Theorem fvco3d 7017

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 7016. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 7016	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574

This theorem is used by:  opco1  8171  opco2  8172  suppcoss  8262  wemapwe  9735  canthp1lem2  10777  yonedainv  18505  frgpcyg  21934  rhmcomulmpl  22488  selvvvval  22506  psdmplcl  22538  comet  24887  dvcobr  26321  preimaaa  26703  ofrco  33302  constcof  33313  gsumpart  33723  pmtrcnel  33749  elrgspnlem1  33902  mplasclco  34259  selvply1rhmlem2  34264  esplymhp  34311  esplyfv1  34312  esplyfv  34313  esplyfval3  34315  subfacp1lem5  36157  aks5lem3a  43505  rhmcomulpsr  43876  evlselv  43883  extoimad  45425  imo72b2lem0  45426  imo72b2lem1  45430  chnsubseq  48163  fcores  48410  fcoresf1lem  48411  grimco  49260  upgrimwlklem5  49272  upgrimpthslem2  49279  upgrimcycls  49282  uspgrlimlem3  49361  natideq  50676  fuco111x  50784  fuco112xa  50786  fuco11idx  50788  fuco22natlem3  50797  fuco22natlem  50798  fucoid  50801  fucocolem4  50809  fucolid  50814  fucorid  50815  precofvallem  50832  prcof22a  50858