Theorem fvco3d 6934

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6933. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6933	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  opco1  8065  opco2  8066  suppcoss  8149  wemapwe  9606  canthp1lem2  10564  yonedainv  18204  frgpcyg  21528  psdmplcl  22105  rhmcomulmpl  22326  comet  24457  dvcobr  25905  ofrco  32688  constcof  32699  gsumpart  33146  pmtrcnel  33171  elrgspnlem1  33324  esplymhp  33726  esplyfv1  33727  esplyfv  33728  esplyfval3  33730  subfacp1lem5  35378  aks5lem3a  42443  rhmcomulpsr  42804  selvvvval  42828  evlselv  42830  extoimad  44405  imo72b2lem0  44406  imo72b2lem1  44410  chnsubseq  47124  fcores  47313  fcoresf1lem  47314  grimco  48135  upgrimwlklem5  48147  upgrimpthslem2  48154  upgrimcycls  48157  uspgrlimlem3  48236  fuco111x  49576  fuco112xa  49578  fuco11idx  49580  fuco22natlem3  49589  fuco22natlem  49590  fucoid  49593  fucocolem4  49601  fucolid  49606  fucorid  49607  precofvallem  49611  prcof22a  49637