Theorem fvco3d 6963

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6962. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6962	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-fv 6524

This theorem is referenced by:  opco1  8096  opco2  8097  suppcoss  8181  wemapwe  9646  canthp1lem2  10605  yonedainv  18304  frgpcyg  21613  rhmcomulmpl  22165  selvvvval  22183  psdmplcl  22215  comet  24561  dvcobr  25996  ofrco  32773  constcof  32784  gsumpart  33204  pmtrcnel  33230  elrgspnlem1  33384  mplasclco  33774  selvply1rhmlem2  33779  esplymhp  33826  esplyfv1  33827  esplyfv  33828  esplyfval3  33830  subfacp1lem5  35495  aks5lem3a  42767  rhmcomulpsr  43125  evlselv  43132  extoimad  44701  imo72b2lem0  44702  imo72b2lem1  44706  chnsubseq  47417  fcores  47622  fcoresf1lem  47623  grimco  48472  upgrimwlklem5  48484  upgrimpthslem2  48491  upgrimcycls  48494  uspgrlimlem3  48573  fuco111x  49913  fuco112xa  49915  fuco11idx  49917  fuco22natlem3  49926  fuco22natlem  49927  fucoid  49930  fucocolem4  49938  fucolid  49943  fucorid  49944  precofvallem  49948  prcof22a  49974