Theorem fvco3d 6989

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6988. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6988	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549

This theorem is used by:  opco1  8138  opco2  8139  suppcoss  8229  wemapwe  9703  canthp1lem2  10743  yonedainv  18462  frgpcyg  21886  rhmcomulmpl  22440  selvvvval  22458  psdmplcl  22490  comet  24839  dvcobr  26273  preimaaa  26653  ofrco  33253  constcof  33264  gsumpart  33672  pmtrcnel  33698  elrgspnlem1  33851  mplasclco  34196  selvply1rhmlem2  34201  esplymhp  34248  esplyfv1  34249  esplyfv  34250  esplyfval3  34252  subfacp1lem5  36037  aks5lem3a  43346  rhmcomulpsr  43717  evlselv  43724  extoimad  45271  imo72b2lem0  45272  imo72b2lem1  45276  chnsubseq  47997  fcores  48244  fcoresf1lem  48245  grimco  49094  upgrimwlklem5  49106  upgrimpthslem2  49113  upgrimcycls  49116  uspgrlimlem3  49195  natideq  50452  fuco111x  50560  fuco112xa  50562  fuco11idx  50564  fuco22natlem3  50573  fuco22natlem  50574  fucoid  50577  fucocolem4  50585  fucolid  50590  fucorid  50591  precofvallem  50608  prcof22a  50634