Theorem fvco3d 6917

Description: Value of a function composition. Deduction form of fvco3 6916. (Contributed by Stanislas Polu, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvco3d.1	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
fvco3d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fvco3d	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
2		fvco3d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
3		fvco3 6916	. 2 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5615  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484

This theorem is referenced by:  opco1  8048  opco2  8049  suppcoss  8132  wemapwe  9582  canthp1lem2  10539  yonedainv  18182  frgpcyg  21505  psdmplcl  22072  rhmcomulmpl  22292  comet  24423  dvcobr  25871  ofrco  32585  constcof  32596  gsumpart  33029  pmtrcnel  33050  elrgspnlem1  33201  esplymhp  33581  esplyfv1  33582  esplyfv  33583  subfacp1lem5  35220  aks5lem3a  42222  rhmcomulpsr  42584  selvvvval  42618  evlselv  42620  extoimad  44197  imo72b2lem0  44198  imo72b2lem1  44202  fcores  47098  fcoresf1lem  47099  grimco  47920  upgrimwlklem5  47932  upgrimpthslem2  47939  upgrimcycls  47942  uspgrlimlem3  48021  fuco111x  49363  fuco112xa  49365  fuco11idx  49367  fuco22natlem3  49376  fuco22natlem  49377  fucoid  49380  fucocolem4  49388  fucolid  49393  fucorid  49394  precofvallem  49398  prcof22a  49424