Theorem psseq2 3845

Description: Equality theorem for proper subclass. (Contributed by NM, 7-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
psseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem psseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3776	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
2		neeq2 3006	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ≠ 𝐴 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵))
3	1, 2	anbi12d 616	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵)))
4		df-pss 3739	. 2 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
5		df-pss 3739	. 2 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 303	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3723   ⊊ wpss 3724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-ext 2751

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-ne 2944  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739

This theorem is referenced by:  psseq2i  3847  psseq2d  3850  psssstr  3863  brrpssg  7086  sorpssint  7094  php  8300  php2  8301  pssnn  8334  isfin4  9321  fin2i2  9342  elnp  10011  elnpi  10012  ltprord  10054  pgpfac1lem1  18681  pgpfac1lem5  18686  lbsextlem4  19376  alexsubALTlem4  22074  spansncv  28852  cvbr  29481  cvcon3  29483  cvnbtwn  29485  cvbr4i  29566  dfon2lem6  32029  dfon2lem7  32030  dfon2lem8  32031  dfon2  32033  lcvbr  34830  lcvnbtwn  34834  lsatcv0  34840  lsat0cv  34842  islshpcv  34862  mapdcv  37470  pssn0  37775