Theorem fvco3d 6942

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6941. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6941	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508

This theorem is referenced by:  opco1  8075  opco2  8076  suppcoss  8159  wemapwe  9618  canthp1lem2  10576  yonedainv  18216  frgpcyg  21540  psdmplcl  22117  rhmcomulmpl  22338  comet  24469  dvcobr  25917  ofrco  32700  constcof  32711  gsumpart  33157  pmtrcnel  33183  elrgspnlem1  33336  esplymhp  33745  esplyfv1  33746  esplyfv  33747  esplyfval3  33749  subfacp1lem5  35400  aks5lem3a  42559  rhmcomulpsr  42919  selvvvval  42943  evlselv  42945  extoimad  44520  imo72b2lem0  44521  imo72b2lem1  44525  chnsubseq  47238  fcores  47427  fcoresf1lem  47428  grimco  48249  upgrimwlklem5  48261  upgrimpthslem2  48268  upgrimcycls  48271  uspgrlimlem3  48350  fuco111x  49690  fuco112xa  49692  fuco11idx  49694  fuco22natlem3  49703  fuco22natlem  49704  fucoid  49707  fucocolem4  49715  fucolid  49720  fucorid  49721  precofvallem  49725  prcof22a  49751