Theorem fvco3d 6940

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6939. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6939	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  opco1  8073  opco2  8074  suppcoss  8157  wemapwe  9618  canthp1lem2  10576  yonedainv  18247  frgpcyg  21553  psdmplcl  22128  rhmcomulmpl  22347  comet  24478  dvcobr  25913  ofrco  32683  constcof  32694  gsumpart  33124  pmtrcnel  33150  elrgspnlem1  33303  esplymhp  33712  esplyfv1  33713  esplyfv  33714  esplyfval3  33716  subfacp1lem5  35366  aks5lem3a  42628  rhmcomulpsr  42994  selvvvval  43018  evlselv  43020  extoimad  44591  imo72b2lem0  44592  imo72b2lem1  44596  chnsubseq  47310  fcores  47515  fcoresf1lem  47516  grimco  48365  upgrimwlklem5  48377  upgrimpthslem2  48384  upgrimcycls  48387  uspgrlimlem3  48466  fuco111x  49806  fuco112xa  49808  fuco11idx  49810  fuco22natlem3  49819  fuco22natlem  49820  fucoid  49823  fucocolem4  49831  fucolid  49836  fucorid  49837  precofvallem  49841  prcof22a  49867