Theorem psseq2 4031

Description: Equality theorem for proper subclass. (Contributed by NM, 7-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
psseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem psseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3948	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
2		neeq2 2995	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ≠ 𝐴 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵))
3	1, 2	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵)))
4		df-pss 3909	. 2 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
5		df-pss 3909	. 2 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-ex 1782  df-cleq 2728  df-ne 2933  df-ss 3906  df-pss 3909

This theorem is referenced by:  psseq2i  4033  psseq2d  4036  psssstr  4049  brrpssg  7679  sorpssint  7687  pssnn  9103  php  9141  isfin4  10219  fin2i2  10240  elnp  10910  elnpi  10911  ltprord  10953  pgpfac1lem1  20051  pgpfac1lem5  20056  lbsextlem4  21159  alexsubALTlem4  24015  spansncv  31724  cvbr  32353  cvcon3  32355  cvnbtwn  32357  cvbr4i  32438  ssdifidlprm  33518  ssmxidl  33534  dfon2lem6  35968  dfon2lem7  35969  dfon2lem8  35970  dfon2  35972  lcvbr  39467  lcvnbtwn  39471  lsatcv0  39477  lsat0cv  39479  islshpcv  39499  mapdcv  42106  pssn0  42668  nthrucw  47316