplyfv  33656  esplyfval3  33658  subfacp1lem5  35300  aks5lem3a  42355  rhmcomulpsr  42719  selvvvval  42743  evlselv  42745  extoimad  44321  imo72b2lem0  44322  imo72b2lem1  44326  chnsubseq  47040  fcores  47229  fcoresf1lem  47230  grimco  48051  upgrimwlklem5  48063  upgrimpthslem2  48070  upgrimcycls  48073  uspgrlimlem3  48152  fuco111x  49492  fuco112xa  49494  fuco11idx  49496  fuco22natlem3  49505  fuco22natlem  49506  fucoid  49509  fucocolem4  49517  fucolid  49522  fucorid  49523  precofvallem  49527  prcof22a  49553